第02章流静力学

1、1研究的内容：静压力分布规律、静止流体对固体的作用研究的内容：静压力分布规律、静止流体对固体的作用 力，测量压力的仪表的原理等。力，测量压力的仪表的原理等。- -欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式静止流体中取一微分六静止流体中取一微分六面体面体 d dx xd dy yd dz z, ,()0ppdxdzpdy dxdzydxdydzy第二章第二章 流体静力学流体静力学y y方向得平衡方程式为方向得平衡方程式为: :课堂提问：船舶在静止经受的浮力怎样计算？课堂提问：船舶在静止经受的浮力怎样计算？船舶的稳性与什么有关？船舶的稳性与什么有关？流体静力学是船舶原理中浮性和静稳性的理论基础。流体静力

2、学是船舶原理中浮性和静稳性的理论基础。pppdyyyxzdydzdxa(x,y,z)第2章2化简后得：化简后得： 该式右边质量力该式右边质量力，的分布，通常的分布，通常是已知的，而左边各项表示流体中沿是已知的，而左边各项表示流体中沿，方向上的压力梯度。该式表明，在平衡的情方向上的压力梯度。该式表明，在平衡的情况下，压力梯度必须和质量力取得况下，压力梯度必须和质量力取得平衡。平衡。称为欧称为欧拉平衡微分方程拉平衡微分方程。eulereuler于于17751775年推导年推导. .,pppxyzxyz2-1欧拉微分方程欧拉微分方程(2-1)(2-1),pppxyzxyz3同上2-1欧拉微分方程该式

3、还可以变换成容易积分的形式。将该式该式还可以变换成容易积分的形式。将该式左右两边分别同乘以左右两边分别同乘以dx，dy，dz，然后相加，然后相加，得：得：上式右边即为压力上式右边即为压力的全微分的全微分，故：，故： 称为欧拉平衡微分方程的综合形式。称为欧拉平衡微分方程的综合形式。(2-2)(2-2)4同上uuuxdx ydyzdzdudxdydzxyzuxxuyyuzz 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，常量，上式左边常量，上式左边是一个函数的全微分，因此右边也必须是某个是一个函数的全微分，因此右边也必须是某个函数的全微分。这就是说，必须存在某个标量函数的全微分。这就是说，必须存在某个标量函

4、数函数（，），它满足：），它满足：比较比较、和和前面的系数，可得：前面的系数，可得：称为质量力函数称为质量力函数(2-3)(2-3)5引进势函数之后，欧拉方程式变为：引进势函数之后，欧拉方程式变为： 有势函数存在的力场，该力即称有势函数存在的力场，该力即称为有势力。不可压缩流体只有质量力是有势为有势力。不可压缩流体只有质量力是有势力时才能处于平衡状态。例如重力就是一种力时才能处于平衡状态。例如重力就是一种有势力，故流体在重力作用下可以处于平衡有势力，故流体在重力作用下可以处于平衡状态。状态。有势力场有势力场: :有势场(2-4)(2-4)设设zkyjxif0zyxzyxkjif如果如果质量力的

5、旋度质量力的旋度那么称为质量力势函数称为质量力势函数6等压面特性等压面特性： 在流体静止时，质量力合力垂直于在流体静止时，质量力合力垂直于等压面，等压面与等势面重合。等压面，等压面与等势面重合。等压面特性等压面特性：即在该面上，即在该面上，常量，常量，故故，压力相等的各点压力相等的各点所组成的面所组成的面等压面等压面: :7例如例如例如，油罐车（或船舶油舱）静止时液面水平，例如，油罐车（或船舶油舱）静止时液面水平，以加速度以加速度a 作等加速线运动时，单位质量流体质作等加速线运动时，单位质量流体质点除受向下的质量力点除受向下的质量力g 外，还受到惯性力外，还受到惯性力a，其合力指向右下方。其合

