第十章__停留时间分布-数学期望及方差

1、第十章第十章 停留时间分布停留时间分布活塞流反应器和全混流反应器是两种理想流动活塞流反应器和全混流反应器是两种理想流动模型，是反应器内物料混合的两个极端情况，模型，是反应器内物料混合的两个极端情况，实际反应器中流体的流动状况往往偏离理想流实际反应器中流体的流动状况往往偏离理想流动，存在一定程度的返混而介于两者之间。在动，存在一定程度的返混而介于两者之间。在研究上，往往从理想流动出发，找出非理想流研究上，往往从理想流动出发，找出非理想流动与理想流动的偏离，并寻求度量偏离程度的动与理想流动的偏离，并寻求度量偏离程度的方法，由此建立非理想流动模型。方法，由此建立非理想流动模型。 第一节第一节 停留时

2、间分布概述停留时间分布概述一、非理想流动对理想流动的偏离一、非理想流动对理想流动的偏离引起实际反应器流况偏离理想流动的引起实际反应器流况偏离理想流动的原因原因多种多样。多种多样。沟流或短路沟流或短路：部分粒子易于在反应器中阻力最小、：部分粒子易于在反应器中阻力最小、路程最短的通路以较其它流体粒子快得多的速度流路程最短的通路以较其它流体粒子快得多的速度流过；过；死角死角：器内与主流相比移动非常慢：器内与主流相比移动非常慢( (小一个数量级小一个数量级) )或停滞不前的区域；或停滞不前的区域；旁路旁路：专指流体粒子偏离了流动的轴心，而沿阻：专指流体粒子偏离了流动的轴心，而沿阻力小的边缘区域流动。力

3、小的边缘区域流动。几种实际反应器中的非理想流动如图所示。几种实际反应器中的非理想流动如图所示。反应器的反应器的几何构造几何构造和和流体的流动方式流体的流动方式是造是造成偏离理想流动、形成一定程度返混的根成偏离理想流动、形成一定程度返混的根本原因，它导致了流体在反应器中停留的本原因，它导致了流体在反应器中停留的时间不一。不同的反应器的流况各异，可时间不一。不同的反应器的流况各异，可用用停留时间分布停留时间分布来描述。来描述。 对管式反应器还有管内流体质点的对管式反应器还有管内流体质点的轴向扩散轴向扩散和和径向径向流速分布流速分布等。等。二、停留时间分布的表示方法二、停留时间分布的表示方法停留时间

4、停留时间指流体质点在反应器内停留的时间；指流体质点在反应器内停留的时间；停留时间分布停留时间分布是指反应器出口流体中不同停留时间的流体质点是指反应器出口流体中不同停留时间的流体质点的分布情况。的分布情况。例例：在连续操作的反应器内，如果在某一瞬间（：在连续操作的反应器内，如果在某一瞬间（t=0t=0）极快地向入口）极快地向入口物流中加入物流中加入100100个红色粒子，同时在系统的出口处记下不同时间间隔个红色粒子，同时在系统的出口处记下不同时间间隔流出的红色粒子数，结果如下表。流出的红色粒子数，结果如下表。停留时间范停留时间范围围tt+t0-22-33-44-55-66-77-88-99-10

5、10-1111-1212-14出口流中的出口流中的红色粒子数红色粒子数02612182217126410分率分率N/N00.020.060.120.180.220.170.120.060.040.010如果假定红色粒子和主流体之间除了颜色的差别以外，其余如果假定红色粒子和主流体之间除了颜色的差别以外，其余所有性质都完全相同，那么就可以认为这所有性质都完全相同，那么就可以认为这100100个粒子的停留时个粒子的停留时间分布就是主流体的停留时间分布。间分布就是主流体的停留时间分布。料量时瞬间进入反应器的物的物料量停留时间为0ttttNN若以停留时间若以停留时间t为横坐标，为横坐标， 为纵坐标作图，

