【人教A版】高中数学必修三作业与测评单元质量评估(三)

1、起单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为()在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；在标准大气压下，水在4时结冰.a.1b.2c.3d.4【解析】选c.在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定

2、被抽到，是随机事件；从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；在标准大气压下，水在4时结冰是不可能事件.2.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件a为“出现1点”，事件b为“出现2点”.已知p(a)=p(b)=16，则“出现1点或2点”的概率为()a.12b.13c.16d.112【解析】选b.因为a，b为互斥事件，故采用概率的加法公式p(ab)=p(a)+(b)=16+16=13.【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为.【解析】a，b为互斥事件，故采用概率的加法公式得p(ab)=13，所以出现的点数大于2的概率为1-p(ab)=23.答案：233

3、.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是()a.16b.13c.12d.23【解析】选d.基本事件总数=甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲.“甲、乙两人站在一起”的可能结果有“甲乙丙”“丙甲乙”“乙甲丙”“丙乙甲”4种.所以甲、乙两人站在一起的概率p=46=23.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()a.至少有一个红球与都是红球b.至少有一个红球与都是白球c.至少有一个红球与至少有一个白球d.恰有一个红球与恰有二个红球【解析】选d.根据题意，从8个球中任取3个球包括事件事件5红3白一30二21三12四03对于a中的两个事件不

4、互斥，对于b中两个事件互斥且对立，对于c中两个事件不互斥，对于d中的两个事件互斥而不对立.5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是p1，p2，p3，则()a.p1=p2<p3b.p1<p2<p3c.p1<p2=p3d.p3=p2<p1【解题指南】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12，11，10的基本事件个数，进而求出点数之和是12，11，10的概率p1，p2，p3，即可得到它们的大小关系.【解析】选b.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(

5、1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故p1=136；点数之和是11的有2种，故p2=236；点数之和是10的有3种，故p3=336，故p1<p2<p3，故选b.6.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，

6、若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解题指南】增加中奖机会应选择概率高的对应的游戏盘.【解析】选a.p(a)=38，p(b)=28，p(c)=26，p(d)=13，所以p(a)>p(c)=p(d)>p(b).7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()a.23b.25c.35d.910【解题指南】根据条件可用列举法列出所有基本事件和甲或乙被录用的基本事件，采用古典概型求概率.【解析】选d.所有被录用的情况有(甲乙丙)，(甲乙丁)，(甲乙戊)，(甲丙丁)，(甲丙戊)，(甲丁戊)，(乙

7、丙丁)，(乙丙戊)，(乙丁戊)，(丙丁戊)共10种，其中甲或乙被录用的基本事件有9种，故概率p=910.【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-110=910.8.在区间1，6上随机取一个实数x，使得2x2，4的概率为()a.16b.15c.13d.25【解析】选b.由于区间1，6的长度是6-1=5，由2x2，4，则x1，2，长度为2-1=1，故在区间1，6上随机取一实数，则该实数使得2x2，4的概率p=15.9.(2015·东营高一检测)在区间-，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+

8、2有零点的概率为()a.1-8b.1-4c.1-2d.1-34【解析】选b.若使函数有零点，必须=(2a)2-4(-b2+2)0，即a2+b22.在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示.当a，b满足函数有零点时，以(a，b)为坐标的点位于正方形内、圆外的部分(如阴影部分所示)，于是所求的概率为1-342=1-4.10.(2015·石家庄高一检测)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件是()a.恰有2件一等品b.至少有一件一等品c.至多有一件一等品d.都不是一等品【解析】选c.将3件一等品编号为1，2，3；2件二等品编号为4，5，从中任取2件有1

9、0种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为p1=610，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为p2=310，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为p3=1-p2=1-310=710.11.记集合a=(x，y)|x2+y216和集合b=(x，y)|x+y-40，x0，y0表示的平面区域分别为1，2.若在区域1内任取一点m(x，y)，则点m落

10、在区域2的概率为()a.12b.1c.14d.-24【解析】选a.区域1为圆心在原点，半径为4的圆，区域2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以p=s2s1=816=12.12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)0，20)20，40)40，60)60，80)80，100)人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40t20，其中t20表示不超过t20的最大整数.以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为()a.0.5b.0.

11、7c.0.8d.0.9【解析】选d.当0t<60时，y300.记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为事件a.则p(a)=25100+50100+15100=0.9.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件a为“抽得为红桃k”，事件b为“抽得为黑桃”，则概率p(ab)=.(结果用最简分数表示)【解析】由互斥事件概率公式得p(ab)=152+1352=726.答案：72614.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.【解析】从长度为2，

12、3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率p=34.答案：3415.将号码分别为1，2，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1，2

13、，3，4，5时，每种情形a可取1，2，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b=6时，a可取3，4，9中每个值，有7种；当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为45+7+5+3+181=6181.答案：618116.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为.【解析】假设两人分别在x时与y时到达，依题意：|x-y|13才能相遇.显然到达时间的全部可能结果均匀分布在如图

14、的单位正方形i内，而相遇现象，则发生在图中阴影区域g中，由几何概型的概率公式：p=sgsi=12-(23)212=59.所以，两人相遇的可能性为59.答案：59三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.(1)所得的三位数大于400.(2)所得的三位数是偶数.【解析】1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.(1)大于400的三位数的个数为4，所以p=46=23.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以所求的概率为

15、p=26=13.18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(单位：mm)100150150200200250250300概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在100200(mm)范围内的概率.(2)求年降水量在150300(mm)范围内的概率.【解析】记这个地区的年降水量在100150(mm)，150200(mm)，200250(mm)，250300(mm)范围内分别为事件a，b，c，d.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100200(mm)范围内的概率是p(ab)=p(a)+p(b)=0.12+0.25=0.37.

16、(2)年降水量在150300(mm)范围内的概率是p(bcd)=p(b)+p(c)+p(d)=0.25+0.16+0.14=0.55.19.(12分)已知集合m=(x，y)|x0，2，y-1，1(1)若x，yz，求x+y0的概率.(2)若x，yr，求x+y0的概率.【解析】(1)设“x+y0，x，yz”为事件a，x，yz，x0，2，即x=0，1，2；y-1，1，即y=-1，0，1.则基本事件有：(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(2，-1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x+y0”的基本事件有8个，所以p(a)=89.故x，yz，x+y0的概

17、率为89.(2)设“x+y0，x，yr”为事件b，因为x0，2，y-1，1，则基本事件为如图四边形abcd区域，事件b包括的区域为其中的阴影部分.所以p(b)=s阴影s四边形abcd=s四边形abcd-12×1×1s四边形abcd=2×2-12×1×12×2=78，故x，yr，x+y0的概率为78.20.(12分)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一

18、个社团的概率.(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学a1，a2，a3，a4，a5，3名女同学b1，b2，b3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求a1被选中且b1未被选中的概率.【解题指南】将符合要求的基本事件一一列出.【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件a”，则p(a)=8+2+545=13.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为13.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，

19、b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)共15个，其中a1被选中且b1未被选中的有(a1，b2)，(a1，b3)共2个，所以a1被选中且b1未被选中的概率为p=215.21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：002：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：002：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘.(2)约定最多等一班车.【解题指南】本题是几何概型.解题关键是充分理解题意，画出示意图，明确总的基本事件和符合条件的基本事件构成的空间，然后利用几何概型概率计算公式计算求解即可.【解析】设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1x2，1y2.试验区域d为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图a所示.(1)如图b所示，约定见车就乘的事件所表示的区域如图b中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为4