6、力指向右下方。arctanag 根据等压面必须垂直根据等压面必须垂直于质量力的原理，液面于质量力的原理，液面呈倾斜状态，而且其倾呈倾斜状态，而且其倾角角。aagf(2-7)(2-7)82-2 2-2 流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式坐标系如图，轴铅直向上，坐标系如图，轴铅直向上，xoy平面与容器底平面与容器底面相合。单位质量流体的重力是：面相合。单位质量流体的重力是： ，代入平衡方程代入平衡方程(2-2)(2-2) ： d=gdz=dz积分得积分得p=由自由面上边界条件来确由自由面上边界条件来确定。定。hyxz0zz9同上同上在自由面上，在自由面上，0 0，0 0，则：，则： 0 00

7、 0因此因此 p pp p0 0（0 0）令令0 0，有，有p pp p0 0p p0 0界面压力界面压力上式即为上式即为流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式。(2-8)(2-8)hyxz0zz102-3 2-3 常用的测压仪常用的测压仪表表连通器原理连通器原理 连通器液体静止，等压面是连通器液体静止，等压面是水平面，任意一水平面水平面，任意一水平面作为基准面作为基准面 pp z z2 21 1（1 12 2）锅炉水位计锅炉水位计 于是：于是：hh1p1p2h2aa11同上同上假若假若p p2 2= =p p1 1，那么，那么h h=0=0。换句话说，对于相等的表面压力，。换句话说，对于相

8、等的表面压力，两边液面的高度也相等，这就是连通器原理。两边液面的高度也相等，这就是连通器原理。 锅炉的水位计利用连通器原理，锅炉的水位计利用连通器原理，侧壁上装一玻璃管，下端和锅炉内侧壁上装一玻璃管，下端和锅炉内液体相连，上端和锅炉上部具有压液体相连，上端和锅炉上部具有压力力p p0 0的蒸气相连，锅炉内液面和玻的蒸气相连，锅炉内液面和玻璃管内液面上压力相同均为璃管内液面上压力相同均为p p0 0，根，根据连通器原理，二者液面高必须相据连通器原理，二者液面高必须相同，因此玻璃管中的液面高度就指同，因此玻璃管中的液面高度就指示出锅炉中的水位。示出锅炉中的水位。p0122.2.形测压计形测压计形测

9、压计形测压计 形管一端通大气，另一端与存有形管一端通大气，另一端与存有 压力为压力为，重度为，重度为 的液体的容器相连。的液体的容器相连。12aphph得容器内压力（表压）：得容器内压力（表压）：21apphh对对形管两边和用静力学基本方程得：形管两边和用静力学基本方程得：h2h1abh1h1h2ppa(2-9)(2-9)13同上若容器内为气体，压力可近似表达为：若容器内为气体，压力可近似表达为：2apph通常形管中使用的液体为酒精。酒精表面通常形管中使用的液体为酒精。酒精表面张力较小，其缺点是重度较小。当被测的压张力较小，其缺点是重度较小。当被测的压力较大时，为避免有过高的力较大时，为避免有

10、过高的h h2 2，可将形管，可将形管中的液体改为水银，也可采用由多个形管中的液体改为水银，也可采用由多个形管串接起来的多管式测压计串接起来的多管式测压计. .143.3.多管式测压计多管式测压计1135224()()apphhhhh2h1h2h3h4h51pap154. 4. 倾斜管微压计倾斜管微压计倾斜管微压计的结构如图倾斜管微压计的结构如图: :2fhlf1sinhl12()( sin)afpphhl llfsin(1)sinafpplfsinapplk1sinfkf 其中其中称为称为 校准系数校准系数, 其值不是根据面积其值不是根据面积和和以及角以及角度计算出来，而是根据实验来确定。度

