高考数学(文)大一轮复习习题冲刺985压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量word含答案

1、压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量三角函数的图象与性质已知函数 f(x)=2sin21-4- + x J-邓cos 2x, xC 1, 2求f (x)的最大值和最小值；求实数 m的取值范围.(2)若不等式2vf(x)m< 2在xC.,方1上恒成立,2(1) f (x) = 2sinH x 173cos 2xcos 2 xi,兀cos -2 + 2x一，I兀因为x |7,=1-=1 + sin 2 x5cos 2 x兀= 1 + 2sin 2x- 所以 I 2x-f<2r，故 2W1+2sin 2x- 3卜 3,所以 f (x) max= f1= 3, f(x)min=f兀r i

2、= 2.4(2)因为一2vf(x) m< 2? f (x) -2< m<f (x) +2, xC所以m> f (x) max 一 2 且 RK f (x) min + 2 .max= 3 ,f ( x) min = 2 ,所以1 v m<4,即m的取值范围是(1,4).本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值.已知函数f(x)=AsinA> 0, w > 0) , g(x)=tan x,它们的最小正周期之积为2兀2, f (x)的

3、最大值为2g14 J.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设 h(x) = 2f2(x) + 23cos2x,当 xC .|a, 3 时，h(x)的最小值为 3,求 a 的值.解：(1)由题意得红兀=2兀2,所以3 = 1.又 A= 2g 兀 2tan 4= 2tan -4=2,所以 f (x) =2sin |Jx + -4j., 一兀兀一兀 一由 2k 兀一 < x+ < 2 k 兀 + ( k e Z),得 2k兀<x<2 kk + (kC Z). 44故f(x)的单调递增区间为2k Tt -34, 2k Tt +;4kZ).(2) h(x) =|f2(x) +2

4、6cos2x=3x 4sin 2 g+亍；+ 2/3cos2x=3 |l cos 2+ 2x P+ &cos 2 x + 1)= 3+/+3sin 2 x+cos 2 x= 3+3+2V3sin . 十 因为h(x)的最小值为3,令 3+3+23sin ,x+( j= 3? sin 7x + _6 i= 2.因为 xe a, 3j,所以 2x+-r 2a+。， 6 J 66 7UL 1、p c兀兀所以 2a+, 66即a=7t三角函数和解三角形已知a, b,c分别是 ABC勺三个内角 A, B, C的对边，且2bc cos Ca cos A(1)求A的大小;(2)当a=3时，求b2 +

5、 c2的取值范围. 2b- c cos C(1)已知在 ABC43, =a cos A由正弦定理,2sin B sin C cos Csin Acos A即 2sin Bcos A= sin Acos C+ sin Ccos A=sin( A+ C = sin B, ,1所以 cos A=所以A= 60。.(2)由正弦定理,sin £ sin B sinC12,则 b=2sin B, c= 2sin C, 所以 b2 + c2= 4sin 2B+ 4sin 2c=2(1 cos 2 B+ 1 cos 2 C)=2=2= 2 2* 2B+in 2= 4+2sin(2 B-30°

6、; ).因为 0° v Bv 120° ,所以一30° v 2B- 30° <210° , ,1所以一2<sin(2 B- 30 )<1,所以 3<b2+c2<6.即b2+c2的取值范围是(3,6三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角, 再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.已知函数 f(x) = 2cos2xsin12x 一幕求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合; .3，、一(2)在 ABC中，角 A B, C的对边分别为

7、a, b, c.若f(A)=, b+c=2,求实数 a的最小值.解：(1) f(x) = 2cos2xsin12x=(1 + cos 2 x) 'sin 2 xcoscos 2 xsin=1+ *sin 2 x+2cos 2 x= 1 + sin 2x+ )函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，(兀则 sin |2x+ j= 1,2*+彳=2卜兀 +-2-, kCZ,“ 一一TT解得 x= k % +y, kC Z.故f (x)取最大值时x的取值集合为ix x = k 兀 + 6-, ke Z r.(2)由题意知，f(A) = sin ,A+ -y六 1=3, 化简得 sin

8、，2A+* i=1.62兀兀 'A.2A+ /兀 5兀-2A+= V66在 ABC中，根据余弦定理，得a2= b2+ c2- 2bccos-= ( b + c)2 3bc. 3由 b+c=2,知 bcw |-2)=1,当且仅当b= c=1时等号成立.即 a2>1.，当b=c=1时，实数a的最小值为1.ICB|平面向量若a, b, c均为单位向量，且 a - b= 0, (a- c) - (b - c) <0,则| a+bc|的最大值 为()A.21B. 1C.2D. 2法一：(目标不等式法)因为 | a| = | b| = | c| = 1, a , b= 0,所以 | a

