信号与系统02连续系统的时域分析

1、信号与系统信号与系统第第第2-2-2-1 1 1页页页电子教案 通信与电子工程学院第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积

2、代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性信号与系统信号与系统第第第2-2-2-2 2 2页页页电子教案 通信与电子工程学院 LTI连续系统的连续系统的时域分析法时域分析法：建立并求解线性微分建立并求解线性微分方程方程。 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解n阶常系数微分方程：阶常系数微分方程：y(n)(t) + an-1y (n-

3、1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信号与系统信号与系统第第第2-2-2-3 3 3页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。 yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上

4、述微分方程的特征根特征根确定。确定。例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P41表表2-1、2-2齐次解齐次解仅与系统本身的特性有关，而与激励仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)无关，称无关，称为系统的为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特

5、解特解的由激励确定，称为的由激励确定，称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统第第第2-2-2-4 4 4页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应解解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 特征根特征根1= 2，2= 3。 齐次解为齐次解为: yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 当当f(t) = 2e t时，特解设为时，特解设为 : yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1 特解特解 yp(t) = e t全解为：

6、全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-5 5 5页页页电子教案 通信与电子工程学院（2）齐次解同上。当激励）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为由表知：其特解为

7、 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解为不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数

8、C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也不能区，因而也不能区分自由响应和强迫响应。分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统第第第2-2-2-6 6 6页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即初始条件初始条件y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的

9、值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状初始状态态或或起始值起始值。信号与系统信号与系统第第第2-2-2-7 7 7页页页电子教案 通信与电子工程学院判断判断y(j)(0-)和和 y(j)(0+)是否相同的条件：是否相同的条件：（1）当微分方程等号右端含有当微分方程等号右端含有冲激函数（及其冲激函数（及其各阶导数）各阶导数）时，响应时，响应y(t)及其各阶导数中，有及其各阶导数中，有些在些在t=0处将发生跃变。处将发生跃变。 y(j)(0-)不等于不等于 y(j)(0+) （2）如果右端不含时，

10、则不会跃变）如果右端不含时，则不会跃变 y(j)(0-)= y(j)(0+) 求解微分方程，需要从已知的初始状态求解微分方程，需要从已知的初始状态y(j)(0-) 求求初始条件初始条件y(j)(0+) 。 方法：方法：冲激函数匹配法冲激函数匹配法 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-8 8 8页页页电子教案 通信与电子工程学院 d33,00dr tr ttrrt例：方程已知，求 项，项，方程右端含方程右端含t trtdd它一定属于它一定属于 tubtatr ttubtatuctbta 333 900 brr tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr

11、即即 03033bcaba 993cba即即最后一项为常数，在无穷小区间0-到0+的积分为0信号与系统信号与系统第第第2-2-2-9 9 9页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。对于对于零输入响应零输入响应，由于激励为零，故有，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-)对于对于零状态响应零状态响应，在，在t=0-时刻激励尚未接入，故有时刻激励尚未接入

12、，故有 yzs(j)(0-)=0yzs(j)(0+)的求法下面举例说明的求法下面举例说明。信号与系统信号与系统第第第2-2-2-101010页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应。求该系统的零输入响应 和零状态响应。和零状态响应。 解解：（：（1）零输入响应零输入响应yzi(t) 激励为激励为0 ，故，故yzi(t)满足满足 yzi”(t

13、) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为1， 2，故，故 yzi(t) = C1e t + C2e 2t 代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为C1=4 ,C2= 2 ，代入得，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-111111页页页电子教案 通信与电子工程学院2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yzs(t) 满足满足 yzs”(t)

14、 + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2f(t) + 6f(t) 且且 yzs(0-) = yzs(0-) = 0解：解： f(t)=(t)代入时右端含有代入时右端含有(t)，则，则yzs(0+)yzs(0-),由冲激函数匹由冲激函数匹配法求配法求yzs(0+)得到：得到： yzs(0+)= yzs(0-)=0 yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 对对t0时，有时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 (t)齐次解为齐次解为C3e-t + C4e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=C3e-t + C4e-2t + 3代入初

15、始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-121212页页页电子教案 通信与电子工程学院)()(trectrptniii1)(trececptniftnixiiii11tniftnixtniiiiiiiececec111自由响应强迫响应零输入响应零状态响应)(trzi)(trzs零状态响应的齐次解自由响应式中零输入响应系统的系统的全响应全响应分解分解信号与系统信号与系统第第第2-2-2-131313页页页电子教案 通信与电子工程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激

16、响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 输入为冲激函数输入为冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-141414页页页电子教案 通信与电子工