11、计算出来，而是根据实验来确定。ppap-pap-pa2fhlf1sinhlf f, ,f f为大小筒的横截面积为大小筒的横截面积165.5.比压计比压计3 3比压计：用于测量两点的压力差比压计：用于测量两点的压力差对对形管两边形管两边和和由静力学基本方程得：由静力学基本方程得：12)abpphbpphb水汞水(ab水流方向12hb由等压面知由等压面知12ppabpph汞水（）所以所以172-4 2-4 静止流体对平板的作用力静止流体对平板的作用力3.3.求静止流体对物体表面合压力的作用点（压力求静止流体对物体表面合压力的作用点（压力中心）的位置。中心）的位置。1.1.求静止流体中的压力分求静止

12、流体中的压力分布布2.2.求静止流体对物体表面合压力（总压力）。求静止流体对物体表面合压力（总压力）。例如，在设计桥墩、水坝、闸门以及潜艇的壳体例如，在设计桥墩、水坝、闸门以及潜艇的壳体时，静水压力的计算都是必不可少的。时，静水压力的计算都是必不可少的。也是表面动压计算的基础。也是表面动压计算的基础。任务任务：18同上同上如图平板浸没在静止流体中，微小面积如图平板浸没在静止流体中，微小面积上总上总压力是压力是p p= =d d= =（p p0 0hh）d d = =0 0 d dsinsind d积分便得积分便得上总压力上总压力大小为大小为00()sinpph dp dd0sinpd d：平面

13、图形：平面图形对水对水 平轴平轴的静矩的静矩hp0dksi 19同上同上00sinccppph 上式表明，静止流体作用在平板上的力等上式表明，静止流体作用在平板上的力等于平板面积乘以平板形心所在深度的压力。于平板面积乘以平板形心所在深度的压力。它和平板的形状、倾斜角它和平板的形状、倾斜角无关。无关。hp0dchcc ccphpp )(0(2-14)(2-14)(2-15)(2-15)h hc c：形心的垂直深度形心的垂直深度p pc c: :形心的压力。形心的压力。平面图形对某轴的静矩平面图形对某轴的静矩=图形形心到图形形心到该轴距离该轴距离图形面积图形面积20压力中心压力中心2sinsind

14、opdi压力中心压力中心：合力作用点合力作用点. .力矩定理：合力对某轴之矩等于诸分力对该轴之矩力矩定理：合力对某轴之矩等于诸分力对该轴之矩由移轴定理有由移轴定理有: :2oid 平面图形平面图形对对o o轴的轴的惯性矩惯性矩2cocii过形心过形心c c并平行于并平行于轴的惯性矩轴的惯性矩hp0dchccdhdd21同上同上odcci2sinsin()sinocodciip 于是有于是有合力的作用点永远合力的作用点永远在在形心的下方形心的下方合力的作用点位置：合力的作用点位置：hp0dchccdhdd(2-19)(2-19)2cocii2cocii22同上同上3112cibhccph ap

15、acdcciyya y不计大气压力不计大气压力hhyp0 xdchccdhddbcd若为宽若为宽b 的矩形平板的矩形平板23常见图形的常见图形的yc和和ic常见图形的yc和iccyci2h312bh23h336bh图形名称24同上同上23abhab322436haabbab2d464d23d249641152d梯形圆半圆252.6 例题例题 例例2-1 一小船横剖面如图所示，一小船横剖面如图所示，abbc1m，cd2m，bc与水平面成与水平面成45。试绘出。试绘出ab、bc和和cd各段各段上的压力分布，并计算水作用在各段单位厚度上压力上的压力分布，并计算水作用在各段单位厚度上压力合力的大小及作

16、用点。合力的大小及作用点。 解解 各段的压力分布如图所示。各段的压力分布如图所示。 ab段：由平板受力公式得合力的大小及作用点段：由平板受力公式得合力的大小及作用点n109 . 415 . 0108 . 9323 sghrcab 262.6.1 例题例题m3215 . 012/15 . 023 syiyyabcabcabcp 即作用线在距水面即作用线在距水面2/3处，垂直指向平板处，垂直指向平板ab内侧。内侧。bc段：由式段：由式(2.11)得合力的大小为得合力的大小为n1033. 11)4/21(108 . 9423 sghrcbc m96. 11)5 . 02(12/1)5 . 02(23

