常微分方程课程设计

1、求微分方程的解数学实验q 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。q 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。数微分方程需要利用数值方法来近似求解。q 本实验主要研究如何用本实验主要研究如何用 Matlab 来计算

2、微分方程来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法基本数值解法Euler折线法折线法。问题背景和实验目的问题背景和实验目的q 考虑一维经典考虑一维经典初值问题初值问题00 , , ( ,)() , dyf x yy xyxa bdx u 基本思想：基本思想：用差商代替微商用差商代替微商根据根据 Talyor 公式，公式，y(x) 在点在点 xk 处有处有2()()() ()()kkky xy xxxyxOx 1kkhxx 11()()()()( )kkkkky xy xy xy xdyO hdxhhx 21()()()()

3、kkky xy xhyxO h Euler 折线法折线法初值问题的初值问题的Euler折线法折线法q 具体步骤：具体步骤：等距剖分：等距剖分：0121nnaxxxxxb 步长：步长：1 0 1 21() /, , ,kkhxxknnba u 分割求解区间分割求解区间u 差商代替微商差商代替微商1()()kkky xy xdydxhx 1 ()()()kkky xy xh yx 得方程组：得方程组：0011 ()(,)kkkkkkyy xyyh f xyxxh 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 为分割点为分割点 0nkkx k = 0, 1, 2, .

4、, n-1yk 是是 y (xk) 的近似的近似Euler 折线法举例折线法举例例：例：用用 Euler 法解初值问题法解初值问题22 0 201 , ( )dyxydxyxy 取步长取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程得差分方程00110 1 2 ,(,)(/)kkkkkkkkkkxyyyh f xyyh yxyxxh 当当 h=0.4，即即 n=5 时，时，Matlab 源程序见源程序见 fulu1.m解：解：Euler 折线法源程序折线法源程序clearf=sym(y+2*x/y2);a=0; b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x

5、=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n y=y+h*subs(f,x,y,x,y);%第一次代初值第一次代初值 x=x+h; szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),or-) Euler折线法举例（续）折线法举例（续）解析解：解析解：1 3352233/xyex 解析解解析解近似解近似解Runge-Kutta 方法方法q 为了减小误差，可采用以下方法：为了减小误差，可采用以下方法：u 让步长让步长 h 取得更小一些；取得更小一些；u 改用具有较高精度的数值方法：改用具有较高精度的数值方法：q 龙格龙格-库塔方法库塔方法R

6、unge-Kutta (龙格龙格-库塔库塔) 方法方法u 是是一类一类求解常微分方程的数值方法求解常微分方程的数值方法u 有多种不同的迭代格式有多种不同的迭代格式Runge-Kutta 方法方法q 用得较多的是用得较多的是 四阶四阶R-K方法方法（教材第（教材第 79 页）页）00111234 (22)/6(),kkkkyy xxxhyyh LLLL 12132432222(,)(/ ,/ )(/ ,/ )(,)kkkkkkkkLf xyLf xhyhLLf xhyhLLf xh yhL 其中其中四阶四阶 R-K 方法方法源程序源程序clear;f=sym(y+2*x/y2);a=0; b=2

7、; h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,x,y,x,y); l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-)Runge-Kutta 方法方法Euler 法与法与 R-K法误差比较法误差比较Mat

8、lab 解初值问题解初值问题q 用用 Maltab自带函数自带函数 解初值问题解初值问题u 求解析解：求解析解：dsolveu 求数值解：求数值解： ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tbdsolve 求求解析解解析解q dsolve 的使用的使用y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v)其中其中 y 为输出，为输出， eq1、eq2、.为微分方程，为微分方程，cond1、cond2、.为初值条件，为初值条件，v 为自变量。为自变量。例例 1：求微分方程求微分方程 的通解，并验证。的通解，并验证。2

9、2xdyxyxedx y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)y = 1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1dsolve 的使用的使用q 几点说明几点说明l 如果省略初值条件，则表示求通解；如果省略初值条件，则表示求通解；l 如果省略自变量，则默认自变量为如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); dy/dx = 2xdsolve(Dy=2*x); dy/dt = 2xl 若找不到解析解，则返回其积分形式。若找不到解析解，则返回其积分形式。l 微分方程中用微分

