高中数学选修2-2定积分的简单应用

1、章导数及1£应用1.7定积分的简单应用学习目标1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积2掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题产知识梳理自手学习知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=ax= b(av b)及y= 0所围成的平面图形的面积S.(1)如图，f(x)>0bf(x)dx>0,所以 S=abf(x)dx.a(2)如图，f(x) < 0bf(x)dx<0,所以 S=abf x dxa11bf(x

2、)dx.a(3)如图，当a< x< c 时，f(x) < 0,cf(x)dxv 0;当ac< xwb 时，f(x) > 0bf(x)dx> 0.所以accf x dxS= a2.求由两条曲线+ bf(x)dx= cf(x)dx+ bf(x)dx.c直线x= aEmx= b(a v b)所围成平面图形的面积S.bgxdx =甲(x)g(x)dx.a(幻%(1)如图，当 f(x)>g(x)>0 时，S= bf(x)-g(x)dx.a(2)如图,当 f(x)>0, g(x)0 时,S= bf(x)dx+a3 .当 g(x)v f(x)w 0 时，

3、同理得 S= bf(x) g(x)dx. a思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？(2)当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然 后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x) = 0,下边界函数为f(x),所以S= b(0-f(x)dx=-bf(x)dx.aa4 .利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面

4、图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案 知识点二定积分在物理中的应用1 .在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻 t=a到时刻t=b所经过的路程s和位移s'分别为：(1)若 v(t)>0,则 s= bv(t)dt, s' = bv(t)dt. aa(2)若 v(t)W0,则 s=： bv(t)dt, s' = bv(t)dt. aa若在区间a, c上v(t)>0,在区间c, b上v(t)<0,贝U s= cv(t)dt bv(t)dt, s' = bv(t)dt.2 .定积分

5、在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)>0)在时间区间a,b上的定积分，即 s= bv(t)dt. a(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m),则力F所做的功为 W= Fs；而若是变力所做的功W,等于其力函数 F(x)在位移区间a, b上的定积分，即 W= bF(x)dx. a思考下列判断正确的是.(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子12v(t)dt;t1(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是

6、同一个式子12v(t)dt.tl答案(3)解析(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当 v(t)>0时，求某一时间段内的路程和位移均用12v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用12v(t)dt求解，这一时段的路程tltl是位移的相反数，即路程为12v(t)dt.所以(2)错(3)正确.-题型探究重点突翅题型一利用定积分求平面图形的面积问题 例1求由抛物线y2=X，y2=x1所围成图形的面积5解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图方法一 以x为积分变量,y2=x,1 5 15由 5得两个抛物线的两个交点坐标分别为A 5，2，B 5，y2

7、 = x-1,设点P(1,0),则所求面积S=2=22、5 2x21523.方法二 以y为积分变量,y2=x,1 5 151由y 5可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A* 2，B：， 2 .y2=x-1,1-设点 P(1,0),则所求面积 S=2 2 (y2+15y2)dy023.1=2 y-gy3 20反思与感悟 若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1在曲线y=x2(x>0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形1的面积为五.试求：切点A的坐标和过切点 A的切线方程解

8、如图所示，设切点A(xo, yo),由y' = 2x得过A点的切线方程为y-yo= 2xo(x-xo),即y= 2xox x0.令 y=0,得 x=x°即 C x0, 0 .设由曲线和过 A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,则S= S曲边"obS"bc.S曲边aAOBux00x01 3x011Saabc=2|BC| AB|=2即 s= 3x0-4x3 = 12x0 = 12, 所以 x0 = 1.从而切点为A(1,1),切线方程为y = 2x- 1题型二运用定积分求解物理问题例2 一点在直线上从时刻t= 0(s)开始以速度v=t24t+3(m/s)运动，