17、 syiyybccbccbccp 作作bc的延长线，与水面交于的延长线，与水面交于o点，由式点，由式(2.6.9)得合力作用点得合力作用点即作用线在距即作用线在距o点点1.96m处，垂直指向平板处，垂直指向平板bc内侧。内侧。bcabbcobybcc5 . 025 . 0272.6 例题例题cd段：由式段：由式(2.11)得得n1035. 312)2/21(108 . 943 sghrccd 作用线在的中点且垂直向上。作用线在的中点且垂直向上。282-5 2-5 静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力1. 1. 总压力的水平分量：总压力的水平分量：d d=(=(a a+h)dacos+h

18、)dacos(x.n)(x.n) =(=(a a+) da) dax xaxzaxhdabdphco()cos()xaaxaaaxxaxcxapph daph dap ahdap ah axcxph a若不计大气压作用29同上同上同理同理, ,合压力在合压力在y y方向的分量方向的分量: :d dy y=(=(a a)d)da a cos cos( (y y, ,n n) ) =(=(a a) d) dayay()cos()yaayaaayyaycyapph daph dap ahdap ah aycyph a若不计大气压作用30合压力在合压力在z z方向的分量方向的分量: :d dz z=(

19、=(a a)d)da a cos cos( (z z, ,n n) )=(=(a a) d) dazaz()cos()zaazazaazapph dahpdah dap azbaxazhdadpocd曲面曲面abab以上到自由液面以上到自由液面的体积的体积abcd abcd 称为称为压力体压力体zavhda31同上同上同上 若淹没物体表面上各点的压强在若淹没物体表面上各点的压强在z z方向的分方向的分量处处向量处处向下下，其压力体，其压力体= =等于该曲面为底，自由等于该曲面为底，自由液面为顶的铅直柱体。压力为该铅直柱体（压液面为顶的铅直柱体。压力为该铅直柱体（压力体）的重量，方向向力体）的重

20、量，方向向下下。 反之，方向向反之，方向向上上。v压力体压力体 的计算的计算: :所以合压力在z方向的分量为zazpp av不考虑大气压力的作用不考虑大气压力的作用, ,则为则为zpv32 静止流体对柱面的作用力静止流体对柱面的作用力 值得注意的是：压力体值得注意的是：压力体v是柱面与压力为是柱面与压力为p0的自由的自由液面间所围成的柱体体积，其有液面间所围成的柱体体积，其有“实实”，有，有“虚虚”。图绘出了两种情况下的压力体图绘出了两种情况下的压力体v。由图。由图 (b)可见，可见，此时压力体为自由面的延长线与柱面所围成的体积。此时压力体为自由面的延长线与柱面所围成的体积。33曲面上总压力：

21、222xyzpppp注意注意: :2.2.水平方向两个分力的计算公式如下水平方向两个分力的计算公式如下pxhcxax: : 一般情况下是不同的一般情况下是不同的ch1.1.如果为二维曲面如果为二维曲面, ,则合力简化为两个方向的分力则合力简化为两个方向的分力pyhcyay由此可见，作用于曲面上的静水总压力的水平分量等由此可见，作用于曲面上的静水总压力的水平分量等于其竖直投影面上所受的总压力，其大小等于投影面于其竖直投影面上所受的总压力，其大小等于投影面形心处的压强乘上投影面积，且其作用线通过投影面形心处的压强乘上投影面积，且其作用线通过投影面的压力中心。的压力中心。342-6 阿基米德原理阿基

22、米德原理浸没于液体中的物体浸没于液体中的物体( (潜沉潜沉) )受到浮力（垂直向受到浮力（垂直向上的合压力）的大小等于该物体所排开液体的上的合压力）的大小等于该物体所排开液体的重量，浮力的作用点称为浮心，为物体的形心。重量，浮力的作用点称为浮心，为物体的形心。浮力的本质：浮力的本质：物体上下表面受到物体上下表面受到的静水压力差。的静水压力差。aspnrd352-6 阿基米德原理阿基米德原理阿基米德原理同样适用于浮体，这时浮力的大阿基米德原理同样适用于浮体，这时浮力的大小等于浸没部分小等于浸没部分( (在自由表面以下的部分在自由表面以下的部分) )所排所排开的液体的重量。方向垂直向上。对于浮体，