6、则每一为纵坐标作图，则每一个长方形的面积为个长方形的面积为 即表示停留时间为即表示停留时间为tt+t的物的物料占总进料的分率。料占总进料的分率。tNN1NN进入反应器的进入反应器的N个物料质点，停留时间介于个物料质点，停留时间介于t和和dt之间的物料之间的物料粒子粒子dN所占分率为所占分率为dNN，以，以E(t)dt表示，则表示，则E(t)即为即为停留时停留时间密度函数间密度函数。停留时间分布密度函数具有。停留时间分布密度函数具有归一化的性质归一化的性质，即，即定量描述流体质点的停留时间分布有两种方法。定量描述流体质点的停留时间分布有两种方法。1.停留时间分布密度函数停留时间分布密度函数E(t

7、)1d)(0ttEE(t)曲线下的全部面积代表曲线下的全部面积代表不同停留时间的物料占进料不同停留时间的物料占进料分率的总和。分率的总和。图中曲线下微小面积图中曲线下微小面积E(t)dt表示停留时间在表示停留时间在t和和t+dt之间之间的物料占的物料占t=0时进料的分率。时进料的分率。进入反应器的所有物料的质点进入反应器的所有物料的质点停留时间小于停留时间小于t的物料所占的分的物料所占的分率，称为停留时间分布函数率，称为停留时间分布函数F(t)，即即显然，显然，t0时，时，F(t)0； t， F(t)1。 2.停留时间分布函数停留时间分布函数F(t)F(t)与与E(t)的关系为：的关系为：右图

8、为右图为F(t)与与E(t)的曲线。的曲线。0d)()(ttEtF)()(tEdttdF三、停留时间分布的测定方法三、停留时间分布的测定方法采用采用刺激应答技术刺激应答技术，又称，又称示踪法示踪法，即在反应器的进，即在反应器的进口加入某种示踪物，同时在出口测定示踪物浓度等口加入某种示踪物，同时在出口测定示踪物浓度等的变化，确定流经反应器中物料的停留时间分布。的变化，确定流经反应器中物料的停留时间分布。测定时利用示踪物的光、电、化学或放射等特性。测定时利用示踪物的光、电、化学或放射等特性。示踪物除具有上述特性外，还需要具有不挥发、不吸示踪物除具有上述特性外，还需要具有不挥发、不吸收、易溶于主流体

9、，在很小的浓度下也能检测出的特收、易溶于主流体，在很小的浓度下也能检测出的特性。性。示踪物的输入方式主要有示踪物的输入方式主要有脉冲法和阶跃法。脉冲法和阶跃法。示踪剂的选取原则示踪剂的选取原则示踪剂不应与主流体发生反应；示踪剂不应与主流体发生反应；除了显著区别于主流体的某一可检测性质外，除了显著区别于主流体的某一可检测性质外，示踪剂应和主流体应尽可能具有相同的物理性示踪剂应和主流体应尽可能具有相同的物理性质，且两者易于溶为一体；质，且两者易于溶为一体；示踪剂浓度很低时也能够检测到信号；示踪剂浓度很低时也能够检测到信号；用于多相系统检测的示踪剂不发生相间的转移；用于多相系统检测的示踪剂不发生相间

10、的转移；示踪剂本身应具有或易于转变为电信号或光信示踪剂本身应具有或易于转变为电信号或光信号的特点。号的特点。1. 脉冲示踪法脉冲示踪法在稳定操作的系统中，使物料以稳定的流量在稳定操作的系统中，使物料以稳定的流量qV通过体积为通过体积为VR的反应器，然后在某个瞬间的反应器，然后在某个瞬间t=0时，向物料中注入浓度为时，向物料中注入浓度为C0的示踪剂的示踪剂A，并保持混合物的流量仍为，并保持混合物的流量仍为qV ，同时在出口处测，同时在出口处测定示踪剂浓度定示踪剂浓度CA随时间随时间t的变化。的变化。 检测器检测器反应器反应器物料物料示踪剂示踪剂脉冲法所得输入脉冲法所得输入响应曲线响应曲线脉冲输入

