第2章质点动力学A(完全版3)

1、1 第第2章章质点运动定律质点运动定律Dynamics of a particle 内容提要内容提要力的三个效应力的三个效应 瞬时、时间累积、空间累积瞬时、时间累积、空间累积 * *惯性系惯性系和非惯性系和非惯性系2引言引言 物体是运动的。物体是运动的。对于运动物体，我们可以用位置矢量、对于运动物体，我们可以用位置矢量、速度、加速度等物理量来描述。用位移和速度速度、加速度等物理量来描述。用位移和速度描述物体描述物体的运动状态的运动状态。用加速度来。用加速度来 说明物体运动状态的变化。说明物体运动状态的变化。为什么物体运动状态会变化呢？为什么物体运动状态会变化呢？大量的力学实验证明，是其他物体的

2、作用。大量的力学实验证明，是其他物体的作用。 我们把我们把物体之间的相互作用物体之间的相互作用，称之为力。即一个物体，称之为力。即一个物体受到其他物体所施加的力的作用，就会改变其运动状态，受到其他物体所施加的力的作用，就会改变其运动状态，产生加速度。产生加速度。3 牛顿通过对各种各样的机械运动进行研究，抓住了牛顿通过对各种各样的机械运动进行研究，抓住了惯性、加速度和作用力惯性、加速度和作用力这三者的关系，以定理的形式这三者的关系，以定理的形式总结出了机械运动的普遍规律，人们称之为总结出了机械运动的普遍规律，人们称之为牛顿三大牛顿三大定律。定律。一一.牛顿三大定律牛顿三大定律 （1）牛顿第一定律

3、（惯性定律）牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都要保持其任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态静止或匀速直线运动状态,直到直到外力迫使它改变运动状态外力迫使它改变运动状态为止。为止。2.1 力的瞬时效应力的瞬时效应牛顿定律牛顿定律4对牛顿第一定律的理解：对牛顿第一定律的理解：牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：惯性惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力力是使物体改变其运动状态是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加速或是使物体获得加速度的一种作用。度的一种作用。合外力合外力 dt)m(ddtpdF 2）

4、牛顿第二定律）牛顿第二定律5dt)m(dF dtdmdtdm 如果物体的质量不随时间而变如果物体的质量不随时间而变，则第二定律可则第二定律可以写成以写成amdtdmF 牛顿第二定律是：牛顿第二定律是：瞬时瞬时关系关系；矢量矢量等式。等式。 xxmaF yymaF zzmaF 6式中式中, Fn、F 分别代表物体所受的沿轨道法向和分别代表物体所受的沿轨道法向和切向方向的合外力。切向方向的合外力。nnmaF maF 自然坐标系自然坐标系中的分量式中的分量式:amF 2m dtdm mn7 （3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，

5、大小相等、两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反方向相反,且在同一直线上。且在同一直线上。二二.牛顿定律的适用范围牛顿定律的适用范围低速低速、宏观、宏观、实物实物。惯性系。惯性系。 （1）弹簧的弹性力）弹簧的弹性力 f = kxk弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数； x弹簧的伸长量。弹簧的伸长量。为什么三大定律完全可以研究物体的运动？为什么三大定律完全可以研究物体的运动？三三. 相互作用力相互作用力8如果写成矢量形式：如果写成矢量形式：ikxf弹簧如果受到压缩，弹簧的弹力与压缩方向相反；弹簧如果受到压缩，弹簧的弹力与压缩方向相反；弹簧如果受到拉长，弹簧的弹力与伸长方向相反；弹簧如果受到拉长

6、，弹簧的弹力与伸长方向相反；注意：注意： 拉力、张力、压力、支持力都是弹性力拉力、张力、压力、支持力都是弹性力。其本质都是。其本质都是分子之间的电磁力。分子之间的电磁力。（2）摩擦力）摩擦力 当两物体间出现相对滑动时，此时产生一对阻止相对当两物体间出现相对滑动时，此时产生一对阻止相对滑动的力，称为滑动摩擦力。滑动的力，称为滑动摩擦力。1 滑动摩擦力滑动摩擦力9滑动摩擦力的方向恒与滑动摩擦力的方向恒与相对运动方向相反相对运动方向相反。 式中式中, k为滑动摩擦系数为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体其数值由两接触物体的材料性质和接触面的粗糙程度决定。的材料性质和接触面的粗糙程度决定。fk = kN