23、开的液体的重量。方向垂直向上。对于浮体，浮心与物体被浸没部分的形心重合。浮心与物体被浸没部分的形心重合。 浮力本质上是物体上、下表面所受的静水浮力本质上是物体上、下表面所受的静水压力之差。此时物体前后左右的静水压力相平压力之差。此时物体前后左右的静水压力相平衡。船舶搁浅时，损失了底部向上的静水压力，衡。船舶搁浅时，损失了底部向上的静水压力，因此不能用阿基米德原理来计算静水总压力。因此不能用阿基米德原理来计算静水总压力。 圆柱体有一半径没于水中，损失了另一半圆柱体有一半径没于水中，损失了另一半的静水压力，也不能应用阿基米德原理，如图的静水压力，也不能应用阿基米德原理，如图2-142-14所示。所

24、示。36图图2-14沉体沉体浮体浮体潜体潜体嵌体嵌体37物体在液体中的稳定性物体在液体中的稳定性 物体保持平衡状态的能力叫做物体的稳定性。物体保持平衡状态的能力叫做物体的稳定性。我们知道，物体在静止流体中受到重力和浮力的作用，我们知道，物体在静止流体中受到重力和浮力的作用，当重力不等于浮力时，物体要上浮或下沉，同时，若当重力不等于浮力时，物体要上浮或下沉，同时，若重力和浮力的作用线不重合，还会产生力矩使物体倾重力和浮力的作用线不重合，还会产生力矩使物体倾斜。只有当重力和浮力的大小相同，作用线重合时，斜。只有当重力和浮力的大小相同，作用线重合时，物体才能处于平衡状态。物体才能处于平衡状态。 处于

25、平衡状态的物体在外力作用下会产生倾斜，处于平衡状态的物体在外力作用下会产生倾斜，根据外力消失后重力和浮力产生的力矩是否能使物体根据外力消失后重力和浮力产生的力矩是否能使物体恢复到原来的平衡状态，将物体的平衡划分为稳定平恢复到原来的平衡状态，将物体的平衡划分为稳定平衡、不稳定平衡和中性平衡。下面就潜体和浮体分别衡、不稳定平衡和中性平衡。下面就潜体和浮体分别讨论这三种平衡状态。讨论这三种平衡状态。38 (1)潜体的平衡状态潜体的平衡状态潜体的平衡状态示意图，其中潜体的平衡状态示意图，其中c为重心，为重心，d为浮心。为浮心。 稳定平衡稳定平衡 图图 (b)中，重心中，重心c在在浮心浮心d的下方，若物

26、体在外力作的下方，若物体在外力作用下产生倾斜，重心和浮心将产用下产生倾斜，重心和浮心将产生与倾斜方向相反的力矩，外力生与倾斜方向相反的力矩，外力消失后，该力矩能物体恢复到原消失后，该力矩能物体恢复到原来的平衡状态，这种平衡是稳定来的平衡状态，这种平衡是稳定平衡。平衡。不稳定平衡不稳定平衡 图图 (c)中，重心中，重心c在浮心在浮心d的上方，若物体在外力的上方，若物体在外力的作用下产生倾斜，重力与浮力的作用下产生倾斜，重力与浮力将产生与倾斜方向相同的力矩，将产生与倾斜方向相同的力矩，使物体继续倾斜，直至翻转为止，使物体继续倾斜，直至翻转为止，这种平衡是不稳定平衡。这种平衡是不稳定平衡。 中性平衡

