(完整版)高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)

1、例：求下列函数的值域11值域为,+°0)基本不等式知识点：221 .(1)若 a,b R,则 a2 b2 2ab (2)若 a,b R,则 ab -2(当且仅当a b时取“二”)a b2 . (1)若 a,b R,则 a_b 旅(2)若 a,b R,则 a b 2Vab(当且2仅当a b时取“=”)2(3)若a,b R*,则abab(当且仅当a b时取“=”)13 .若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取“=”） x1若x 0 ,则x 2 （当且仅当x 1时取“=”）x若x 0,则x 1 2g陵1 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取“=”） xxx4 .若ab 0 ,则a b

2、2（当且仅当a b时取“="）若ab 0 ,则b a当x<0时,1y =x + - = x，值域为（一8, 2 U2技巧一：凑项+ 00)解题技巧x-) <xx1=一2 xab2即ab2或ab-2 （当且仅当a b时取“=”）ba ba ba.2.25.若a,b R,则（_a_2 a_b-（当且仅当a b时取“=”） 22注息：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定 积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实

3、际问 题方面有广泛的应用解：因4x 5 0 ,所以首先要4x 2“调整”的最大值。4x 5符号，又 （4x12）g4不是常数，所以4x 2要进行拆、凑项，Q x 5, 5 4x 0，411y 4x 2 5 4x 32 3 14x 55 4x，L ,1) .当且仅当5 4x ，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax 1。5 4x应用一：求最值技巧二：凑系数y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)3 2x 0例：求函数y-x=L的值域。x25 9 (当t=2即x=1时取“=”号)。例：当I。二工U4时，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口 c戈工4知，8-2工口|,利用均值不等式求最

4、值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8为 定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。尸=(8- 2初 ；产. 尸尸三 S当= 8-2工，即x=2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。2 .变式：设0 x ,求函数y 4x(3 2x)的取大值。.c3解 ：0 x .22c 2x 3 2x2 233 当且仅当2x 3 2x,即x 0,- 时等号成立。42技巧三：分离技巧四：换元x2 7x 10.一例：求y x一50(x1)的值域。x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有( x+1)的项,

5、 再将其分离。X?十7工(X + I)2 + 5( + 1) + 4 ,4：V =fx + 1) + 5x + 1x + 1x + 1当了-1,即一1二口时，y 2/(x 1)5 9 (当且仅当x=1时取“=”x 1号)。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x +1,化简原式在分离 求最值。(t 1)27(t 1) + 10 t2 5t 4y =tt当工 :-1|，即 t=5+l > 口时，y 2jt -技巧五：在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况，结合函数f(x) x ax的单调性。解：令 Jx2 4 t(t 2),则 y x2 5 收 41 t 1(t 2

6、)x2 4x2 4 t1 1因t 0,t - 1,但t -解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调tt性。1 ,、.因为y t ：在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数,故y也。 2所以，所求函数的值域为-,。2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。19例：已知x 0, y 0,且一一1,求x y的最小值。 x y错解：Qx0, y0,且工？1, x y - - x y 22dxy 12x yx y xy故 x y 12 om min错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2 向等号成立条件是x y,在1 y 22+2=V2 x

7、191 9 2；9等号成立条件是即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。x y . xyx y因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。分别看成两个因式:已知a, b为正实数,y 21x + 2 +2即 xrj 1 + y 21 91 9正斛：Q x 0, y 0, - 1, x y x y x yx y-9x 10 6 10 16 x y12b+ab+a=30,求函数 y= ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,是通过消元，转化为y 9x当且仅当-时，上式等号成立，又x y19 d1 ,可得 x 4,

8、y 12 时, x y元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;x y 16 o m min技巧七2例：已知x, y为正实数，且x 2 + y = 1,求xj + y 2的最大值.是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式,不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简 71 +y 2中y2前面的系数为 1 ,30 2b 法一 ：a=,b+ 130 2b -2 b 2+30b ab =b =由 a>0 得，0vbv152t2 + 34t 311616