11、脉冲输入出口响应出口响应0tE（t）脉冲示踪法测得的是停留时间分布密度函数脉冲示踪法测得的是停留时间分布密度函数E(t)n设设t0时间内注入示踪剂的总量为时间内注入示踪剂的总量为M(mol)，出口处浓，出口处浓度随时间变化为度随时间变化为C(t)，在示踪剂注入后，在示踪剂注入后tt+dt时间间隔时间间隔内，出口处流出的示踪剂量占总示踪剂量的分率：内，出口处流出的示踪剂量占总示踪剂量的分率：n若在注入示踪剂的同时，流入反应器的物料量为若在注入示踪剂的同时，流入反应器的物料量为N，在注入示踪剂后的在注入示踪剂后的tt+dt时间间隔内，流出物料量为时间间隔内，流出物料量为dN，则在此时间间隔内，流出

12、的物料占进料的分率为：，则在此时间间隔内，流出的物料占进料的分率为：MttVCNNd)(d示踪剂ttENNd)(d物料2. 阶跃示踪法阶跃示踪法在稳定连续流动系统中，若物料体积流量为在稳定连续流动系统中，若物料体积流量为qV，浓，浓度为度为c0，瞬间用相同流量和浓度的示踪物切换主流体，瞬间用相同流量和浓度的示踪物切换主流体，同时在出口处测示踪物浓度同时在出口处测示踪物浓度cA随时间的变化，直至随时间的变化，直至cA=c0为止。所得响应关系曲线如下图：为止。所得响应关系曲线如下图：阶跃法所得输入阶跃法所得输入响应曲线响应曲线F（t）0t阶跃输入阶跃输入出口响应阶跃示踪法测得的是停留时间分布函数阶

13、跃示踪法测得的是停留时间分布函数F(t)由图可知，在由图可知，在t=0时，时，C=0；t， C C0n时间为时间为t时，出口物料中示踪剂浓度为时，出口物料中示踪剂浓度为C(t)，物料流量为，物料流量为V，所以示踪剂流出量为，所以示踪剂流出量为V C(t)，又因为在时间为，又因为在时间为t时流出时流出的示踪剂，也就是反应器中停留时间小于的示踪剂，也就是反应器中停留时间小于t的示踪剂，按的示踪剂，按定义，物料中停留时间小于定义，物料中停留时间小于t的粒子所占的分率为的粒子所占的分率为F(t)，因，因此，当示踪剂入口流量为此，当示踪剂入口流量为VC0时，出口流量时，出口流量VC0 F(t)，所，所以

14、有：以有：n因此，用此法可直接方便地测定实际反应器的停留时间因此，用此法可直接方便地测定实际反应器的停留时间分布函数。分布函数。00/ )()()()(CtCtFtVCtFVC脉冲法和阶跃法的比较脉冲法和阶跃法的比较脉冲法脉冲法阶跃法阶跃法示踪剂注示踪剂注入方法入方法在原有的流股中加入示踪剂，在原有的流股中加入示踪剂，不改变原流股流量不改变原流股流量将原有流股换成流量与其相将原有流股换成流量与其相同的示踪剂流股同的示踪剂流股E(t)可直接测得可直接测得F(t)可直接测得可直接测得dttCdttCdttCtFtt000)()()()(tCtCttFtEd)(dd)(d)(0四、停留时间分布的数字

15、特征四、停留时间分布的数字特征研究不同流型的停留时间分布，通常是比较它们的统计特征研究不同流型的停留时间分布，通常是比较它们的统计特征值。常用的特征值有两个：值。常用的特征值有两个： 数学期望数学期望平均停留时间平均停留时间 方差方差离散程度离散程度1. 平均停留时间平均停留时间定义：是指全部物料质点在反定义：是指全部物料质点在反应器中停留时间的平均值，在应器中停留时间的平均值，在概率上称为概率上称为数学期望数学期望，可通过，可通过分布密度函数来计算：分布密度函数来计算：000)()()(dtttEdttEdtttEtmn它是指整个物料在设备内的停留时间，而不是个别质点的它是指整个物料在设备内