9、+ b| 2 = a2+ b2+ 2a - b= 2,故| a+ b| =42.展开(a c) ( b c) <0,得 a b (a+ b) c+ c2<0,即 0 (a+b) - c+1<0,整理，得(a+b) 01.而| a+b c| 2= (a+b)22(a+b) c+c2= 3-2( a+b) c,所以 3-2(a+b) - c<3-2X1= 1.所以 | a+ b c| w 1,即 | a+ b c| < 1,故| a+b c|的最大值为1.法二：(基向量法)取向量a, b作为平面向量的一组基底，设c= m升nb.由 | c| = 1,即 | m升 nb

10、| = 1,可得(ma2+(nb) 2 + 2mna b=1,由题意，知 | a| = | b| = 1, a , b= 0.整理，得m+ n2= 1.而 ac=(1 n) anb, bc=_ m升(i - n)b,故由(a c) ( b c) wo,得 w 0,展开，得 mm- 1) a2+n( n1) b&0,即 m2-n2- n< 0,又 m2+ n2= 1,故 n>1.而 a+ b c= (1 m a+ (1 n) b,故| a+ b-c| 2=2=(1 - m) 2a2+ 2(1 m)(1 n) a b+ (1 n) 2b2=(1 m)2+ (1 n)2=1+ n

11、2- 2( mH- n) +2=3 2( m n).又 mu n>1,所以 3 2( mu n) < 1.故| a+b c| 2<1,即| a+b c| w1.故| a+b c|的最大值为1.法三：(坐标法)因为 | a| =| b| = 1, a - b=0, 一兀所以 a, b =-2. 、I 设 OA = a, OB=b, OC=c, 因为a±b,所以OAL OB分别以OA OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图 (1)所示, 则 a=(1,0) , b= (0,1),则 A(1,0) , B(0,1).设 C(x, y),则 c= (x, y),

12、且 x2+ y2= 1.图则 a-c=(1 -x, y),b-c=( x, 1y),故由(a c) ( b c) <0,得(1 -x)x(-x) + (-y)x(l -y)<0,整理，得1 x yw。，即 x + y>1.而 a+ b c= (1 x, 1 y),贝 U|a+b-c| = yj1 -x3一1 -y2 =,3-2x+y .因为 x+y>1,所以 3-2(x+y)<1,即 | a+ b c| w 1.所以|a+bc|的最大值为1.法四：(三角函数法)因为 |a|=|b|=1, a , b=0,所以 a, b =-2.设"OA = a, &qu

13、ot;OB =b, "OC =c,因为a±b,所以OAL OB分别以OA OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则 a=(1,0) , b= (0,1) , A(1,0) , B(0,1).因为 |c| =1,设/ COA= 0 ,所以C点的坐标为(cos 0 , sin 0 ).),贝U a c= (1 cos 0 , sin 0 ) , bc= ( cos 0 , 1 sin 故由(a- c) ( b c) <0,得(1cos 0)x( cos 0)+(sin 0) x (1 sin 0 ) < 0, 整理，得 sin 0 + cos

14、 0 > 1.而 a+ b c= (1 cos 0 , 1 sin 0 ),贝U | a + b - c| = yj1 cos02+1 - sin02=、3-2 sin e +cos e.因为 sin 0 + cos 0 >1,所以 3 2(sin 0 + cos 0 ) < 1,即| a+b c| w1，所以| a+bc|的最大值为1. 法五：（数形结合法）即/:设 OA = a, OB=b, OC= c,因为 | a| = | b| = | c| = 1,所以点A, B, C在以O为圆心、1为半径的圆上.一 ，易知 CA=ac, CB = b-c, | c| = | OC

15、 | .0-(2)由(ac) . (bc尸0,可得 CA CBW0,一一任一，.一-一 一 -一则BC*兀(因为 A B, C在以O为圆心的圆上，所以 A,BC年兀)，故点C在劣弧AB上.由 a b= 0,彳导 OAL OB设"OD =a+b,如图(2)所示，B, C三点不能共线,因为 a+b-c= OD- OC= CD,所以 |a+bc| =| CD| ,即|a+b c|为点D与劣弧AB上一点C的距离， 显然，当点C与A或B点重合时，CDt长且为1, 即|a+b c|的最大值为1.B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：(1)利用其“形”的特征，将其转化为平面

16、几何的有关知识进行解决；(2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决.1.在ABD, AB= 2, AD= 2事,E, C分别在线段 AD BD上,AE=1AD BC=3BQ34>AC一 11BE=,则/ BAD勺大小为()3B.C.7t二 一 ,_ . .3>解析：选D依题意，AC= AB+ BC= AB + 彳BD1 > 3> >=4 ab + 手 ad, beaae -漏=：7D -漏，3所以 NC - -Be ="B+3 w441>7尸 AB）_：i B12+：| Ad|2-2次渴443 4x22+：x（2 V2）2-3