9、令 t = b+1 , 1 vtv 16 , ab =-2 (t+- ) +34 .t+； >216t t 8111_例：已知 a、b、c R,且 a b c 1。求证：一1一1一18abc ab<18法二：由已知得:1. y> 18当且仅当t=4,即b = 3, a=6时，等号成立。30 - ab = a+2b a + 2b n2y2 ab30 ab >2 2 ab令 u = yjab则 u2 + 2也 u 30W0, 542 qw3y218 a b 一点评：本题考查不等式 4ab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算2能力；如何由已知不等式ab a 2b 30

10、 (a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式Jab (a, b R ),分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1 1_b_c 毡c ,可由此变形入手。a a a a解：Qa、b、c R,abc1。- 1 1-a -bc -bc 。同理a a a a1. 2 ac 1 2ab-1 , - 1 三史。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得b b c c bc 2 . ac 2/ab1口9-1-1-1gg 8。当且仅当 a b c -时取等a b c a b c3号。这样将已知条彳转换为含 ab的

11、不等式,进而解得 ab的范围.应用三:均值不等式与恒成立问题技巧九、取平方例：求函数 y J2x 1 45 2x(1 x 25)的最大值。x 0, y9 1,求使不等式x y m恒成立的实数 ym的取值解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2 (、2x22x)2 42 . (2x 1)(5 2x) 4(2x 1) (5 2x)又y 0,所以0y 2.2k, x 0, y 0,当且仅当2x1=53时取等号。2故 Ymax2 2。x ykx9x应用二：利用均值不等式证明不等式9y ky1.10kykx9xky10k,16利用重要不等式放缩例设 Sn<1 2 42 3x'n(n

12、1).求证n(n 1)2Sn(n 1)22练习题、选择题解析此数列的通项为akk ,k(k 1)即 n(n 1) S2k k2""n(n 1)2k(k11),k 1,2,n.1、函数2(n 1)2Sn八 1、(k2) 'A、y |log1 x2 1的定义域是( 2x2, 1 U 1, . 2注：应注意把握放缩的“度”2:上述不等式右边放缩用的是均值不等式C、2,1 U 1,2B、D、2、若关于x的不等式|x + 2| + |x 1| < a的解集为-2,1 U 1?. 2廊S,若放成fk(k 1) k 1则得 2nSn(k 1)k 1(n 1)(n 3) (n

13、 1)2A、(3,+oo) 巴3)B、3,+ 叫2,1 U 1,2,则a的取值范围是C、(一8 ,3).D、(-放过“度” 了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3、不等式a1其中，2a1an a1n a1an 1'n2annan2,3等的各式及其变式公式均可供选用。A、(1C、04、若关于 围是(A、 a1x 1+ OO)1 U(1应用四：均值定理在比较大小中的应用5、则例：若6、a b 1, PJ.lg a lg b,Q1-(lg a 2a blgb), R lg(),则 P,Q,R的大小关2玄旦 不TH分析：:1 - -lg a0, lg b1 一的解集为(x

14、2 1+ OOx的不等式2x ).4已知函数f x().A、b 1a、).B、D、2 8xB、 a1 , +°o)(1, 0)U(1:4内有解,+°0)则实数a的取值范lg2x b4(b为常数)C、a若x121, 时,D、f Xa 120恒成立,B、b<1C、b 1D、 b=1b、cC R,下列命题：若a>b,则ac2>bc2;若abw。，则总 b+- >2;若 a>| b|, anC N,贝U an>bn；若a>b>0,则Q 1 (2 a R lg(-lg alg b) lga lgb7、b厂)1g ab ilgabQ .R

15、>Q>P 。8、个数为(A、2D 1函数yA . 一18a c b c ).2(9x<若log ab<0,则a、b中至少有一个大于 b1.其中正确命题的B、39 x)12(3x 3 x)B. - 16定义在R上的函数满足f(x) f(x4的最小值为(C. 122),当 x 3,5时,D. 0f(x) 2 xB. f (sin 1) f (cos1)D. f (cos2) f (sin 2).,5rp 5、,1 1,) C. (, - 2,)，则函数y f (x)2 f(x2)的最大值是(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) cab则().A. f

