平面向量的分解与坐标运算PPT课件

1、高效梳理第1页/共56页平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴y轴平行的两个单位向量ij作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.第2页/共56页平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2

2、),a=(x1,y1),ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.(3)非零向量a=(x,y)的单位向量为(4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.()() .222121ABxxyy221,ax yaxy或第3页/共56页需注意的几点(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是a=b,这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.1122122112211221,2, 200./ /00.xyxyxyx yx yabx yx yx yx y

3、因为有可能等于 ，所以应表示为同时，的充要条件也不能错记为：，等第4页/共56页 1122332121313121313121,A x ,y,B x ,y,C x ,y,ABxx ,yy,ACxx ,yy,xxyyxxyy0,A B C. 三点共线的判断方法判断三点是否共线 先求每两点对应的向量 然后再按两向量共线进行判定 即已知则若则 三点共线第5页/共56页考点自测第6页/共56页1.a1,1 ,b1, 1 ,c1,2 ,c()13A.2213B.2231C.2231D.22abababab 若向量则 等于答案:B第7页/共56页:cxayb,1,2x 1,1y 1, 1xy,xy ,1,

4、xy1,132c.xy2,322,2xaby 解析 设则第8页/共56页2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a4b-2c2(a-c)d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)答案:D第9页/共56页解析:由题知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0,即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D.第10页/共56页3.已知四边形ABCD的三

5、个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 =2 ,则顶点D的坐标为()A.(2, )B.(2,- )C.(3,2)D.(1,3)BC AD7212第11页/共56页:D x,y ,ADx,y2 ,BC4,3 ,BC2AD,x2,42x,732 y2 ,y.2 解析 设则又答案:A第12页/共56页4.ba1, 2180 ,b3 5,b_.若平面向量 与向量的夹角是且则22x,yk 1, 2k0 ,:bx,y ,xy3 5,k3,b3,6 . 解析 设则由题意知解得答案:(-3,6)第13页/共56页5.已知点A(1,-2),若点AB的中点坐标为(3,1)且 与向量a=(1,)共线

6、,则=_.AB:A B3,1 ,B 5,4 ,3AB4,6 ,AB a,41 60,.2 解析 由 的中点坐标为可知所以又3:2答案第14页/共56页题型突破第15页/共56页题型一tixingyi平面向量的坐标运算【例1】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b, =c,且 =3c, =-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求MN的坐标及向量 的坐标.ABCB CA CM CNMN 第16页/共56页解析:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3

7、(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). 2mbnc( 6mn, 3m8n)5, 5 ,6mn5,m1,3m8n5,n1. 解得第17页/共56页 3O 0,0 ,CMOMOC3c,OM3cOC3,243, 40,20 .M 0,20 .CNONOC2b,ON2bOC12,63, 49,2 ,N 9,2 .MN9, 18 . 设又第18页/共56页规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点终点坐标的关系求解.第19页/共56页 1O 0,0A 1,2B 4,5OPOAtAB.1 t,Px?Py?P?2OABP?,t;,. 创新预测 已知及为何值时在 轴上在 轴上在

8、第二象限四边形能否成为平行四边形 若能 求出相应的 值 若不能 请说明理由 : 1O 0,0 ,A 1,2 ,B 4,5 ,OA1,2 ,AB3,3 ,OPOAtAB1 3t,23t . 解析2;31;31 30,21.230,33PPtPtt 若 在x轴上，则2+3t=0,解得t=-若 在y轴上，则1+3t=0,解得t=-若 在第二象限，则解得第20页/共56页 21,2 ,33 ,33 ,331OAPB332OABPOP OAOAPBPOOBttOABPtt 方法一：若四边形为平行四边形，则，而无解，四边形不能成为平行四边形.方法二：=+tAB ,AP=tAB, A、P、B三点共线四边形不

9、能成为平行四边形.第21页/共56页题型二tixinger平面向量共线的坐标运算及应用【例2】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求满足a=mb+nc的实数mn;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(3)若向量d满足(d-c)(a+b),且|d-c|=5,求d.第22页/共56页 : 13,2m1,2n 4,1( m4n,2mn),mm4n3,82mn2,.9n 解析由题意得，得 2akc34k,2k ,2ba5,2 ,akc2ba ,234k52k0,16.13k 又第23页/共56页 2234,1 ,2,4 .x42 y 10,x

10、4y 15,x3,x5,.y1y3d3, 15,3 .dxyab 设向量 坐标为（x,y）,则d-c=由题意知或向量 的坐标为或第24页/共56页规律方法:(1)由两向量相等的充要条件可求得实数mn的值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程,进而求得k的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.第25页/共56页创新预测2如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标. :OPtOBt 4,44t,4t ,APOPOA4t,4t4,04t4,4t ,AC2,64,02,6 . AP,AC4t464t20,t 解析 方法一 设则由共线的充要条件知解

