极限——公式总结

1、浅谈极限计算h啸省经济贸易学校李发梅我们知道，极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似 认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。同时，极限是微分的理 论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等， 由此可见极限的重要性。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学牛尤 其是基础较差的屮专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和 极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多，针对中专学生的实 际情况，笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。%1. 基本概念要求函数的极限，首先而且

2、必须要正确理解两数的极限以及与其有关的儿个垂要的 基本概念。em / (%) = j4 <> lim /(x)= lim f(x) = a xt9xtflim ¥(x) = aolim /(x) = lim /(x) = xt 心xtk：石以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则，而且指明了 "too 含义为xt +8、2®两方而；xtoo的含义为xt恋xt石两方面。2.无穷人和无穷小无穷大和无穷小（除常数0外）都不是常数，而是两类具有特定变化趋势的变量，如果变量在某变化过程中，其绝对值无限制地增大，则称丁在该变化过程中，为无穷大如果在某变

3、化过程中变量y以零为极限，则称y在该变化过程中，为无穷小。笼统说某变杲是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不止确的。要求极限必须理解下而儿个与无穷大或无穷小有关的重要关系，它们对求函数的极 限非常有用。函数的极限与无穷小的关系:lim /() = ao f(x) = a + a,苴中 a是x t xa(x t 8)时的无穷小，即 lim a = 0 xt*<xt«x.无穷小与无穷大的关系：在同一变化过程中，若y为无穷人，则丁是无穷小；若y 是无穷小少旳，则夕是无穷大。无穷小与有界函数的关系：无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。3.函数连续与极限的关系在某点处函数的连续性为极限既

4、区别又联系。区别是：函数在某点处连续不仅要求函数在这一点有极限，而h要求函数在这点处 的极限值一定等于该点的函数值；而极限则是指两数在某点附近的变化趋势，而与函数 在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。杓lim/（x） = lim/（为=/（心）联系是：函数/囚在兀点连续的充要条件是:皿 3亦°由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。兀三lim函数/囚在勺点连续a f存在。%1. 求极限的基本思路极限的计算题屮分两人类：一类是确定型的极限，它包括以下儿种情况:1根据初等函数的连续性；2.直接利用极限运算法则；3.利用无穷大与无穷小的关系；4 利用无穷小有界函数乘积为无

5、穷小。0 co另一类是未定型（也称未定式）的极限，它包扌e、石、8 8、广型。计算耒定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定熨的极限进行计算，或利用两个重要极限，或罗必达法则进行计算。%1. 求极限的方法.确定型的极限1 利川连续函数的连续性求极限一一代入法山函数八刀在®点连续定义知，go由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数 值。【例1】：求卿"+25）【解】.ja）= * + 25是初筹函数，在英立义域（全 lim（x2 + 2兀- 5）体实数）内连续所以用代入法求出该点的函数值就可。即心=2-2+2-2

6、 5=3© 2x + 3 2x + 3【例2】；求2° / + 6【解】rh于妙二/ + 6 在兀=0处连续，所以十 x3 -2x4-331lim =u ，+ 66 22利用极限的四则运算法则求极限。特别地唸qslc a;b,则史1/a）±m（rla 土 b； 幌箸餌0）f (x) . £(x)la b3利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。利用“无穷小为有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质对以计算某些函数的极限， 但在应用这一性质求极限时，要注意求解过程的写法。r . 1 . 1limxsin-sin【例3】求z x的极限 【解】当&quo

7、t;to时，x是无穷小，而 兀是有界函数,因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是,4.利川无穷人与无穷小的关系求极限。无穷大与无穷小的关系：无穷人的倒数是一个无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小，其倒数为一个无穷大。v兀+4lim【例4】求极限5兀一1x-1x-1lim【解】因为"兀+4二0。即兀+4是当xt1时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系乂+4lim-=cx3可知，它的倒数k 是当xt1时的无穷大，即i】x-l5分别利川左右极限求得函数极限求分段函数在连接点处的极，要分别求左、右极限求得函数极限。它根据以卜定理:lim =/(x)= m f(x) = a

8、/(x) =o对于分段函数g(x)0 5 <x <心，血0),心<x<xo+d,考察lim f(x)lim /(x) = limlim f(x) = lim g(x)f 是否存在就要分别求宀心f与fz.未定型(也称未定式)的极限1可化为连续函数的函数极限求函数极限时，有时常常会遇到，函数血在兀点没有意义，即函数血在®点不 连续，这时就不能直接利用代入法求函数的极限。这时要视具体情况对妙进行适当的 0.恒等变形，转化为连续函数，再利用函数的连续性求岀极限，该方法常用于”型的 极限。在进行变形时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有 关公式。其

9、目的就是消去分母中的零因子。lim【例5】求"4后口【解】当xt4时，(7771-3)0 ?这时不能直接利用代入法求函数的极限，但对 函数进行分母“有理化”的恒等变形以后，就可化为连续函数的函数极限，再用代入法 求函数的极限，即：2利用两个重耍极限求极限旦两个重要极限给出了求。型、广型的极限的计算两个重要极限为:热宁"忸w)或即t由重要极限及替换町求卜列极限:em= o,hm = a1=1応(1+奴劝网x沁曲)応(1 +奴力)丽=eaxt “改为英它情形也有类似的结论。cosxlimx七2 a2仏【例6】求lim (1 +tan x)cot?r【例7】求ilim (1 +

10、tan x)曲=lim (1 + tan兀)讪"=e 【解】55lim /(x) = l, lim g(x) =oo 设心蚣心心,则利用亜要极限有lim /(x)能)=lim 1 + (/仗)-1)詁訥曲*)=异xtx(jxtx(jlim gw-c/w-1) = 4 其g2lim(l+3x)融【例8】求极限丄i【解】即+列二怪”丄张sdw3. r变量趋向无穷人时令理分式求极限法则若分式中分子和分母的同次，则其极限等于分子和分母的最鬲次项的系数之比;若分式中分子的次数低于分母的次数，则该分式的极限是零：%=< 0的 > m<«若分式中分子的次数高于分母的次数

11、，则该分式的极限不存在(为无穷大)。lim 5j bqxk +$严 + ® 即当勺h 0,血h °时有4利用洛必达法则求耒定式的极限0 8求不型或石型未定式更常用的方法是用洛必达法则。具体方法如下:=0(co),lm g(x) = 0(co)；/(x),g(x>&= a设zz的空心邻域可导，炎)丸讪牟 = 4则lim型"f,其中人可以是极限数也可以是8。将xt改为xt/或xf，孤*等也有相应的洛比达法则。(2)应用上述法则是应注意:若心酗不存在，也不为00 ,不能说明i酌不存在。例如,em匸止=1,但,em吐旦即em (1 + c如xt如xxt如才xt如不存在。0co必须验证应用法则的条件，必须是0型或石型未定式方可利用洛比达法则。例如，以