16、(sin )f (cos)6622C. f (cos) f (sin)339、函数y sn四二一的值域是( 2 sin xA. (, 2 2,) B.(D. R10、已知 f(x) log3x 2(x 1,9),().A.13B.20C. 18D. 1611、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f (x) lg x.设. 6.3. 5,a f (-),b f (-), c "一)，则().52212、若关于的方程 x2(a2+b26b)x+ a2+b2+2a4b+1=0的两个实数根xi , x2满足 xi < 0< x2< 1,则a2+b2+4a的最大值

17、和最小值分别为 ().A. 2 和 5+4 木B. 7和 5+4 木C. 2和 12D.一2和154书二、填空题长400 km,为了安全，两列货车的间距不得小于(-v)2km (货车长度忽略不20计)，那么这批货物全部运到 B市最快需要 小时？三、解答题17、解关于x的不等式ax2 V3x 1 018、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元.今年，工厂第一次投入 100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入k后，母只广品的固te成本为 g(n) j (k>0, k为常数，n Z且n

18、>0),.n 1若产品销售价保持不变，第 n次投入后的年利润为 f(n)万元.(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高 ？最高利润为多少万元？x ay 1 013、已知实数x, y满足约束条件2x y 0 a R ,目标函数z x 2y只有 x 1x 1 当时取得最大值，则 a的取值范围是 .y 022 一14、若x 2y 3>0,则x 1 y 2的最小值是15、记mina,b为a、b两数的最小值，当正数x、y变化时，t=min x, 2 y 2 也在x y变化则t的最大值为.16、一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达 B市。已知两

19、地铁路线19、已知不等式x2 3x t0的解集为x|1 x m, x R(I)求t, m的值；(2)若函数f(x)= -x2+ax+4在区间,1上递增，求关于x的不等式loga(mx2+3x+2-t)<0 的解集。1.n21、已知数列 an满足Sn an(nCN),Sn是an的前n项的和，并且a2 2(1)求数列an的前n项的和；an 131八(2)证明：一< 1 222an 120、已知函数y = x + a有如下性质：如果常数a >0,那么该函数在(0,，a 上 x是减函数，在ja, +8)上是增函数.上屹2b(1)如果函数y = xd(x>0)的值域为6, +&#

20、176;° ),求b的值；(2)研究函数y = x2十三(常数c>0)在定义域内的单调性，并说明理由；x(3)对函数y=x + a和yMxZ+a (常数a >0)作出推广，使它们都是 xx你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数F(x) = (x2 3n+ (？ x)n (n是正整数)在区间 x x1, 2上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)2222、已知二次函数f(x) ax x 1 (a 0)的图象与x轴交点的横坐标分别为*2 .(1)证明：(1x1)(1x2)1；(2)证明：x1 ,x21;(3)若x1、x2满足不等式l

21、g凶 1 ,试求a的取值范围。x2不等式测试题(三)答案与解析:21、答案：选A。要使函数有意义，则lOgi X2解得x22, 1 U 1,72 。2、答案：选Co提示：令f X X 2 Xx 1,x 2的距离和，所以f x 3,2210,即 0<x1 1, 1<x2 ,1 ,则f x可看作是数轴上的点到,要使不等式|x + 2| + |x- 1| < a的解集为，则有a ,33、答案：选D。提示：不等式同解为0,故解集为(T, 0U(1,+ 00, 、 _ 2_4、答案：选A。提示：分离参数得a 2x 8x 4 ,则转化为a小于 T x 2x2 8x 4在1 x 4的最小值

22、，配方求得最小值为4。5、答案：选 A。 f x lg 2x b 02x b 1 b 2x 1 ,Q x 1, b 1。6、答案：A。解析：错.当c=0时有ac2=bc2错.当 ab<0 时，-+ - <- 2.b a对.当b>0时，a>b>0, an>bn成立;当 b=0 时，a>0, an>bn 成立；当b<0时，若n为奇数，an>0, bn<0, an>bn成立;若 n 为偶数,a>| b|>0, an>| b| n=bn, an>bn 仍成立.故 nC N*, a>| b| 时总有 a

