[讲解]浅谈数学归纳法的应用

1、浅谈数学归纳法的应用姓名：孙静静学号：200740510534指导教师：崔艳摘要:数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法，应用 广泛.数学归纳法的应用不仅仅体现在中学数学中，在高等 数学命题的证明中也起着极为重要的作用.文中通过对范德 蒙德行列式的证明、二次型标准化定理的证明、数学归纳法 证明数列的单调性以及用数学归纳法证明整除问题、恒等式 问题以及数学归纳法与其他知识点的交汇等问题来谈一谈 数学归纳法在数学命题的证明上所突出的重要应用.关键词:数学归纳法应用引言： 数学归纳法是一种数学证明方法典型的用于确定 一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一 个其他的形式在一个无穷序列是

2、成立的有一种用于数理逻 辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达 式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法.已知最早的使用数学归纳法的证明出现于francesconfourol ico 的 ari thmeticorum 1 ibri duo （1575 年）.kburol ico证明了前”个奇数的总和是2"最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由以下两个步骤 组成的.(1)、递推的基础：证明当” 时表达式成立；(2) 递推的依据:证明假设当""吋表达式成立，那么当"彳+ 1吋 表达式也同样成立.(递推

3、的依据中的“假设”为归纳假设, 而不要把整个第二步都称为归纳假设)归纳假设这个方法 的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证 明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被 证明是成立的，那么任何一个值的证明都是可以被包含在重 复不断进行的过程中的.数学归纳法的原理作为自然数公 理，通常是已经规定的了.，然而它也可以用一些逻辑方法 证明，在此就不予证明了.用数学归纳法进行证明表达式通常分为三个步骤：(1) 归纳基础验证当“取第一个值时命题成立，这时就获得了递推 的基础，但是仅仅依靠这一步是不能说明结论的普遍性的. 在验证时，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要 再多考虑

4、几个正整数，即使命题对这几个正整数成立，也是 不能保证命题对其他正整数也成立.(2) 归纳递推假设当"彳吋命题成立，证明当+ 1吋命题成立.这 样便获得了递推的依据，在此必不可少的便是第一步的基 础，只有二者结合，才能获得普遍性的结论.(3) 下结论最后得到普遍性的结论，即表达式成立.然而需要注意的有：用数学归纳法进行证明时，“归纳 基础”和“归纳递推”二者缺一不可；在归纳递推屮，递推 之前，"寸吋结论是不确定的，因此必须有假设二字.这一步 的实质是证明命题时的正确性可以传递到”寸+1时的情 况，这样再加上递推基础，就能推得命题成立.1 范德蒙德行列式的证明行列式1 . 1

5、alald_ ?ooaaaan称为级的范德蒙德(vandermonde)行列式我们来证明对于任意 的川(h2), h级范德蒙德行列式等于j这料个数的所有 可能的差ai -cij(1 < j<i s)的乘积.证明：对作数学归纳法.当72 = 2时，结果是对的.a2 设对1级的范徳蒙徳行列式结论成立，那么对级范徳蒙徳行111.1111 1"1a 2an0“2 - "1幺3-“1 an-a21盗=0a2 -u2 aa2。3 -讥3cr n al ana丿-1a2 n-a3盯0a2 1 一m a2 “an 1 - an 2u3a u3an a an11 1(a2-al)

6、 (a3-al).(an-al)a 2“3 an n-2 n_2ci2cl5后面的行列式便是i级范徳蒙徳行列式，由假设可知结论成立因此 可得，结论对级范德蒙德行列式成立，根据数学归纳法完成了证明.111aal“3即有衬ac 72-171-1ja2an(ai - aj)成立.l<j<i<n2二次型标准化定理的证明定理：数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和d用+ 4- d nx :的形式.证明：对变量的个数m乍数学归纳法当时，二次型就是f(x)=a结论显然成立.现假定对1元的二次型,均有泄理的结论成立再设儿-2丿工工/=! ；=1分三种情况讨论:（1）,&q

7、uot;,2,间中至少有一个不是0,不妨设加0,此时有i=2f ( x】? * * * a/r ) a i+ 工 aj + y azi ,t；xl + 工工 xixij=2 xxj i=2i=2 j=2/allx1+工d】l “丿xj< >=2其中为工叽w二-兀j=2 j=2z>=2、djxj/2 +工工叽是一个"3,也的二次型 /=2 ；=2 jy=x +工 °】a j戶2y2=x2,ixj,bp<=yi _工0】1小，戶2- =,这是一个非线性替换,vn xnxn yn它使儿”w+工工叭 由归纳法假定，对后者有非退/=2 j=2 yj化线性替换能