17、程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 因方程右端有因方程右端有(t)(t)，故，故0 0- -到到0 0+ +有跳变，利用冲激函数匹有跳变，利用冲激函数匹 配法求配法求h h(n)(n)(0(0+ +) )可得可得： h(0+)=h(0-)=0 h(0+) - h(0-) = 1，即，即h(0+) =1 对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一故系统的冲激响应为一齐次解齐次解。 特征根特征根1 1=-2=-2，2 =-3。冲激响应为。冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 代入初始条件求得代入初

18、始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-151515页页页电子教案 通信与电子工程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。

19、令令 h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ du(t) h(t) = a(t) + b(t) + cu(t) h(t) = a(t) + bu(t) （2） （du(t)、 cu(t)、 bu(t)不含不含(t) 项）项） 代入式代入式(1)，并依据，并依据(t) 系数匹配，系数匹配，得得 a =1 ，b = - 3，c = 12信号与系统信号与系统第第第2-2-2-161616页页页电子教案 通信与电子工程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应从而从而 h(0+) h(0-) = 3 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+)

20、=12对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)信号与系统信号与系统第第第2-2-2-171717页页页电子教案 通信与电子工程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应g

21、(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故)(tg)(t1t0LTI)(t)(tg零状态t0定义：输入为单位阶跃函数时所引起的零状态响应定义：输入为单位阶跃函数时所引起的零状态响应信号与系统信号与系统第第第2-2-2-181818页页页电子教案 通信与电子工程学院试求该系统的阶跃响应为描述某系统的微分方程例),()()( )(.tetrtrtr863)()()(teCeCtgtt8142422121故，特征根为000086)()( )()()( )()(ggttgtgtgtg满足方程为解：信号与系统信号与系统

22、第第第2-2-2-191919页页页电子教案 通信与电子工程学院1212122401(0 )011,848(0 )240111( )() ( )488ttgCCCCgCCg teet 由初始值代入上式得于是得信号与系统信号与系统第第第2-2-2-202020页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tpt

23、f信号与系统信号与系统第第第2-2-2-212121页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为，用宽度为，用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为，宽度为，用用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用、宽度为，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()

24、()(d)()()()(lim0tftftf信号与系统信号与系统第第第2-2-2-222222页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yzs(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yzs(t)( )( ) ()dzsytfh t卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统第第第2

25、-2-2-232323页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()(thtfthftyzs信号与系统信号与系统

26、第第第2-2-2-242424页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yzs(t)。解解： yzs(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 02()23( )e 6e1d(6eee )dttttzsyttttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信号与系统信号与系统第第第2-2-2-252525页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftf

27、tf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）变量替换变量替换： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。信号与系统信号与系统第第第2-2-2-262626页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分例f (t) ,h(t) 如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f (

28、 t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2011( )d24tzsytt 1t 2时时1111( )d224tzstytt 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22 h(t)函数函数 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttt-1 tt-1 2t 3 时时2211113

29、( )d2424zstyttt 0h( )f (t - )2013信号与系统信号与系统第第第2-2-2-272727页页页电子教案 通信与电子工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解

30、解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分）积分(两个区间两个区间），得），得f(2) = 0（面积为（面积为0）信号与系统信号与系统第第第2-2-2-282828页页页电子教案 通信与电子工程学院2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则）。（或运算规则）。一、卷积代数运算一、卷积代数运算满足乘法的三律：满足乘法的三律：1. 交换律交换律

31、： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统第第第2-2-2-292929页页页电子教案 通信与电子工程学院12( )( ).f tf t例、计算02t1)(1tf)()()(121tttf)()(tetft201t)(2tf)(tet信号与系统信号与系统第第第2-2-2-303030页页页电子教案 通信与电子工程学院210001001(1)(

32、)( )( )( ) 2 ()(1)2()2(1)222(1)2(1) ( )21 (1)tttttttttf tf tf tettdetdetde de detdetet 解：由卷积的交换律101tt得由1( )2 ( )(1)f ttt例：已知：)()(tetft212( )( ).f tf t计算信号与系统信号与系统第第第2-2-2-313131页页页电子教案 通信与电子工程学院二二.卷积的微分性质卷积的微分性质三三.卷积的积分性质卷积的积分性质 由以上两性质可得由以上两性质可得 在在f1( ) =f2(-) = 0的前提下的前提下(见见p73,2.4-16)()()()()()(tfd

33、ttdfdttdftftftfdtd212121)()()()()()(212121fdfdffdffttt dfdttdftftftt)()()()()(2121f可记为：可记为：f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-323232页页页电子教案 通信与电子工程学院2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套

34、用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统信号与系统第第第2-2-2-333333页页页电子教案 通信与电子工程学院五五.函数与冲激函数的卷积函数与冲激函数的卷积六六.函数延时后的卷积函数延时后的卷积)()()()( )( )()()