7、2 静摩擦力静摩擦力 两接触物体间虽未发生相对运动两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动但存在着相对运动趋势时趋势时,就产生静摩擦力。就产生静摩擦力。静摩擦力静摩擦力fs是个是个变力变力：0 fs s N (最大静摩擦力）最大静摩擦力）式中式中, s为静摩擦系数。对于同样的两个物体为静摩擦系数。对于同样的两个物体, kmg, m是否会上升呢是否会上升呢?am 水平水平: N=ma 竖直竖直: N=mg 解得解得 a=g/ 。16mNmgFs mR 讨论讨论(2)：在上面的图中，在上面的图中，要物体要物体m不下滑，圆不下滑，圆筒的角速度筒的角速度 至少应为多少至少应为多少?(设设圆筒与物

8、体圆筒与物体m间的间的摩擦系数为摩擦系数为 )。 图中物体图中物体m受三个力作用受三个力作用: N, mg, Fs= N。水平水平: N=mR 2竖直竖直: N=mg Rg 解得解得17 解解 在图在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，中，已经画出了各物体的受力情况，并规定并规定(ox轴轴)向上为各量的正方向。向上为各量的正方向。 例题例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，绳的一端挂有质量为绳的一端挂有质量为m1的物体，的物体，绳的另一端穿过一绳的另一端穿过一质量为质量为m2的有一小孔的柱体的有一小孔的柱体，求当，求当柱相对于绳柱相对于绳以恒以恒定

9、的加速度定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？图2-2oxa1Tm1gm1aoa2m2gTm2m1: T- m1g=-m1a1m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力即为摩擦力m1m218a柱对地=a柱对绳+a绳对地 m1: T- m1g=-m1a1m2：T- m2g =m2 a2即：即：a2=-a0 + a1 ,mmamg)mm(a2102211 2101212mmamg)mm(a 212102mmmm)ag(T 解得解得图2-2oxa1Tm1gm1aoa2m2g

10、Tm2m1m219 例题例题2-3 一人在平地上拉一个质量为一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀的木箱匀速地前进速地前进,木箱与地面的摩擦系数木箱与地面的摩擦系数=0.6,肩上绳的支持肩上绳的支持点距地面高度点距地面高度h=1.5m,问绳长问绳长L为多长时最省力为多长时最省力? 水平方向：水平方向：Fcos -fs=ma=0 （匀速）（匀速） 竖直方向：竖直方向：Fsin +N-mg=0 , fs= N解得：解得： L=h/sin =2.92m时时,最省力。最省力。解解 先找出力与某个变量先找出力与某个变量( )的关系，再求极值。的关系，再求极值。 sincosmgF mhLF图2-3fkNmg

11、0 ddFF有极值的必要条件是：有极值的必要条件是： tg20 例题例题2-4 设一物体设一物体m在离地面上空高度等于地球在离地面上空高度等于地球半径半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度度(不计空气阻力和地球的自转不计空气阻力和地球的自转)。解解 2rmMGF RRrdrgRd2220 地面地面:mgRmMG 2dtdm 22rgRdtd marmgRF 22gR Rmadtdrdrddtd drd 22rgR )( dtdr此处此处r是位矢，并是位矢，并不单指物体与球心不单指物体与球心的距离！又因为的距离！又因为速度方向与位矢方速度方向与位

12、矢方向相反，故向相反，故v前有前有负号！负号！21 例题例题2-5 半径为半径为R的光滑半球形碗内有一个小钢的光滑半球形碗内有一个小钢球球,当碗以角速度当碗以角速度 转动时转动时,小球离碗底有多高小球离碗底有多高? R h解解 由由 fn=man , ft=mat 有有 Nmg法向法向: Nsin =m 2Rsin 竖直竖直:Ncos =mgRg2cos解得解得2cos gRRRh 下面讨论利用自然坐标系解题的方法。下面讨论利用自然坐标系解题的方法。图2-422 例题例题2-6 如图如图2-6所示，质量为所示，质量为m的钢球由静止开始的钢球由静止开始从从A点沿圆心在点沿圆心在o、半径为、半径为