16、的停留时间，而不是个别质点的停留时间。停留时间。n不管设备型式和个别质点的停留时间，只要反应体积与物不管设备型式和个别质点的停留时间，只要反应体积与物料体积流量比值相同，平均停留时间就相同。料体积流量比值相同，平均停留时间就相同。iiiimttEtttEt)()(在实验中得到的是离散情况在实验中得到的是离散情况( (即各个别时间即各个别时间) )下的下的E(t)，可用，可用下式计算：下式计算：若读取实验数据时时间间隔若读取实验数据时时间间隔t相等，则上式可简化为相等，则上式可简化为：)()(tEttEtm2. 方差方差方差描述物料质点各停留时间与平均停留时间的偏离程度，方差描述物料质点各停留时

17、间与平均停留时间的偏离程度，即停留时间分布的即停留时间分布的离散程度离散程度。定义定义为：各个物料质点停留时间为：各个物料质点停留时间t t与平均停留时间与平均停留时间 差的差的平方的加权平均值。平方的加权平均值。mt020022)()()()()(dttEttdttEdttEttmmtu方差越小，越接近平推流；方差越小，越接近平推流；u对平推流，方差为零。对平推流，方差为零。如果实验测得的数据是不连续的，则方差可用下式：如果实验测得的数据是不连续的，则方差可用下式：2222)()()()(miiiiiiimttttEtttEttEtt图所示为不同图所示为不同t2的的E(t)曲线。曲线。 t2

18、越大，物料的停留时间分布越分散，偏离平均停留时间的程越大，物料的停留时间分布越分散，偏离平均停留时间的程度越大；反之，偏离平均停留时间的程度越小度越大；反之，偏离平均停留时间的程度越小; t2 =0 表明物料表明物料的停留时间分布都相同。的停留时间分布都相同。 mtt为比较，将为比较，将E(t)和和F(t)与与联系起来，定义对比时间联系起来，定义对比时间：mtu当当2=0，为活塞流；，为活塞流；u当当2=1，为全混流；，为全混流；u当当021，则为非理想流动。，则为非理想流动。停留时间分布函数和密度函数用停留时间分布函数和密度函数用表示为：表示为：用用表示的方差为表示的方差为)()(tFF)(

19、)(tEtEm222mtt五、理想反应器的停留时间分布五、理想反应器的停留时间分布1. 平推流反应器平推流反应器(活塞流反应器活塞流反应器)活塞流反应器中，物料在反应器中无任何返混，且都活塞流反应器中，物料在反应器中无任何返混，且都等于平均停留时间等于平均停留时间 。其停留时间分布函。其停留时间分布函数与密度函数为数与密度函数为: VV qmmt t 1tt 0)(tF1 11 0)(Fmmmtt 0t ttt 0)(tE1 01 1 0)(E0, 022t方差为方差为活塞流反应器的活塞流反应器的E(t)和和F(t)函数的曲线如图示。函数的曲线如图示。 2. 全混流反应器全混流反应器全混流反应

20、器中物料的浓度处处相等，物料返混程度最大。全混流反应器中物料的浓度处处相等，物料返混程度最大。设进行阶跃注入实验，反应器的容积为设进行阶跃注入实验，反应器的容积为VR，物料的体积流量，物料的体积流量为为V，达到稳态后，从，达到稳态后，从t=0开始，将进料切换为含示踪剂浓度开始，将进料切换为含示踪剂浓度为为C0的物料，在切换后某的物料，在切换后某dt时间内，则对全釜作物料衡算：时间内，则对全釜作物料衡算：进入的示踪剂量进入的示踪剂量= =流出的示踪剂量流出的示踪剂量+ +示踪剂的积累量示踪剂的积累量eFetFCCttCCCdttCCdCCCtCCVVdtdCdCVVCdtdtVCmttmmmRR

21、1)(1)(ln11/0000000积分上式：)exp(1)()(mmtttdttdFtE方差为方差为222, 1mtt 全混流反应器的全混流反应器的F F( (t t) )和和E E( (t t) )函数的曲线如图示。函数的曲线如图示。ut=0t=0，F F( (t t)=1.0)=1.0，E E( (t t) )为最大值为最大值mt1u 时，时，F F( (t t)=0.632,)=0.632,表明有表明有0.6320.632的物料质点在器的物料质点在器内内停留时间小于平均停留时间。停留时间小于平均停留时间。mtt u质点在器内停留时间很长。质点在器内停留时间很长。第二节第二节 非理想流动

