对数函数图像及其性质题型归纳

1、对数函数及其性质题型总结1.对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数丫三ogax(a> 0,且awl)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0,十8).(2)对数函数的特征：logax的系数：1特征logax的底数：常数，且是不等于1的正实数lOgaX的真数：仅是自变量 X判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征.比如函数y= log7x是对数函数，而函数 y= 3log4X和y= logx2均不是对数函数，其原因是 不符合对数函数解析式的特点.【例1 1】函数f(x)=(a2-a+ 1)log(a+1)x是对数函数，则实数 a =.(1)图象与性质

2、a>10<a< 1图 象性 质(1)定义域x|x>0值域y|y R(3)当x=1时，y=0,即过定点(1,0)(4)当 x>1 时，y>0;当 0vxv 1时，y< 0(4)当 x> 1 时，y<0;当 0v x< 1 时，y> 0(5)在(0, +8 )上是增函数(5)在(0, +8 )上是减函数性质(6)底数与真数位于 1的同侧函数值大于 0,位于1的俩侧函数值小于 0性质(7)直线x= 1的右侧底大图低谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在 y轴右侧，其单调性取决于底数.a>1时，函数单调递增；0vav1

3、时，函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的 关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用.题型一：定义域的求解求下列函数的定义域.例 1、(1)y= 10g5(1x)；(2)y= 1og(2x 1)(5x 4); y 加go.5(4x 3).在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般 地，判断类似于 y=logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)>0.题型二：对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数

4、的单调性和图象是求函数值域的常用方法.(2)对于形如y= logaf(x)(a> 0,且awl)的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成y=logau, u = f(x)这两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用y= logau的单调性求解.注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论.(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时，有时 需讨论参数的取值范围.例2.求下列函数的值域.(1)f(x) 10g2 x, x 2,10;23 f(x) 10g2( x2 2x 3),x 0,-;2

5、 f(x) log2(x2 4x 5)1 变式1：右函数y log2(axax 一)的te义域为R,求头数a的取值氾围。42 1 ,变式2：右函数y log2(ax ax 一)的值域为R,求头数a的取值氾围。4变式3:若函数f x loga x 0 a 1在区间a,2a上的最大值是最小值的3§,求a的值.题型三：定点问题例3：求下列函数恒经过哪些定点1、f(x)loga(x2 1) 22、y=loga(4a-x) +1 恒过(4, 1 ),求a的值.3、若函数y=log a(x+ b) +c(a>0,且aw 1)的图象恒过定点(3,2),则实数b, c的值分别为题型四：对数单调

6、性问题判断函数y= logaf(x)的单调性的方法 函数y= logaf(x)可看成是y= logau与u= f(x)两个简 单函数复合而成的，由复合函数单调性 “同增异减”的规律即可判断.需特别注意的是，在求复 合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先” .例4:求y log1(x2 4x 3)单调区间 3变式1.求函数f x lg(xx2)的单调区间归纳：形如y= logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数y=log af (x)的单调性与函数 u =f(x)( f(x)>0)的单调性，当a>l时相同，当0vavl时相反.练习.已知函数y 10g 4(2

7、x 3 x2)求函数的定义域；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的值域.题型五：对数图像问题作出下列函数的图象： y=1gx ， y=1g(-x), y=-1gx ; (2) y=1g|x|; (3) y=-1+1gx.例5已知函数y=1oga(x+c)(a, c为常数。其中a>0, awl的图象如图,则下列结论成立的是()C. 0< a< 1, c> 1D. 0vav 1,0vcv1B. a>1,0vc1log 1 x, x 0,变式1 :已知函数f (x)2若关于x的方程f (x) k有两个不等的实根，则实x2 , x 0,6数k的取值范围是()A. (0,

8、)B. (,1) C. (1,) D. (0,1题型六：对数不等式解法例6.解下列不等式10g 1(3x 4) 12(2)1og 1(3x 4) 22(3)1og 1 (3x 4) log 1 (3 x)22变式 1:解不等式：1oga(2x 1) 2,(a 0,a 1).题型七：对数不等式综合问题例1、定义域为R的偶函数£葭)在0,)上是增函数且f(l) 0,求不等式f (log4x) 0的解集。21 x例 2、已知函数 f(x)= loga(a>0,且 aw1).1 x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求使f(x) > 0的x的取值范围.f(x 1),x 2变式1：已知函数f(x)，则f(log32).3x,x 2题型七：对数方程