13、R的光滑半圆形槽下滑。当的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成的连线和竖直方向成 角）角）时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。切向加速度。 R2法向：法向：N-mgcos =man=m (1)解解 由由 fn=man , ft=mat 有有 图2-6RoANmgdtd 切向：切向：mgsin =mat=m (2)得：得： at=gsin 23dtdmmg sin cos22gRan cos212mgRm 积分得：积分得： dmgRdmsin02 (这可由机械能守恒得到这可由机

14、械能守恒得到)得：得：N=3mgcos R2N-mgcos =m由由图2-6RoANmgdtdddm ddRm ddm 为什么会有负号为什么会有负号?24 1.惯性参考系惯性参考系 从运动的描述来说从运动的描述来说,参考系的选择是任意的，这参考系的选择是任意的，这主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及运动和力的关系，即要应用牛顿定律时运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否参考系是否也能任意选择呢也能任意选择呢? 如图如图2-7所示，车厢所示，车厢A在地面上以加速度在地面上以加速度a向右运向右运动。动。 车厢内的光滑桌面上车厢内的光滑桌面

15、上有一与弹簧相连的质量有一与弹簧相连的质量m的小球的小球, 弹簧的另一端系弹簧的另一端系在车厢壁上。现在来分析在车厢壁上。现在来分析这个这个 弹簧、小球弹簧、小球 力学系力学系统的运动情况。统的运动情况。甲甲图2-7乙乙aAmk五五. 惯性参考系和非惯性参考系惯性参考系和非惯性参考系25 地面上的观察者甲：地面上的观察者甲： 小球小球m: F=kx=ma，符合牛顿定律。符合牛顿定律。 我们把我们把牛顿定律成立的参考系牛顿定律成立的参考系称作称作惯性参考系惯性参考系(简称惯性系简称惯性系), 而牛顿定律而牛顿定律不成立的参考系称作不成立的参考系称作非惯非惯性系性系。 一个参考系是不是惯一个参考系

16、是不是惯性系性系,只能由实验确定。只能由实验确定。 这个例子说明这个例子说明：以加速度以加速度a运动运动的车厢的车厢A为参考为参考系系,牛顿定律是不成立的。牛顿定律是不成立的。 车厢车厢A内的观察者乙内的观察者乙: 小球小球m: F=kx(因为弹簧确实已伸长因为弹簧确实已伸长)，a=0，显，显然这是违背牛顿定律的。然这是违背牛顿定律的。甲甲图2-7乙乙aAmk26 研究地球表面附近研究地球表面附近(高度不太高、距离不太远高度不太高、距离不太远)物物体的运动时体的运动时,地面地面(或固定在地面上的物体或固定在地面上的物体)就是近似程就是近似程度相当好的惯性系度相当好的惯性系。 惯性系有一个重要性

17、质：惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。速直线运动的参考系也是惯性系。 研究大气层和远程导弹的运动，研究大气层和远程导弹的运动，地心参考系地心参考系是近是近似程度相当好的惯性系。似程度相当好的惯性系。 天体运动的研究指出天体运动的研究指出: 如果我们选择的参考系，如果我们选择的参考系，以太阳中心为原点，以指向某些恒星的直线为坐标轴，以太阳中心为原点，以指向某些恒星的直线为坐标轴，则所观察到的天文现象都与则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和万有引力定牛顿定律和万有引力定律推出的结论相符合，因此，这样的律推出的结论相符合，因此，这样的日心参考

18、系日心参考系是惯是惯性系。性系。 272.加速平动参考系中的惯性力加速平动参考系中的惯性力 假设非惯性系假设非惯性系S 相对惯性系相对惯性系S以加速度以加速度a作直线运作直线运动动，于是有，于是有sssmmsaaa aa amamamms F则则在非惯性系在非惯性系S 中中有有 amFFi 假想假想: Fi=-ma 惯性力惯性力为物体为物体m受的真实合外力，受的真实合外力，FamamF 移项得移项得对比：对比：在惯性系中在惯性系中，牛顿第二定律，牛顿第二定律这就是这就是非惯性系非惯性系S 中的牛顿第二定律。中的牛顿第二定律。amF28注意：注意： 惯性力惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。不遵从牛