10、方程中用 D 表示对表示对 自变量自变量 的导数，如：的导数，如：Dy y； D2y y； D3y ydsolve 举例举例例例 2：求微分方程求微分方程 在初值条件在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。下的特解，并画出解函数的图形。0 xxyye y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y);12( )ye dsolve 举例举例例例3：求微分方程组求微分方程组 在初值条件在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。下的特解，并画出解函数的图形。530tdxxyedtdyxydt x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t)

11、,Dy-x-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t)ezplot(x,y,0,1.3);0010|ttxy v dsolve 举例举例例：例：x,y=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t)这里返回的这里返回的 r 是一个是一个 结构类型结构类型 的数据的数据r.x %查看解函数查看解函数 x(t)r.y %查看解函数查看解函数 y(t)只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方

12、程（组）只能利用大部分微分方程（组）只能利用数值方法数值方法求数值解。求数值解。dsolve的输出个数只能为一个的输出个数只能为一个 或或 与方程个数相等。与方程个数相等。Matlab函数函数数值求解数值求解T,Y = solver(odefun,tspan,y0)其中其中 y0 为初值条件，为初值条件，tspan为求解区间；为求解区间；Matlab在数值求解在数值求解时时自动对求解区间进行分割自动对求解区间进行分割，T (向量向量) 中返回的是分割点的中返回的是分割点的值值(自变量自变量)，Y (向量向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。数值。so

13、lver 为为Matlab的的ODE求解器求解器（可以是（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）没有一种算法可以有效地解决所有的没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此问题，因此MATLAB 提供了多种提供了多种ODE求解器求解器，对于不同的对于不同的ODE，可以调用不同的可以调用不同的求解器求解器。参数说明参数说明odefun 为为显式常微分方程显式常微分方程，可以用命令，可以用命令 inline 定义，或定义，或在在函数文件函数文件中定义，然后通过函数句柄调用。中定义，然后通过函数句柄调用。fun=inline(

14、-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);注：注：也可以在也可以在 tspan 中指定对求解区间的分割，如：中指定对求解区间的分割，如：x,y=ode23(fun,0:0.1:0.5,1); %此时此时 x=0:0.1:0.5T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求初值问题求初值问题 的数值解，求解范围的数值解，求解范围为为 0,0.5222201( )dyyxxdxy 例例 4：数值求解举例数值求解举例如果需求解的问题是如果需求解的问题是高阶高阶常微分方程，则需将其化为常微分方程，则需将其化为一阶常一阶常微分方程组微分方程组，此

15、时需用，此时需用函数文件函数文件来定义该常微分方程组。来定义该常微分方程组。122212112101 00 7/()( ),( ),dxdtxdxdtxxxxx 令令 ，则原方程可化为，则原方程可化为12,dyxy xdt 求解求解 Ver der Pol 初值问题初值问题2221001 00 7()( ),( ),d ydyyydtdtyy 例例 5：数值求解举例数值求解举例l 先编写函数文件先编写函数文件 verderpol.mfunction xprime=verderpol(t,x)global mu;xprime=x(2); mu*(1-x(1)2)*x(2) - x(1);l 再编

16、写脚本文件再编写脚本文件 vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件。，在命令窗口直接运行该文件。 clear;global mu;mu=7;y0=1;0;t,x=ode45(verderpol,0,40,y0); plot(t,x(:,1),r-);Matlab 求解微分方程小结求解微分方程小结q Matlab 函数函数u 求解析解（求解析解（通解通解或特解），用或特解），用 dsolveu 求数值解（特解），用求数值解（特解），用 ode45、ode23 .q Matlab 编程编程u Euler 折线法折线法u Runga-Kutta 方法方法*n想：想：无论是解析解还是数值解，都不如图形解直观明了。无论是解析解还是数值解，都不如图形解直观明了。在在MATLAB下用下用 什么命令可以用图形显示解析解或数值解？什么命令可以用图形显示解析解或数值解？n提示：提示：如果微分方程（组）的解析解为如果微分方程（组）的解析解为y=f(x)，则可以，则可以用用MATLAB函数函数fplot作出函数曲线作出函数曲线y=f(x)的图形，具体用的图形，具体用法法其中其中fun给出函数表达式；给出函数表达式；lims=xmin xmax ymin ymax限限定坐标轴的大小例如定坐标轴的大小例如如果得到微分方程（组）的数值解（