06无穷小量04596

1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：刘长荣第二章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “x ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。第二章 极 限 第三节 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二. 无穷大量 简言之, 在某极限过程中,

2、以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1 . , 0 0,lim ) 1 (220是一个无穷小量时 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. , )0( 0 , 0使当若x , )| ( | 0 0时xxxx | )(|xf , )( )( ,0时当则称成立xxxxf . 为无穷小量分析 , | 0 , 0 , )(lim 00时当

3、则若xxaxfxx , |0)( | |)(|axfaxf . )( , 0是一个无穷小量时即当axfxx , )( 0)( , )()( 0且则令xxxaxfx . )( )()(0 xxxaxf反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. )(lim)(0axfxxx, )()(xaxf . )( , ( 0)( , 0 xxxx其中 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷

4、小量所得到商仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证 , , 0则时的两个无穷小量为设xx , 0, 2 | , | 0 , 0101时当xx, 2 | , | 0 , 0202时当xx , | 0 , ,min 021有时则当取xx , 22 | | . , 0是一个无穷小量时即 xx 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证 , 0 0 , )( 10和即时的有界量是设mxxxf . | )(| , ),u( 10mxfxx时使当 , 0 , 0 , )( 0)

5、( 20使当则又设xxx . | )(| , | 020mxxx时 , | 0 ,min 021时则当令xxmmxxfxxf | )(| )(| | )()(| . )()( , 0为无穷小量时故当xxfxx例2证0sin1limxxx证明) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故有界量与无穷小量的乘积(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.： . ,3 , , , 0 ,223

6、223的情况时可观察例如xxxxxxx 例3. 4lim 230 xxx求解 ) ( , 0lim 30无穷小量由于xx ) ( , 4)4(lim20极限不为零xx . 04lim 230 xxx故 , ) | (),( ),0( 0 , 0 0有时或当或若xxxuxxmmxf | )(| , )( )( ,0记为时的无穷大量或为则称成立xxxxf). )( )( )(lim0)(0 xxxxfxfxxx或或 . . ,)(lim ,)( )(0称为负无穷大量则换成xfmxfxxx . . ,)(lim ,)( )(0称为正无穷大量则换成xfmxfxxx例4, (i)2xy ,ln (iii

7、)xy .lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (ii)3xy .lim3xx(iii), (iv) 自己画画图会更清楚.例6无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?当 x 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. 在某一极限过程中 , )( 是一个无穷大量若xf . )(1 为无穷小量则xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )(1 为无穷大量则xf ,)(lim xf若无穷大量

8、一定是同一极限过程中的无界量.反之不真反之不真 . | )(|lim xf则在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时时显然 . , , ,nnyxn例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011