矩阵运算和行列式PPT课件

1、二二. 加法及数乘加法及数乘三三. 乘法乘法四四. 转置转置五五. 几种特殊矩阵、方阵多项式几种特殊矩阵、方阵多项式第1页/共112页单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京苏州苏州常州常州瓶装啤酒瓶装啤酒2016200180190易拉罐啤酒易拉罐啤酒5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150第2页/共112页 12DDDxXyz AX+D=0第3页/共112页mn)mn)Amn= mn第4页/共112页第5页/共112页 第6页/共112页第7页/共112页二二. 加法及数乘加法及数乘三三. 矩阵的矩阵的乘法

2、乘法四四. 矩阵的矩阵的转置转置五五. 几种特殊矩阵、方阵多项式几种特殊矩阵、方阵多项式 第8页/共112页单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京苏州苏州常州常州瓶装啤酒瓶装啤酒2016200180190易拉罐易拉罐5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150总价总价( (元元) )180001815016750总重总重(Kg)(Kg)10480102409680CC = AB第9页/共112页1sikkjka b m nr sCABnrm sC 第10页/共112页 第11页/共112页1sikkjka b

3、123aaa 1 12233a ba ba bABBA 不一定都有意义 同型但不相等 AB: A右乘以B; B左乘以A 有意义但不同型 123bbb 1 33 13 1123bbb 123aaa 1 31 1a b2 1a b3 1a b3 312a b22a b32a b13a b23a b33a b3 44 24 23 4ABBA 101212003400 121010340030 第12页/共112页只有在AB=BA时上述等式成立. . 000ABAor B 100000001100ABABAC 0Aor BC 0A BC 第13页/共112页 200811,2 ,.1 若求， 11,2

4、1 121 11,21 1212 2008 200712112 第14页/共112页第15页/共112页二二. 加法及数乘加法及数乘三三. 矩阵的矩阵的乘法乘法四四. 矩阵的矩阵的转置转置五五. 几种特殊矩阵、方阵多项式几种特殊矩阵、方阵多项式 1sikkjka b ABBA 000ABAor B 第16页/共112页TTijAa jin ma 11121naaa21222naaa12mmmnaaa1sTTTTijikkjkB ABA TjiijABAB 1sjkkika b 1skijkkb a 第17页/共112页123240305A 0110B 第18页/共112页A 111nI 第19

5、页/共112页=第20页/共112页1212A 23fxxx 23fAAAI 1212123121212I3I 第21页/共112页二二. 加法及数乘加法及数乘三三. 矩阵的矩阵的乘法乘法四四. 矩阵的矩阵的转置转置五五. 几种特殊矩阵、方阵多项式几种特殊矩阵、方阵多项式 1sikkjka b ABBA 000ABAor B TTijAa jin ma Ex.第22页/共112页二二. 加法及数乘加法及数乘三三. 矩阵的矩阵的乘法乘法四四. 矩阵的矩阵的转置转置五五. 几种特殊矩阵、方阵多项式几种特殊矩阵、方阵多项式 1sikkjka b ABBA 000ABAor B TTijAa jin

6、ma 第23页/共112页 1. 逆序数 2. 对换 1. n阶行列式的定义 2. 几个特殊的行列式 第24页/共112页第25页/共112页第26页/共112页 每项都是三个元素的乘积. 每项的三个元素位于不同的行列. 每项的四个元素位于不同的行列 可得 4！= 24 第27页/共112页 每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积. a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 将行标按1,2,3排好，列标恰好对

7、应于1, 2, 3的6种排列. 各项系数与列标的排列的逆序数有关.( 1)1对换2次 对换1次 ( 1)2对换的次数称为逆序数.( 1)0第28页/共112页123123jjjaaa a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33排列j1 j2 j3的逆序数 对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和 1 2121 2()12( 1)N j jjjj jaa a11 a12a21 a22 1 2 3j j j 1 2 3()( 1)N j j j 第29页/共112页1. 逆序数 逆序：违反从小到大的正常顺序 一个排列的所有数的逆序数的总和. ()逆序数为奇(偶)数的排列

8、. 逆序数 k：设i1 i2 ik in是1 n的一个排列, 则ik在此排列中的逆序数 k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数. 1 21nknkkNN iiii 第30页/共112页325140 1 03 15N 222nnn 21231Nnn12n n 121 0Nnn 2. 对换 对调排列中的任两个元素, 其余元素不动. 相将相邻的两个元素对换. .逆序数 k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数. 第31页/共112页a1 al b1 bm c1 cna1 al b1 bm c1 cna1 al b1 bm c1 cna1 al b1 bm-1bm c1 cna1 a

9、l b1 bm c1 cna1 al b1 bm c1 cn对换m次对换m+1次共对换2m+1次a1 al b1 bma1 al b1 bm 第32页/共112页 1. 逆序数 2. 对换： 1. n阶行列式的定义 2. 几个特殊的行列式 1 2 31231 2 3()123( 1)N j j jjjjj j jaaa 1 21 nknkkN iiii第33页/共112页1. n阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann1212njjnjaaa : n阶行列式 n! 项的代数和. 行列式只定义在n阶方阵A上,记为|A|或detA. n阶行列式是定义在