27、中性平衡 图图 (a)中，重心和中，重心和浮心重合，物体在任何位置都将浮心重合，物体在任何位置都将处于平衡状态，但稍有扰动就会处于平衡状态，但稍有扰动就会倾斜，这种平衡为中性平衡。倾斜，这种平衡为中性平衡。39 (1)潜体的平衡状态潜体的平衡状态40 (2)浮体的平衡状态浮体的平衡状态 以水面船舶为例。图以水面船舶为例。图(a)为处于正浮状态的船舶横截面为处于正浮状态的船舶横截面示意图。因船舶左右对称，故重心和浮心位于同一铅垂线示意图。因船舶左右对称，故重心和浮心位于同一铅垂线上。当船舶在外力作用下产生横倾时，由于船舶重力的大上。当船舶在外力作用下产生横倾时，由于船舶重力的大小、重心位置及浮力

28、的大小均没有变化，所以横倾后总的小、重心位置及浮力的大小均没有变化，所以横倾后总的排水体积没有变化，但由于横倾改变了船舶水下部分的形排水体积没有变化，但由于横倾改变了船舶水下部分的形状，浮心的位置由原来的状，浮心的位置由原来的b点移到点移到bl点，如图点，如图 (b)所示。所示。41 (2)浮体的平衡状态浮体的平衡状态此时重力和浮力的作用线己不再重合，将产生一个试图使船舶恢此时重力和浮力的作用线己不再重合，将产生一个试图使船舶恢复到正浮状态的力矩，这个力矩称为复原力矩，记为复到正浮状态的力矩，这个力矩称为复原力矩，记为mr。在船。在船舶专业术语中，船舶横倾后浮力的作用线与正浮状态时浮力作用舶专

29、业术语中，船舶横倾后浮力的作用线与正浮状态时浮力作用线的交点线的交点m称为稳心，稳心称为稳心，稳心m与重心与重心c之间的距离之间的距离h称为横稳心高。称为横稳心高。当横倾角较小时、当横倾角较小时、m称为初稳心，称为初稳心，h称为初稳心高度。根据复原称为初稳心高度。根据复原力矩力矩mr与船舶倾斜方向之间的关系与船舶倾斜方向之间的关系(或重心或重心c与稳心与稳心m之间的相之间的相对位置对位置)可以判断船舶的平衡状态。可以判断船舶的平衡状态。思考：什么条件下能恢复平衡，什么条件下偏离平衡？思考：什么条件下能恢复平衡，什么条件下偏离平衡？42 (2)浮体的平衡状态浮体的平衡状态稳定平衡稳定平衡 若重心

30、若重心c在稳心在稳心m的下方，的下方，h0，mr与横倾方向相反，此时与横倾方向相反，此时外力消失后，外力消失后，mr使船舶恢复到原来的平衡状态，这种平衡是稳定平衡。使船舶恢复到原来的平衡状态，这种平衡是稳定平衡。不稳定平衡不稳定平衡 若重心若重心c在稳心在稳心m的上方，的上方，h0，mr与横倾方向相同，与横倾方向相同，mr使船舶继续横倾，直至倾覆为止，这种平衡是不稳定平衡。使船舶继续横倾，直至倾覆为止，这种平衡是不稳定平衡。中性平衡中性平衡 若重心若重心c与稳心与稳心m重合，重合，h=0，mr0，外力消失后，船舶不，外力消失后，船舶不会恢复到原来的平衡位置，但也不会继续横倾，这种平衡是中性平衡。会恢复到原来的平衡位置，但也不会继续横倾，这种平衡是中性平衡。 在船舶设计中，上述在船舶设计中，上述(2)、(3)两种平衡状态是不允许出现的，因为这种两种平衡状态是不允许出现的，因为这种船舶在倾斜后不可能恢复到原来的平衡位置，也就是说，这种船舶的稳船舶在倾斜后不可能恢复到原来的平衡位置，也就是说，这种船舶的稳定性得不到保证。定性得不到保证。43例例 2.12.12220000/aphnm例例 2.1 2.1 如图所示，求、如图所示，求、d d点的相对压力。点的相