22、反应器的停留时间分布非理想流动反应器的停留时间分布( (学生自学学生自学) )偏离平推流的情况偏离平推流的情况漩涡运动：涡流、漩涡运动：涡流、湍动、碰撞填料湍动、碰撞填料截面上流截面上流速不均匀速不均匀沟流、短路：填料或沟流、短路：填料或催化剂装填不均匀催化剂装填不均匀偏离全混流的情况偏离全混流的情况死角死角短路短路搅拌造成搅拌造成的再循环的再循环流动状况对化学反应的影响流动状况对化学反应的影响 -由物料停留时间不同所造成由物料停留时间不同所造成短路、沟流短路、沟流停留时间减少停留时间减少转化率降低转化率降低死区、死区、再循环再循环停留时停留时间过长间过长A+BP：有效反应体积减少：有效反应体

23、积减少A+BPS 产物产物P减少减少 停留时间的不均停留时间的不均非理想流动模型分为：非理想流动模型分为： 多釜串联流动模型多釜串联流动模型轴向扩散模型轴向扩散模型c c1c c2c cic cnC CAA,0dxdcDNx轴向扩散dxcc+dc一、多釜串联模型一、多釜串联模型(N为模型参数为模型参数)多釜串联模型是用多釜串联模型是用N个全混釜串联来模拟一个实个全混釜串联来模拟一个实际的反应器。际的反应器。N为模型参数。为模型参数。1.模型假定条件：模型假定条件： 每一级内为全混流；每一级内为全混流； 级际间无返混；级际间无返混； 各釜体积相同各釜体积相同 C0 C1 C2 Q0 CN Q0

24、Q0 Q0 CN-1 V1 V2 VN 2.多釜串联模型的停留时间分布多釜串联模型的停留时间分布设设反应器总体积为反应器总体积为Vr，并假想由并假想由N个体积相等的全混釜串联组个体积相等的全混釜串联组成成，釜间无任何返混釜间无任何返混。若对系统施加脉冲示踪后，作示踪剂。若对系统施加脉冲示踪后，作示踪剂的物料衡算：的物料衡算：多釜串联模型多釜串联模型Q0Q0C0 M 检测检测脉冲示踪脉冲示踪(1)11010dVCQ Cdt初始条件：初始条件：( (示踪剂示踪剂流入速率流入速率) )( (示踪剂示踪剂流出速率流出速率)=()=(示踪剂示踪剂累计速率累计速率) )在在t时刻，对第一全混流区时刻，对第

25、一全混流区(i=1)应有：应有：0101100()CMMtCCVtQ(2)作示踪剂的物料衡算作示踪剂的物料衡算将式将式(1)(1)积分后可得：积分后可得：(3)10111exp()CtCtt对第二全混流区对第二全混流区(i=2)应有：应有：220102dV CQ CQ Cdt(4)将将(3)代入代入(4)得：得：0020221121exp()QQdCtCCVttdtV(5)解式解式(5)一阶线性微分方程得：一阶线性微分方程得：0221 2exp()CtCtCtt t2000tCC以及以及201 22exp()CttCt tt(6)对第三全混流区对第三全混流区(i=3) 应有：应有：300tC3

26、30203dV CQ CQ Cdt(7)解式解式(7)一阶线性微分方程并整理得：一阶线性微分方程并整理得：2301 2 33exp()2CttCt t tt(8)第第N釜流出的物料中示踪剂浓度为：釜流出的物料中示踪剂浓度为：101exp()1 !NNiiiCttCNttt(9)12iNtttt脉冲示踪脉冲示踪101( )exp()1 !NNiiiCttE tCNttt000,irrriiVVVVttVtQNQNQN又又1( )exp()1 !NNNtNtE tNttt或：或：1( )( )exp()1 !NNNEt E tNN11()( )1 exp()1 !PNPNFNP 积分得：积分得：0