10、n阶方阵集合上的一个 函数，即 f(A)=detA: Rnn R. 1 2nj jj 1 2()( 1)nN j jj 当n = 1时, 一阶行列式|a11| = a11, 有正负号. 排列j1 j2 jn的逆序数 第34页/共112页n阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annnnnjjjnjjjjjjNaaa21212121)() 1(1212niii na aa1 2ni ii1 2()( 1)nN i iia11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a

11、13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . = a11 a22 a33 + a31 a12 a23 + a21 a32 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33 a31 a22 a13 . (132)123( 1)NN 123(132)( 1)NN (231)123( 1)NN 123(312)( 1)NN 第35页/共112页n阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annnnnjjjnjjjjjjNaaa21212121)() 1(1212niii na aa1 2ni ii

12、1 2()( 1)nN i ii证明：12121212nnjjnjiii na aaa aa1 2()( 1)nN i ii nN j jj1 2()( 1) 1 2()12( 1)nN i iiNn nNnN j jj 1 212()( 1)第36页/共112页2. 几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .(1)2( 1)n n (1) 对角行列式 第37页/共112页(2) 上(下)三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann= a11 a22ann =a11 0 0 a21 a2

13、2 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0=a1na2n-1an1(1)2( 1)n n 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann第38页/共112页 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 a22 ann11()nnniiia 1 2121 2()12( 1)nnnN j jjjjnjj jjaaa 第39页/共112页 1 2 31231 2 3()123( 1)N j j jjjjj j jaaa 1 2121 2()12( 1)nnnN j jjjjnjj jjAaa

14、a |A|: Rnn R11110nniiinnaaaa 111(1)2(1)1110nn nni niinaaaa Ex.第40页/共112页行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 第41页/共112页 第42页/共112页 |AT| = |A|. 1 212()12( 1)nnN j jjTjjnjAb bb TijjiijAba 1 212()12( 1)nnN j jjjjj naaaA 第43页/共112页 :stnstnN pppppp sp tp nAaaaa 11()1( 1)A tsnpp tp sp naaaa 11 1()( 1)tsnN pppp 11()1( 1

15、)tsntsnN pppppp sp tp naaaa A stcc列(column), 行(row)strr第44页/共112页 AAA 0 : snsnN ppppp sp nBaaa 11()1( 1)snsnN ppppp sp naaa 11()1( 1)A snsnAAAAAA 11 snAAAA 1 ssnAAAA 1ssnAAAA 1 ssnsnsnAAAAAAAAAA 1212111 stnsttnAAAAAAAAA 11 ABA B ABGA BG stcc ？0nsnAAA 10 ？第45页/共112页n nARR :1211ininAAAAAA 12122iinAAAA

16、1211ininAAAAAA 1200iiAA ABAB 1211ininAAAAAA 121iinAAAA ijAa nAA nikkjkABa b 1ABBA 000ABAor B ABA BBA 000ABAor B m nAR ijijABab 定义定义 或( )| |第46页/共112页 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA ssnAAAA 10stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 第47页/共112页第48页/共112页第49页/共112页第50页/共112页1 1 1

17、 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48.第51页/共112页第52页/共112页 第53页/共112页第54页/共112页njjccj 121第55页/共112页nrrrr 211 第56页/共112页njjcc 12第57页/共112页 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 AOA BCB ACOB *OOEx.第58页/共112页 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1stnsttnAAAAAAAAA 11st

18、ntsnAAAAAAAA 11stcc 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 AOA BCB ACOB *OO第59页/共112页5. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 aaaaaaaaa111213212223313233aaaaa 21231 2123133( 1)aaaaa 21221 3133132( 1)aaaaa 22231 1113233( 1)aij 的余子式 Mij ： a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann|A|=划去aij 所在的行列得到的n-1阶行列式比如M22 ： aij 的代数余子式 Aij ： ijijij

19、AM 1a Aa Aa A111112121313 按第一行展开nna Aa Aa A1111121211第60页/共112页. 证明： (1) (2) (3) 第61页/共112页. 证明： (1) 第62页/共112页. 证明： (2) 第63页/共112页. 证明： (3) 第64页/共112页5. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 rrrr 213123 671014rr 21672201314151621131422rr 2113120cc 注：先把行列式化简成某行注：先把行列式化简成某行( (列列) )只有一个只有一个非零元素；再按此行非零元素；再按此行( (列列) )

20、展开计算展开计算. .第65页/共112页0第66页/共112页|A|ijjnAAAAAA 111ijjniAAAAA A 111jA= 0第67页/共112页A 31cc 12334 第68页/共112页 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1ssnAAAA 10stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 第69页/共112页第70页/共112页第71页/共112页 = ( a+ b) Dn 1 Dn 2 = = bn 2 (D2D1) aDn 1 = b (Dn 1Dn 2) = = a