11、得第26页/共56页3446420,.44 ,43,3 .3,3 .tttOPttP 解得点坐标为第27页/共56页P,4,4 .,440.2,6 ,2, 6 ,CA22 60.P3,3 .x yOPx y OBOP OBxyCPxyCACPxy 方法二：设则共线，又且向量、 共线，-6解组成的方程组，得x=3,y=3,点 的坐标为第28页/共56页题型三tixingsan平面向量的坐标运算与其它知识的综合(,),sin,2,.2 ,.mam aabm3a22cos2bm【例 】设两个向量和其中为实数若求的取值范围2222: 2b(2m,m2sin ),22m,cosm2sin ,(2m2)m

12、cos2sin ,解析2224m9m41 sin2sin ,21 sin2sin2, 即又第29页/共56页224m9m42,1112,4,42222,2,2621,61 .mmmmmmm 解得又的取值范围是，第30页/共56页创新预测3在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点的坐标为A(2,3),B(1,-1),C(5,1),点P在直线BC上运动,动点Q满足 = + + ,求点Q的轨迹方程.PQAP BP CP :PQPAPBPC,PQPAPBPC,AQPBPC,PBC,AQ BC.Q x,y ,AQx2,y3 .BC4,2 ,2 x24 y30,x2y40,Q:x2y40. 解析 由得由于

13、 在上 则设则则有整理得故点 的轨迹方程为第31页/共56页对接高考第32页/共56页1.(2008安徽)若 =(2,4), =(1,3),则 等于()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)ABCA BC :BCACAB1,32,41, 1 . 解析答案:B第33页/共56页2.(2009宁夏中卫模拟)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),试用ab表示c等于()A.5a-3bB.2a-bC.a-2bD.2a+b:cmanb,7, 4m 3, 2n2,1(3m2n, 2mn),73m2nm142mn,n2ca2b. 解析 设则即解得答案:C第34

14、页/共56页31 13.(2010)asinx,b,cosx ,43 2ab,x()5A.B.C.D.64312广东五校联考 设且则锐角 为31 1: asinx,b,cosx ,ab,43 213111sinxcosx0,sin2x0,24344sin2x1.x,2x,x.24解析且即又为锐角答案:B第35页/共56页4.(2010荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn(a0,b0),则ab的最小值是_.:mn2 abab0,4 abab0,ab4ab0(),ab16.ab16.解析 由已知可得解得或舍去所以的最小值为答案:16第36页/共56页高效作业第37页/

15、共56页一选择题1.(2009广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二四象限的角平分线答案:C解析:a+b=(0,1+x2),平行于y轴.第38页/共56页2.(2009北京)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向答案:D第39页/共56页解析:由cd,则存在使c=d,即ka+b=a-b,(k-)a+(+1)b=0.又a与b不共线,k-=0,且+1

16、=0.k=-1.此时c=-a+b=-(a-b)=-d.故c与d反向,选D.第40页/共56页3.(2009天津联考)若a=(2cos,1),b=(sin,1),且ab,则tan等于 ( )A.2B.C.-2D.-1212答案:A解析:ab,2cos1=sin1.tan=2.第41页/共56页4.(2009山东济宁第一阶段质检)已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若uv,则实数k的值为()A.-1B.-C.D.11212答案:B解析:u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又uv,13=2(2+k),得k=- .12

17、第42页/共56页5.(2009湖南岳阳模拟)已知向量a=(-3,4),b=(3,-4),则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:D解析:a=-b,a与b平行且反向,故选D.第43页/共56页6.(2010山东烟台模拟)已知O为原点,AB是两定点, =a, =b,且点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则 等于()A.a-bB.2(a-b)C.2(b-a)D.b-aOABO PR 答案:C第44页/共56页解析:设 =a=(x1,y1), =b=(x2,y2),则A(x1,y1),B(x2,y2).设P(x,y),则由中点坐标公式可得Q(2x1-x

18、,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). = - =(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2(b-a).OABO PR OR PO PR 第45页/共56页二填空题7.(2009福建泉州质检)已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若ab,则实数x的值等于_.1:2答案解析:由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x= .12第46页/共56页8.(2008全国)设a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=_.答案:2解析:a+b=(+2,2+3)与c=(-4,-7)共线,(+2)(-7)-(2+3)(-4)=0,得=2.第47页/共56页9.(2009辽宁)在平面直角坐标系xOy