高中数学备课精选第二章《数列求和》例题解析新人教B版

1、学习必备欢迎下载专题研究：数列的求和·例题解析【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn：(1)11 ， 21 ， 31 ， (n1n )，；248212121212(2)2，34，536，32n 12 n，；333333，1，11， 1 11，(3)1121241242 n1解 (1)S n1131( n1= 1282n )241111= (1 23 n) (2482n )11n(n+1)2(12n )=211 n( n21)1= 122n(2)S n=121212332333432 n132n11+122+ 2= ( +33 + 32n-1) + (2 +4+2n )33331121

2、= 3(132 n )32 (132n )111132325 18 (1 32 n )(3) 先对通项求和1111an = 12 n 122n 12 4111 Sn= (2 2 2) (12+4+ +2 n-1 )111= 2n (12 + 4 + + 2n-1 )= 2n 212n1学习必备欢迎下载【例 2】求和：(1)1+1+1+ 1··3·n( n1)12234(2)1111·5·7·9(2n1)( 2n3)135(3)1111·5·8·( 3n1)( 3n2)25811解 (1)111n(n +

3、1)nn1 Sn(11)(11)(11)(11 )122334nn111n1nn1(2)1111(2n1)(2n + 3)4(12n)2n31111111 Sn = 1537592n341112n12n12n31111=132n1 2n43n(4n5)3(2n1)( 2n3)(3)1111)(3n1)(3n + 2)(3n33n 121111111) 11) Sn =()()(11(13n3255883n21(11)=23n32n6n4【例 3】求下面数列的前n 项和：1111 1， a 4，a2 7， an 1 (3n 2) ，学习必备欢迎下载分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以1

4、为公比的等a比数列 ，另一个数组成以3n 2 为通项的等差数列，分别求和后再合并解 设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn则 an =1 (3n2)n 1a111 Sn = (1aa2an1 ) 1 4 7 (3n 2)当 a = 1时， Sn1(3n2) · n3n 2n= n2211(13n2) nan1( 3n1)n当 a 1时， Sn =an12anan 121a说明 等比数列的求和问题，分q=1 与 q 1 两种情况讨论【例 4】设 ak =12 22 k2 (k N*) ，则数列3 ，5 ，7 ，a1a2a3的前 n 项之和是 6n3n6( n 1)6(n 1)A n

5、 1B n 1CnD n 2解 设数列3 ， 5 ， 7 ，的通项为 b n a1a2a32n1则b n =an又 an= 12 2 2 n 21n(n1)(2n 1)=6 b n =611)n(n + 1)= 6(nn + 1数列 b n 的前 n 项和 Sn=b1 b2 b n1111111= 6(1) (2n)23n3n 11)= 6(1n 1= 6n 选 (A) n + 1学习必备欢迎下载【例 5】求在区间 a ， b(b a， a，b N)上分母是3 的不可约分数之和解法一 区间 a，b上分母为 3的所有分数是3a ， 3a1 ， 3a2 ，333 ，3a4 ， 3a5 ， ， ，

6、3b2 ， 3b1 ， 3b 它是以a 133a 2b 13333a 为首项，以 1 为公差的等差数列331项数为 3b 3a1，其和 S =(3b 3a 1)(a b)其中，可约分数是a， a 1， a 2， b1其和 S =(b a 1)(a b)故不可约分数之和为1S S =(a b)(3b 3a1) (b a 1)2=b2 a2解法二 S = 3a +1 + 3a + 2 + 3a + 4 + 3a + 5 + + 3b2 + 3b1333333 S=(a 1 ) (a 2 ) (a 4 )(a 5 ) (b 2 ) (b 1 )333333而又有 1)(b 2)(b 4)(b 5)