21、n 2 (D2D1) Dn 1 = a (Dn 1Dn 2) D1=a + b, D2 = a2 + 2 + ab 第72页/共112页aDn 1 = bn 2 (D2D1) (3)Dn 1 = an 2 (D2D1) (4)由 (3) (4) a 可得，nnnaabb 1 D1=a + b, D2 = a2 + 2 + ab nnnbaif ab Dba 11, 11nnnba Dba 1,nnnif ab DaDa nnnnnnnnDaDaa aDaaa Da 121222 nnnnnaDnaaanana 1111211= bn= an1nnnnDaabb 第73页/共112页 nnnaa

22、bb 1nncbccbc 211 第74页/共112页 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 Ex.第75页/共112页. 1. 定义 2. 伴随矩阵 3. 逆矩阵的存在性 第76页/共112页1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = I. 则称A, 并称B为A的. 事实上, 若AB=BA=I, AC=CA=I,则B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A 1.

23、 . .可逆方阵的逆矩阵是唯一的. . 注1. 逆矩阵只是定义在 n阶方阵上的.第77页/共112页A* =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann2. 方阵A的*TijjiijAAa要求方阵A的 B, 须满足 AB = BA = I. 1nikkjijkABa bI ,10ijij 1nikkjijka b 1nikjkijka AA 1kjjkbAA 1jkBAA 1TkjAA *1AA nnikkjikjkkkAAa aa A*11ijAA I A AA I *同理，第78页/共112页由A 1 使得AA 1 = A 1A= I,|A A 1| = |A|A

24、1| = |I| = 1 . 所以A 1 =|A|1A*.证明： 充分性： *AAAAA IIAAA111 *AAA AA IIAAA111singular第79页/共112页. 设设A, B为方阵为方阵, 若若AB = I(或或BA = I), 则则B= A 1.事实上, AB = I |A| 0 A可逆 B = IB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1I = A 1. 2A2+3A I = 0. 证明: A及A 2I可逆, 并求它们的. 若A, B为方阵为方阵, 只需检查AB = I 或或BA = I, 即可判别 A的可逆性. 2A2+3A = I 2A+3I) = I 1

25、 = 2A+3I(A 2I)(A2 +3I)+6I I=0 (A 2I) 1 = 1/5(A2 +3I)第80页/共112页(2) |B| = 2 0, B 1 =|B|1B*B11 = ( 1)1+12 14 3= 2,B21 =6, B22 = 6, B23 = 2, B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2. 2 3 2 =21. B12 = 3,B13 = 2, 主换位, 副变号 4 5 26 6 2第81页/共112页第82页/共112页 1 1 = , |A 1| = |A| 1. T 1 = 1 T. 1 = k 1 1. 1 = B 1 1. 1 1 1 1(I A)

26、 = 1( ) = 1 1 = 1 1 1 = G 1 B 1 1. 第83页/共112页. 1. 定义 2. 伴随矩阵 定义在n阶方阵上A可逆，若 方阵B使得AB=BA=I.若A, B都为方阵，则只需检查AB=I 或者 BA=I.*TijjiAAA*AAA AA I *AAA 11|A 1| = |A| 1. T 1 = 1 T. 1 = B 1 1. 3. 逆矩阵的存在性 第84页/共112页第85页/共112页11112211211222221122 nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 第86页/共112页 nnnnnnnnnnbxaxaxabx

27、axaxabxaxaxa22112222212111212111 第87页/共112页 0, x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD. 1 0,*A bA 1*nikkka bA 11nkkknkikknknkkA bA bAA b 11111 nkikkA bA 11inDDDD 11 该法则的适用范围：解n元线性方程组 0第88页/共112页 . 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 的系数行列的系数行列 式式D = |A| 0, 则它只有零解则它只有零解. 2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 . 若若 有非零解，则有非零解，则 |A|=0第89页/共112页. 1. 定义

28、定义在n阶方阵上A可逆，若 方阵B使得AB=BA=I.*TijjiAAA*AAA AA I *AAA 11|A 1| = |A| 1. T 1 = 1 T. 1 = B 1 1. 2. 伴随矩阵 0, xj =DjD, j=1,2,n. 0, 解n元线性方程组 0第90页/共112页1. 方阵的正整数幂 只定义在n阶方阵上的运算*TijjiAAA*AAA AA I *AAA 115. 伴随矩阵 6. 可逆矩阵 3. 行列式 1 2121 2()12( 1)nnnN j jjjjnjj jjAa aa|A|: Rnn R4. 方阵的迹 trA: Rnn R1niiitrAa 第91页/共112页

29、1. 方阵的正整数幂 乘积可交换的运算*AAA AA I 4. 伴随矩阵 5. 可逆矩阵 3. 行列式 ABA BBA AAA AI11Ex.第92页/共112页第93页/共112页GH第94页/共112页1 2m第95页/共112页第96页/共112页第97页/共112页设A为m l 矩阵, B为l n 矩阵, 将它们分块如下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中Cij = AikBkj ,则AB =k=1t第98页/共