17、ad 漏=?, 4433所以ND 血=4,探漏 -4 J2所以 cos / BAD=r=-4，I 寺| I漏| 2X2V22因为0v/ BAtX兀，3兀所以/ BAD=.42.在等腰梯形 ABCD,已知 AB/ DC AB= 2, BC= 1, Z ABC= 60° .动点 E和F分别在线段BC和DC±,且-BE =入"BC,"DF = 工岳，则NE升 的最小值为.9人解析：法一：（等价转化思想）因为"DF=z1-Do, "DC=AB, 9人2d = 'Df-Dc=+A-Dc=1"=19A 盛，99Io.AE = A

18、B+ BE= AB + 入 BC,p F c> > > > > > 1 9>AF = AB+ BC+ CF= AB+ BC+ ° AB1o A1 + 9 入>->= 7-AB+ BC.1o人所以X -店=（海+入黄）- j11 7B+后:奇漏2+入立2+（1+1 + 9X X4+ 入 19 + 9 . X2X1XC0S 120 ° 18 入1821172117 299T+2 入+M 79V 2 入，当且仅当219T=2 入，即入=g时，AE - AF的最小值为 318法二：（坐标法）以线段AB的中点为坐标原点， AB所在

19、直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示,A O ti x则 A( 1,0) , B(1,0),» > > >所以 AE= AB+ BE= AB+ 入 BC =132-2入，土入M = 7D + 子=血 += r+,盅 i,9入 0 9入，2 f所以立 /=-?)£+言+号号_ 17 2l 217 /入 229=18+2+9入>18+22 9入=18一，21当且仅当9T=2入，即入=|时，K M的最小值为29. 31829答案：G升级增分训练、 . . . -1. （2017 宜春中学与新余一中联考 ）已知等腰 OAB ,|OA = |OB=2,且|

20、 OA+ OB3| >3-| AB| ,那么OA-OB的取值范围是（）A.解析：选 a 依题意，（-OA + ob）2>1（,-TOa）2, 3化简得 OA -OB>-2,又根据三角形中，两边之差小于第三边，一 _ 2_ >_ 2_ >可得 | O A| O B|v|A B|=| O B-O A|,两边平方可得(i "OA| | "OBi)2V ("OB "OA)2,化简可得 OA - OBv 4, 2W OA - OBv 4.、 .、. ， .、 _ . . , .2. (2017 江西赣南五校二模 )ABC勺外接圆的圆心

21、为 O,半径为1,2 AO= AB+ AC且|"OA|=|NB|,则向量"BA在"BC方向上的投影为（）1A. 2B.iC-2D.32_ 32解析：选 A 由2AO =7AB +NC可知O是BC的中点，即BC为ABa卜接圆的直径， - - ，一一，所以 | OA| = | OB| = | OC| ,由题意知 | OA| = | AB| =1, 故AOA助等边三角形，所以/ ABC= 60。., - -，一一，1所以向量 BA在BC万向上的投影为| BA|cos/ABC= 1 x cos 60 = 2.故选A.3. (2017 石家庄质检 )设 a , 3 C ,且

22、满足 sin a cos 3 cos a sin 3 = 1,则 sin(2 a 3) + sin( a2 3)的取值范围为()A.B.C.D.解析：选 C . sin a cos 3 cos a sin 3=1,即 sin( a 3) = 1, a , BC,0W a W 兀， a 3 =?，又1兀20W 3 = a -2£ 兀,则Iw a < 71 ,sin(2 a 3 ) + sin ( a 2 3) q 一 c ,、=sin 2 a a + 2 !+ sin(52 a + 兀)=cos a + sin a = 2sin '兀、“十4J- 1 w -2sin 1(

23、即所求取值范围为.故选C.4. （2016 湖南岳阳一中4月月考）设a,b为单位向量，若向量 c满足|c（a+b）| =| a b| ,则| c|的最大值是（B.D.A. 1C. 2解析：选 D ,一向量c满足| c(a+b)| = | ab| , | c- (a+ b)| = | a b| n | c| | a+ b|.|c| <1 a+b| +| a-b|a + b| 2+|ab|2 =艰 2a2+2b2 =2 卷.当且仅当|a+b| =|ab| ,即 a，b 时，(| a+b|+|a b|) max= 20 .|c| W2d2. . | c| 的最大值为 2也.5. （2016 天