7、2)S=(b333(a33 1)(a3两式相加： 2S=(a b) (a b) (a b)其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3(b a) 1 (b a 1)= 2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b 2 a2【例 6】求下列数列的前n 项和 Sn：(1)a ， 2a2， 3a3， n an， (a 0、 1) ；(2)1 ， 4， 9， n2，；(3)1 ， 3x， 5x 2， (2n 1)x n-1 ， (x 1)(4) 1 ， 2 ， 3 ， nn ，2482学习必备欢迎下载解 (1)S n=a 2a2 3a3 nan a 0 aS n=a2 2a3 3a4 (

8、n 1)a n nan+1Sn aSn=a a2a3 an nan+1 a 1 (1)a(1a n )n 1a Sn1anaSna(1an )nan 1(1a) 21a(2)S n=1 4 9 n2 (a 1) 3 a3=3a2 3a 1 2 313=3× 12 3× 11 33 23=3× 22 3× 2 143 33=3× 32 3× 3 1n3 (n 1) 3=3(n 1) 2 3(n 1) 1( n 1) 3n3=3n23n 1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n 1) 3 13=3(1 2 22 n2) 3(1 2 n)

9、 n= 3(12 22 32 n2 ) 3n( n1) n2 1 222 32 n2=1(n 1) 3 1 3n( n1) n32=1n 3 3n 2 3n 3n( n1) n32=1n(2n 2 3n 1)6=1n(n 1)(2n 1)6学习必备欢迎下载(3) S n=1 3x 5x 2 7x3 (2n 1)x n-1 xS n=x 3x25x3 (2n 3)x n-1 (2n 1)x n两式相减，得(1 x)S n=1 2x(1 x x2 xn-2 ) (2n 1)x n= 1 (2n 1)x n 2x( x n11)x1(2n1)x n+1(2n1)x n(1x)=1x Sn(2n1)x

10、 n+1(2n 1)x n(1x )=(1x)2(4) Sn123n=22232n21123n2 Sn222 3242n 1两式相减，得11111n2 Sn2 22232 n2n 1112(12 n )n112n1211n2n2n 1 Sn= 21n2n12n说明求形如 a n· bn 的数列的前 n项和，若其中 a n 成等差数列， b n 成等比数列， 则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法， 此方法体现了化归思想【例 7】设等差数列 an 的前 n项和为 S ，且 Sn= ( a n1) 2 ，n2n N*，若 bn=( 1) n· Sn，求数列 b n 的

11、前 n 项和 Tn分析求b n 的前 n 项和，应从通项bn 入手，关键在于求a n 的前 n 项和 Sn，而由已知只需求 a n 的 通项 an 即可学习必备欢迎下载解法一 a n 是等差数列， Snan1 2= ()2当 n = 1时， a1a11 2解得 a1 = 1= ()2当 n = 2时， a1a212解得 a2 = 3或 a2 = 1 a2 = ()2当 n = 3时， a1a312，由 a2= 3，解得 a3 = 5或 a3 = a2 a3 = ()2 3，由 a2=1，解得 a3=1又 Sn = ( an1) 2 0， a2 = 1， a3 = 3， a3 = 1( 舍 )2

12、即 a1=1， a2=3， a3=5， d=2 an=1 2(n 1)=2n 1Sn=1 3 5 (2n 1)=n 2bn=( 1) n· Sn=( 1) n· n2Tn= 12 22 32 42 ( 1) n· n2当 n 为偶数时，即 n=2k， k N*Tn=( 12 22) ( 32 42) (2k 1) 2 (2k) 2 =3 7 (4k 1)3 + (4k1) ·k=2= (2k 1)kn(n1)=2当 n 为奇数时，即 n=2k 1， k N*Tn= 12 22 32 42 (2k 1) 2= 1222 3242 (2k 1) 2 (2k) 2(2k) 2=(2k 1)k (2k) 2= k(2k 1)学习必备欢迎下载= n( n1)2 Tn = ( 1) n · n(n 1)n N *2也可利用等差数列的前(a 1+ an )· nn项和公式 Sn =2，求 a n 解法二 取 n = 1，则 a1