高三数学 第55练 空间角与距离练习

1、高考数学精品复习资料 2019.5第55练 空间角与距离训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc上的投影d为bc的中点，则异面直线ab与cc1所成的角的余弦值为()a.b.c.d.2已知正三棱柱abca1b1c1的体积为，底面是边长为的正三角形若p为a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a.b.c.d.3.如图所

2、示，在三棱锥sabc中，abc是等腰三角形，abbc2a，abc120°，sa3a，且sa平面abc，则点a到平面sbc的距离为()a.b.c.d.二、填空题4.如图，在等腰直角三角形abd中，bad90°，且等腰直角三角形abd与等边三角形bcd所在平面垂直，e为bc的中点，则ae与平面bcd所成角的大小为_5.如图所示，在三棱锥sabc中，sbc，abc都是等边三角形，且bc1，sa，则二面角sbca的大小为_6如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p在线段ad1上运动，给出以下命题：异面直线c1p与b1c所成的角为定值；二面角pbc1d的大小为定值；三

3、棱锥dbpc1的体积为定值；异面直线a1p与bc1间的距离为定值其中真命题的个数为_三、解答题7.(20xx·潍坊模拟)如图所示，底面abc为正三角形，ea平面abc，dc平面abc，eaab2dc2a，设f为eb的中点(1)求证：df平面abc；(2)求直线ad与平面aeb所成角的正弦值8.(20xx·辽宁沈阳二中月考)如图，在abc中，abc45°，点o在ab上，且obocab，po平面abc，dapo，daaopo.(1)求证：pb平面cod；(2)求二面角ocda的余弦值9.如图，正四棱锥sabcd中，saab2，e，f，g分别为bc，sc，cd的中点设p

4、为线段fg上任意一点(1)求证：epac；(2)当p为线段fg的中点时，求直线bp与平面efg所成角的余弦值答案精析1 d连接a1b，易知a1ab为异面直线ab与cc1所成的角，2 设aba，易求得ada，a1d，则a1ba，故cosa1ab.2b因为aa1底面a1b1c1，所以apa1为pa与平面a1b1c1所成的角因为平面abc平面a1b1c1，所以apa1为pa与平面abc所成角因为正三棱柱abca1b1c1的体积为，底面三角形的边长为，所以sabc·aa1，可得aa1.又易知a1p1，所以tanapa1，又直线与平面所成的角属于0，所以apa1.3a作adcb交cb的延长线于

5、点d，连接sd，如图所示sa平面abc，bc平面abc，sabc.又bcad，saada，sa平面sad，ad平面sad，bc平面sad，又bc平面sbc，平面sbc平面sad，且平面sbc平面sadsd.在平面sad内，过点a作ahsd于点h，则ah平面sbc，ah的长即为点a到平面sbc的距离在rtsad中，sa3a，adab·sin 60°a.由，得ah，即点a到平面sbc的距离为.445°解析取bd的中点f，连接ef，af(图略)，易得afbd，af平面bcd，则aef就是ae与平面bcd所成的角，由题意知efcdbdaf，所以aef45°，即a

6、e与平面bcd所成的角为45°.560°64解析对于，因为在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p在线段ad1上运动，在正方体中有b1c平面abc1d1，而c1p平面abc1d1，所以b1cc1p，所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故正确；对于，因为二面角pbc1d为平面abc1d1与平面bdc1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥dbpc1的体积还等于三棱锥pdbc1的体积，而dbc1面积一定，又因为pad1，而ad1平面bdc1，所以点a到平面bdc1的距离即为点p到该平面的距离，所以三棱锥的体积为

7、定值，故正确；对于，因为直线a1p和bc1分别位于平面add1a1，平面bcc1b1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确综上知，真命题的个数为4.7(1)证明如图，过点f作fhea交ab于点h，连接hc.ea平面abc，dc平面abc，eadc.又fhea，fhdc.f是eb的中点，fhaedc.四边形cdfh是平行四边形，dfch.又ch平面abc，df平面abc，df平面abc.(2)解abc为正三角形，h为ab的中点，chab.ea平面abc，ch平面abc，chea.又eaaba，e

8、a平面aeb，ab平面aeb，ch平面aeb.dfch，df平面aeb，af为da在平面aeb上的投影，daf为直线ad与平面aeb所成的角在rtafd中，ada，dfa，sindaf，直线ad与平面aeb所成角的正弦值为.8(1)证明因为po平面abc，dapo，ab平面abc，所以poab，daab.又daaopo，所以aod45°.因为obab，所以oaab，所以oaob，又aopo，所以obop，所以obp45°，即odpb.又pb平面cod，od平面cod，所以pb平面cod.(2)解如图，过a作amdo，垂足为m，过m作mncd于n，连接an，则anm为二面角ocda的平面角设ada，在等腰直角三角形aod中，得ama，在直角三角形cod中，得mna，在直角三角形amn中，得ana，所以cosanm.9(1)证明设ac交bd于o点，sabcd为正四棱锥，so底面abcd，bdac，又ac平面abcd，soac，bdsoo，bd平面sbd，so平面sbd，ac平面sbd，e，f，g分别为bc，sc，cd的中点，fgsd，bdeg.又fgegg，sdbdd，fg平面efg，eg平面efg，sdbsd，bd平