8、使其变成平方和的形式，丁是就有非退化线性替换能使儿*，时+工讪+工皿+工4 变成平方>=2 xxj /=2心2 j=2和的形式，定理得证.（2）所有严0,但是至少有一心0。>1）,不失一般性，不妨设门2工0.令卜=zl +乙2,x2_zl _z2，* x33，xn /a 12大1兀2/(a1，,丫2，j = 2皿2小2 + =2切 cl +z2 x zl -?2 ) + =2«12 一 2小2 z； + 这时上式右端是"2,心的二次型，且汕勺系数不是0,属于 第一种情况，定理成立.这时二次型是-1元二次型，根据归纳法假定，结论成立于 是定理得证.3 数学归纳法证

9、明数列的单调性例:设肋+i =何匚,“ =0,12° > 0,薦巳，求证数列仏是单调递 增数列.证明：当” =1时，有心=jd+d >罷=制，假设当川=£-1时，有不等式ak >ak-则当斤=比时有,如=jd+以 > j。+心=ak，故有数列陽单调递增命题得证.4 整除问题的证明例1、是否存在正整数加,使得/（n） =（2n + 7）-3«+9对任意自 然数”都能被肌整除?若存在，求出最大的力值，并证明你的 结论;若不存在，请说明理由.解：当兀=1 时有 f（l） =（2 + 7）3 + 9 = 36 ,当兀=2 时有/（2）=（4 + 7

10、）32+9 = 108 = 3x36 ,当/? = 3 日寸有 /（3）=（6 + 7）33 + 9 = 360 = 10 x 36 ,由此推想存在正整数加，且加的最大值为36,即对任意 的自然数"都能被36整除.当n = 1时明显有命题成立；假设当寸时有命题成立，即张）=（2£ + 7）3" +9能被36整那么当n = k + l时有/(jt +1) = 2(jt +1)+7 3i+1 + 9 = 3(2a: + 7)-3* +9+323* -18 = 3(2k + 7)3* +9+18(3*_1-1) 由于3*-' -1 (a: > 2)是2的倍

11、数，故有18(3-1)是36的倍数，即 18旷-1)能被36整除,由假设得张+ 1)能被36整除,即命题成 立，故存在最大的正整数加，且加的值为36.5 恒等式问题的证明例、是否存在常数°,恥，使得等式le22 4-2>32+m>(n + l)2 = m + 1)伽2+bn + c)对一切自然数成立?12并证明你的结论.解：假设存在常数使得等式成立，则当“",2,3时有等式成立，即有4 = (a + b + c)622* + 2士)70 = 9a + 3b + c解得：° = 3,b = 1 l,c = 10,故对 n = 1,2,3 吋，等式1 2?

12、 + 2 3? + +川(刃 +1)2 = "(" + d (3/22 +11/2 4-10)成立.12令 s” = 1 2? + 2 3? + +斤 + 1尸假设“寸时上式成立，即s严紅护曲+1+10)那么 = sk + 伙 +1)伙+ 2)2=砍+ d (3鸟 2 +11r +10) + 伙 +1)伙 + 2)2晋(”+ 5) + (屮伙+ 2尸=伙 + 1)(* + 2)2 + 5k + i2k +10)12二' '八八 t s 3伙 + 1)2+11 伙 + 1) + 1012这就是说，等式当“21时也成立，假设成立.故半a = 3,2 1 l,c

13、= 10时，题设的等式对一切自然数"都成立.6 与其他知识点的交汇例、平面上有“个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过 同一点，求证这“个圆分平面为“2_” + 2个部分.解：记”个圆分平面的部分数为s”.当"=1时,有5) =2 = 1-14-2,命题成立.假设当时，有命题成立，即有s* =k2-k + 2成立.则当+ 1吋，第21个圆与前k个圆有次个交点,而这“ 个交点把第"1个圆分成次段，每一段把前面的平面一分为 二，从而共增加了 2k个平面，故有 s”, =k2-k + 2 + 2k=k2 +k + 2 = (k + l)2-(k + i)+2, 即当“ = k + l时，有如=(r + 1)2_(zi) + 2成立.综上所诉，命题得证.点评：关于这类几何问题，关键在于分析与"1的差界，k到 “1的变化情况，然后借助于图形的直观性，建立k与"1的 递推关系.文中通过一系列的例题，最直观的介绍了数学归纳法