24、津高考）已知函数f（x）=sin2 CO X1+ 2sin14.w X-( w >0) , XC R.右 f(x)在区间（兀2兀）内没有零点，则 3的取值范围是A.B.C.D._4解析：选1 cos 9 X 1D f(x) =2+ 2sin1=2(sin2w x cos w X)=才sin CX-41因为函数f（x）在区间（兀，2兀）内没有零点,所以2兀.兀一一 即一 > 兀,所以0V w co当xC（兀，2兀）时,2 co兀若函数f （x）在区间（兀，2兀）内有零点,一.TT .TT .则 3 兀4-v k 兀 v 2 3 兀4( k C Z)郎-+ < 3 < k+

25、 -(k C Z). 2 84当k = 0时)2V<2 ； 84当 k = 1 时)-< 3 Vl. 84所以函数f(x)在区间(兀，2兀)内没有零点时，0V 3 Wg或7W co < 8 486.(2016 全国乙卷)已知函数 f(x)=sin( x+。)a >0, | 力| w_2 j, x=十为 f(x) 的零点，x=3为y= f (x)图象的对称轴，且 f (x)在，8 篝上单调，则 3的最大值为 ()A. 11B. 9C. 7D. 5 兀一丁十小二仁兀)k1CZ)解析：选B由题意得I兀兀！ 尸一-4Co + (j)=k2 7t+-2, kzCZ,一兀一兀co=

26、2k+1)kCZ, ()= -4-$= 13=11,则 j=, 47t18此时 f(x)=sin 11x-4- i； f (x)在区间在区间不满足f(x)在区间8，56，单调；若3 = 9,此时f(x)=sin，+亍J,满足f (x)在区间兀185兀、瓦单调递减，故选 B.7. (2016贵州适应性考试)在4ABC中，a, bc分别是角 A, B, C的对边，已知 a2+ c2= ac+ b2解析：由b= 3,且a>c,则2ac的最小值是 a + c2 b2= 2accos B= ac,一,1 - 。一所以 cos B=则 B= 60 ,又 a>c,所以 60° <

27、 Av 120° ,sin A sin C sin B 322,贝U2ac = 4sin A 2sin C= 4sin A- 2sin(120A)=2标所(A- 30° ),当A= 60°时,2ac取得最小值3.答案：38.在ABCf,1角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且 acos B-bcos A= /c,当 tan( AB)取最大值时，角B的值为解析：由 acos1 一 B- bcos A= 2c及正弦定理,得sin1 Acos B sin Bcos A= ?sin C1=2s所(1A+ B) = 2(sinAcos B+ cos Asin

28、B),整理得sin Acos B= 3cos Asin B,即tanA= 3tan B,tan( A- B)取得最大值,即 tan B=易得 tan A>0, tan B>0,tan A tan B 2tan Btan( A 场1 + tan Atan B_ 1 + 3tan 当且仅当tan B=3tan B， B22312%/33，+ 3tan B 2 3tan B答案：69. (2016 浙江高考)已知向量a,b, |a| =1, |b| =2.若对任意单位向量 e,均有|ae|+1 b e| w %/6,则a - b的最大值是解析：由于e是任意单位向量，可设a+ be=|a+

29、b| '则 | a e| +1 b e| =a1a+ b|a+b|a | a+b| a+b|a+ bI a+ b|a+bI a+b|a+b|=| a+ b| .b|a+ b |a+b| | a e| + | b - e| < /6,| a+ b| <6,.(a+b)2<6,|a|2+|b|2+2a- b<6.|a| = 1,| b| =2,1+4+2a - b<6,1 a b的取大值为2.答案：210. (2017 湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x) =72sin x + 46cos x(xCR).若a C且f(a) = 2,求a；1(2)先将y

30、 = f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动9 (9 >0)个单位长度，得到的图象关于直线x=34L对称，求e的最小值.X + "76cos XX解：(1) f(x)=/sin = 2>/2(sin x +=2 2sin jx由 f(a)=2,得 sin兀CI兀十万=27+ -3=2kTt +于ke z.又a e,拓 5兀收 a = 12".I (2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，得到y=2小sin ,x+高卜图象，再将y=242sin ?x+3囿象上所有点的横坐标向右平行

31、移动0个单位长度,得到 y=242sin J2X-2 0 +-3 网图象., 兀,，由于y=sin x的图象关于直线 x= k兀+5(kC Z)对称，令 2x 2 0+ = k 兀 + ,解得 x= +。+ 12，k C Z.x= 4-对称,由于y=2'/2sin l2x-2 0勺图象关于直线3解得>0可得,当k=1时，。取得最小值6II .在锐角 ABC43,角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, sin 2A= sin 2B+ sin 2C sinBsinC.求角A;(2)若a= 2击，求b + c的取值范围.解：(1)由正弦定理及 sin2A= sin2B+sin2C sinBsinC,知a2 =b2+c2bc所以 cos A= b22 =1.2bc2兀 一 一.兀又 0vAv ，所以 A=T- 23(2)由(