9、求：(1)此点在t = 4 s时的位置;(2)此点在t = 4 s时运动的路程.解 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在0,4上哪些时间段的位移为负.4=3(m).在t=4 s时，该点的位移为4(t24t+3)dt= gt32t2+3t0即在t= 4 s时该点在距出发点4 m处.3(2)/v(t)=t2-4t+ 3= (t-1)(t-3), . 在区间0,1及3,4上，v(t) >0,在区间1,3上，v(t)w。，该点在t= 4 s时的路程为S= 1(t2 4t+3)dt+3t2 4t+3dt + 4«24t+3)dt

10、03=1(t2-4t+3)dt- 3(t24t+ 3)dt+ 4(t24t+ 3)dt=4(m). 013反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在 B处需要减速停车设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了 t s.vo= 36 km/h= 10 m/s, v(t) = vo at= 10 2t.令 v(t)=0,解得 t=5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s= 5(10 2t)d

11、t= (10tt2)=25(m).00故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.题型三用定积分解决变力做功问题例3设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到 30 cm,求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.解 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)=kx(其中常数k为比例系数).因为当f(x) = 100时，x = 5,所以k=20.所以 f(x)=20x.弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度 x从0 cm变化到15 cm,故所做的功W= 1520xdx= 10x2=2 250(N cm) 22.5(J).00反思与感悟(1)

12、根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式 W= bf(x)dx求出变力所a做的功.跟踪训练3如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由Vi变为V2,求气体压力所做的功.C解 由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P = C(V表示气体体积，C为常数)，而活塞上的压力为 F = PQ=CQ=C(Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，V=LQ).1 V2cd

13、V ViVC记Li, L2分别表布活塞的初始位置和终止位置，于是有 W= L2F(L)dL= L21dL = CLiLiLV2= C(ln V)Vi= C(ln V2-ln Vi).所以气体体积由Vi变为V2,气体压力所做的功为 C(ln V2-ln Vi).易错易混用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4 求由抛物线y2= 8x(y>0)与直线x+ y 6= 0及y= 0所围成图形的面积错解由题意，作出图形如图y2= 8x y > 0 , x= 2,由得所以抛物线 y2= 8x(y>0)与直线x+ y6=0的交点坐标为x+ y6=0 y=4,(2,4),0_ o

14、32、2 -x23所以所求面积为S= 4(6 x ,/8x)dx会i 2=6x x24 , 2 - 332 ,2= 24 8告X 42 = i6 - 33错因分析S= 4(6 x V8x)dx0=4(6 x)dx 4>/8xdx.004(6 x)dx表示由直线y=6 x与直线x= 0,直线x=4,直线y=0围成的图形的面积，400，8dx表示由抛物线 y2 = 8x(y > 0)与直线x= 0,直线x= 4,直线y=0围成的图形的面积.上 述S显然不是所求图形的面积.正解S= 2/8xdx+06(6 x)dx2_ 2 3,8 2x231 2 6x-2x16=6X6 32x621 c

15、2-6X2-2X22畀8啜防范措施 合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理当堂检测国查囱纠1.在下面所给图形的面积 S及相应表达式中,正确的有()S=A.C.答案解析应是S=S= 8(2,2x2x+ 8)dxS= af(x)g(x)dx4f(x)dx 7f(x)dx40aIaag(x) f(x)d x + bf(x) g (x)dxB.D.bf(x)-g(x)dx,应是aS=82收dx 8(2x-8)dx,和正确.故选D.3 2.曲线y=cos x(0<x< 2 nt后坐标轴所围图形的面积是(5 A.2 B.3 C.2 D.4答案 BTT3 7r-3 7r2T

16、T解析 S= 2cos xdx22 cos xdx= sin x-sin x- sin sin 0 sin + sin -1工2220工022-0+1 + 1=3.3 .一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)= 27 0，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 B.540 C.810 D.945答案 A解析停车时 v(t)=0,由 27 0.9t=0,得 t=30,. .s= 30v(t)dt= 30 (27 0.9t)dt= (27t0.45t2) ° =405. 004 .由曲线y=x2+4与直线y=5x, x=0, x= 4所围成平面图形的面积是答案193解析由图