27、0()( )e()1 !NNNEdd NNN1222200()( )e() 11 !NNNEdd NNN(2)(1)!11111!NNNN NN NNN 3. 多釜串联模型特征值及模型参数多釜串联模型特征值及模型参数 无因次平均停留时间：无因次平均停留时间：(1)!1!NNNN 无因次方差：无因次方差：多釜串联模型停留时间分布函数多釜串联模型停留时间分布函数F()和和E()特征曲线如图所示。多釜串特征曲线如图所示。多釜串联的流况介于全混流和活塞流之间，联的流况介于全混流和活塞流之间，当当N=1.0时，为全混流；当时，为全混流；当N时，时，就是活塞流。就是活塞流。N的值可通过方差求的值可通过方差

28、求取：取：uN越大越大,2越小越小; u当当N时时,2=0,为活塞流为活塞流;u当当N=1, 2=1为全混流。为全混流。u实际反应器方差应介于实际反应器方差应介于0与与1之间之间21N二、二、扩散模型扩散模型(模型参数模型参数Pe)1.模型假定：模型假定：流体以恒定的流速流体以恒定的流速u 通过系统；通过系统；垂直于流体流动方向的横截面上径向浓度均一；垂直于流体流动方向的横截面上径向浓度均一；在流动方向上流体存在扩散过程，以轴向扩散系在流动方向上流体存在扩散过程，以轴向扩散系数数Da表示这些因素的综合作用，并用费克定律加以表示这些因素的综合作用，并用费克定律加以描述；描述；同一反应器内轴向扩散

29、系数在管内恒定，不随时同一反应器内轴向扩散系数在管内恒定，不随时间及位置而变；间及位置而变；管内不存在死区或短路流。管内不存在死区或短路流。2.轴向扩散模型的建立轴向扩散模型的建立轴向扩散模型物料衡算示意图轴向扩散模型物料衡算示意图设管横截面积为设管横截面积为Ar，在管内轴向位置，在管内轴向位置Z处截取微元处截取微元长度长度dZ，作物料衡算。，作物料衡算。 dVuuuC0 uZdZZ22()rarCCuA CD AdZZZ()rarCCuA CdZD AZZrCA dZt假定系统内不发生化学反应，根据流入流出假定系统内不发生化学反应，根据流入流出+累积累积，将上列各项代入整理后得：，将上列各项

30、代入整理后得：流入：流入：流出：流出：累积：累积：22aCCCDutZZ轴向扩轴向扩散模型散模型方程方程0;();CtuLZtCLuL22221aeDuLP引入无因次量：引入无因次量：Pe为彼克列数，是模型的为彼克列数，是模型的唯一参数唯一参数。它表示对流流动。它表示对流流动和扩散传递的相对大小。当和扩散传递的相对大小。当Pe0时，对流传递速率较之扩时，对流传递速率较之扩散传递速率要慢得多，属于散传递速率要慢得多，属于全混流全混流情况。当情况。当Pe时，属时，属活塞流活塞流情况，此时扩散传递与对流传递相比可略去不计。情况，此时扩散传递与对流传递相比可略去不计。代入上式得轴向扩散模型无因次方程为

31、：代入上式得轴向扩散模型无因次方程为：eauLPD对流传递速率扩散传递速率式中式中212()1aeDuLP 22222112()8()2()8()taaeeDDtuLuLPP3.模型参数的求取模型参数的求取当当Pe大于大于100时，不论采用什么边界条件都有时，不论采用什么边界条件都有 ：上式的初始条件及边界条件，随着示踪剂的输入方上式的初始条件及边界条件，随着示踪剂的输入方式而异，只有开式而异，只有开-开式系统才有解析解：开式系统才有解析解：221.0eP第三节第三节 停留时间分布的应用停留时间分布的应用( (学生自学学生自学) )研究停留时间分布，就考虑如何避免非理想流动。在反应研究停留时间分布，就考虑如何避免非理想流动。在反应器的结构上加以改进，使之接近理想反应器流动状况。器的结构上加以改进，使之接近理想反应器流动状况。(1) 根据测定的停留时间分布曲线形状可以定性地判断一根据测定的停留时间分布曲线形状可以定性地判断一 个反应器内物料的流动状况，从而制定改进方案。个反应器内物料的流动状况，从而制定改进方案。(2) 可以通过计算数学期望和方差，求取模型参数可以通过计算