19、顿第三定律。 2 惯性力惯性力是非惯性系观察者虚拟的力是非惯性系观察者虚拟的力，区别于真实的力。，区别于真实的力。它既无施力物体，又无受力物体。它既无施力物体，又无受力物体。这里的这里的a不是物体不是物体m的加速度，而是非惯性系的加速度，而是非惯性系S 相对相对于惯性系于惯性系S的加速度。的加速度。1 惯性力惯性力amFi大小：大小：Fi=ma方向：方向：和非惯性系和非惯性系S 相对于惯性系相对于惯性系S的加速度的加速度a 相反相反。29 例题例题2-7 如图如图2-8所示，升降机内有一倾角为所示，升降机内有一倾角为 的的光滑斜面。当升降机以匀加速度光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时

20、，相对地面上升时，一物体一物体m正沿斜面下滑。求物体正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加相对于升降机的加速度。速度。 解解 以升降机为参考系以升降机为参考系(非惯性系非惯性系)，物体物体m受三个力作用：真实力受三个力作用：真实力mg和和N,惯性力惯性力ma，方向如图。，方向如图。ama 沿斜面方向应用牛顿定律沿斜面方向应用牛顿定律,有有 m(g+a)sin =ma 解得：解得： a =(g+a)sin 图2-8mamgNm a30*3.匀速转动参考系中的惯性力匀速转动参考系中的惯性力 假定一质点相对匀速转动的参考系假定一质点相对匀速转动的参考系(非惯性系非惯性系)静静止止,在惯性系看在惯性系

21、看,受到的向心力为受到的向心力为 如果如果在在转动参考系转动参考系(非惯性系非惯性系)中中,还要套用牛顿定律还要套用牛顿定律,就必须认为就必须认为质点除了受到质点除了受到“真实的真实的”力以外力以外,还受到一个还受到一个惯性惯性(离心离心)力力的作用的作用: nemrf2 m图2-9r (方向沿半径指向圆心方向沿半径指向圆心) (方向沿半径向外方向沿半径向外)niemrF2 31 如果质点相对匀速转动参考系如果质点相对匀速转动参考系(非惯性系非惯性系)运动运动,则所受的惯性力较为复杂。除了受到则所受的惯性力较为复杂。除了受到惯性惯性(离心离心)力力的的作用外，还受到一种叫作用外，还受到一种叫科

22、里奥利力科里奥利力的惯性力。的惯性力。 可以证明，科里奥利力的计算公式为可以证明，科里奥利力的计算公式为 mFc2式中式中 为转台的角速度，为转台的角速度， 为为质质点相对点相对转台的速度。转台的速度。 图2-10m 北半球的河床右岸为什么北半球的河床右岸为什么受到较厉害的冲刷？赤道的信受到较厉害的冲刷？赤道的信风是怎样形成的？这些都是科风是怎样形成的？这些都是科里奥利力作用的结果。里奥利力作用的结果。可以在图书馆找周衍柏可以在图书馆找周衍柏理论力学理论力学p141321 牛顿三大定律牛顿三大定律基本方法：基本方法： 隔离体法隔离体法+正交分解正交分解质点动力学核心：质点动力学核心： 受力分析

23、受力分析则则在非惯性系在非惯性系S 中中有有 amFFi 2非惯性系非惯性系惯性力惯性力amFi牛顿定律牛顿定律不能用不能用,要用则加惯性力要用则加惯性力质点动力学小结质点动力学小结:33 北半球的河流由南向北流动，由于科里奥利力北半球的河流由南向北流动，由于科里奥利力向东向东，使河流的右岸受到冲刷。南半球反向，使河流的左岸受使河流的右岸受到冲刷。南半球反向，使河流的左岸受到冲刷（到冲刷（试分析之试分析之） 我们知道，地球的南北两极空气冷，赤道的空气的温我们知道，地球的南北两极空气冷，赤道的空气的温度高。于是北半球的空气向南推进，形成向南的信风。度高。于是北半球的空气向南推进，形成向南的信风。 但是由于科里奥利力向西，但是由于科里奥利力向西，结果风吹向西南，形成东结果风吹向西南，形成东北信风北信风。如图。如图p75 在南半球，形成向南的信风。但由于科里奥利力使得在南半球，形成向南的信风。但由于科里奥利力使得形成东南信风。如图形成东南信风。如图p75赤道的的信风形成赤道的的信风形成 (周衍柏周衍柏理论力学理论力学p141)34yj ixk Sor 设平板参照系设平板参照系 以角速度以角速度 绕轴（垂直于板）转动。绕轴（垂直于板）转