17、形可得S= 1(x2+45x)dx+ 4(5xx24)dx 0i=3x3+4x 2x25x2-1x3-4x23=-+ 4 5+ 5X 42- 1X 43-4 X 4 5+ 1+ 432 232 319=3 .5 .一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm,求弹簧克服弹力所做的功.解设 F(x)= kx,;弹簧压缩x cm可产生4x N的力，1, k= 4.弹簧克服弹力所做的功为W= 4 5xdx=4X xx2= 50(N cm)= 0.5(J).一课堂小结11 .利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交

18、点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2 .路程问题.(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算3 .变力做功问题.(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.课时精炼一、选择题S的值是()1 .用S表示图中阴影部分的面积，则A.cf(x)dxBcf

19、 x dxC. bf(x)dx+ cf(x)dxabD. cf(x)dx bf(x)dx ba答案 D解析xCa, b时，f(x)<0, xCb, c时,f(x)>0,，阴影部分的面积S= cf(x)dx bf(x)dx. ba2 .一物体沿直线以v=2t+1 (t的单位：s, v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在12 s间行进的路程为()A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m答案 D解析s=2 2t+ 1 dt= t2 + ti=4(m).i3 .一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s（t为运动的时间）,至U B处时的速度为35 m/s,则AB间的距离为（）A

20、.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m答案 B解析 从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB=25i.4tdt=0.7t2=437.5 (m).o04 .若y=f(x)与y=g(x)是a, b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a, x= b所围成的平面区域的面积为()A. bf(x)-g(x)dx aB. bg(x)-f(x)dx aC. b|f(x)g(x)|dx aD bf(x)g(x)dx . a答案 C解析 当f(x)>g(x)时，所求面积为bf(x)g(x)dx;当f(x)Wg(x)时，所求面积为bg(x)aaf(x)dx.综上，所求面积为b|

21、f(x)g(x)|dx.a5.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t s时速度v=4010t2,则此物体达到最高时的高度B.80 m3为（）J0C.万A* 3D.20 m3答案解析v=0时物体达到最高,此时40-10t2=0,则 t=2 s.160= F-(m).又.70=40 m/s,t0 = 0 s.h= 2(40 10t2)dt=40t-10t33 06.如果1 N的力使弹簧伸长1 cm,在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm,拉力所做的功为()A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J答案 A解析由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得 F(x) = x,

22、为了将弹簧拉长10 cm,拉力所做的功为 W= 10F(x)dx= 10xdx=12=50 (N cm) 0.5 (J).0020二、填空题7 .由曲线y=以与y=x3所围成的图形的面积可用定积分表示为 答案1(皿一x3)dx0解析 画出y=4x和y=x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，14解方程组y=Yx'得交点的横坐标为 x=0及x=1.因此，所求图形的面积为S= 1(Jx-y=x30x3)dx.8 .有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)=6t t2(单位：cm/s)(0w tw6).则t=0到t = 6这段时间内流出的水量为

23、cm3.答案 144解析 由题意可得t=0到t = 6这段时间内流出的水量V= 64(6t t2)dt = 022 136 .46 6t-t dt=443t=144(cm3).故t=0到t=6这段时间内流出的水量为144 cm3.009 .如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为 J.1 c答案2kl2 解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即 F(x) =1 2= 2kl2(J).11kx,其中k为比例系数.由变力做功公式得 W=lkxdx=2kx20010 .由两条曲线y=x2, y = 4x2与直线y= 1围成平面区域的面积是 4答案43解析 如图，y= 1与y=x2交点A(1,1),x2y= 1与y = w交点B(2,1),由对称性可知面积S= 21x2dx+ 21dx 24x2dx =43.三、解答题11 .求抛物线y=-x2+4x- 3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积.解 由y' =2x+4得在点A、B处切线的斜率分别为 2和2,则两直线方程分别为y =2x 2 和 y=- 2x+6,y= 2x 2,一由得两直线交点坐标为 C(2