23、n>bn.错.如 a=3, b=2, c=- 1 时，c > a . b c b对.当0<a<1时，必有b>1.正确命题有2个.7、答案：选Bo提示：令3x 3 x T,则9x 9 x T2 2,所以22y 2T212T 2 T 318,又 T 2得 y 16。8、答案：选D。提示：由题知f x周期为2,又当即f x在3,4上为增，4,5Q cos2 sin 2 所以 f (cos2) g 一 sin x9、答案：选Co提木：Q2式。故利用其单调性求解。10、答案：选 A。y f(x)2注意到为符合函数，定义域为 x上为减。所以在f(sin2)。2时，sin x

24、sin xf(x2)1,3 ,Iog2x log3x11、12、2 .答案:f(5)2答案：2 -a +b +2a选D解：已知f (x)是周期为6 f(-) f(5f(1)<0, 245)B提示：令f(x)= 6b+1<0 且 f(1)=3,5时，f(x) 2 x 41,0 上为增，0,1上为减，2不成立，故不能用均值不等610g3 x 6 log3x 30,1 ,故最大值为2的奇函数，当0 x 1时,23,13。4 f(5)b f(2) f( 2)f(x) 1 f(2)lg x.a b,选D.x2(a 2+b2-6b)x+ a2+b2+2a 4b+1,则由题意有2a+2b+2&g

25、t;0,即(a+1) 2+(b2) 2W4 且 a+b+1R0,f(0)=在直角坐标平面aOb上作出其可行域如图所示，而a2+b2+4a=(a+2) 2+b24的几何意义为|PA| 2一4 (其中P(a, b)为可行域内任意的一点，A(-2, 0).由图可知，当P点在直线l ：a+b+1=0上且AP±1时取得最小值；当P点为AC(C为圆(a+1) 2+(b2) 2<4 的圆心)的延长线与圆 C的交点时达到最大值.又A点的直线l的距离为七，|AC|=V5,13、答案:画出区域所以a2+b2+4a的最大值和最小值分别为一a>0。直线x ay 1 0过定点1,02x y 0后，

26、让直线x ay 1 0 x 1绕1,0旋转得到不等式表示的平面区域,平移直线x 3y 0观察图象可知，必须满足直线合题意，故实数a的范围是a>0。414、答案：一联想线性规划问题的求解方法，先考虑5xOx1ay 1 0的斜率a的>0才符2x(和(次+2)24=5+4/5.故选 B.2最小值，画出可行域(图略)，可知d的最小值对应点(一1, 2)到直线x 2y 33y2 52 S 2的距离，易求得这个值为25,所以，正确答案为 出55(2)由 f(n) (100 10n)(10 8) 100n ,n 11000 8015、答案：旦2解析：若 XW2y 2，则t=X,t2=X2W X

27、-2y 24 -xy-=-.故 tW 出,x2 y2x2 y2 2xy 22(n 10 ,n 19)1 000 80( . n 1 ) 1000,n 19，一,即n= 8时取等号,n 1所以第8年工厂的利润最高，最高为 520万元.80520.2当且仅当 x=y=时取 =219、解：不等式x2 3xt < 0的解集为x|1m, x若 2 . 2 & x,则 t= 2 . 2 f=( 2y 2)2<x yx y x yxy<121 mR m故tw等,当且仅当x=y=等时取“=”.综上可知，当x=y=/时,t取最大值2为*.216、答案：8h。解：这批货物从 A市全部运到

28、B市的时间为V 2 400 16()2 t”v17、解：当a 0时,3为x ； 33 当0 a 一时,4400 16vv 4002 400 16vv 4008(h)。解为、33 4a2a解为x,3当a 一时，解为r.418、解：(1)由 g(n)33 4a 业x ;当 a2a2a2a当n=0时,由题意，可得k= 8,0时，解所以 f(n) (100 10n) (10 7匚)100n. n 1 f(x)=(x-)2a2 4 在(24/2(mx又 loga3x 2t)2(2x2 3x)崛<0由a 2,可知0V2x2 3x < 12,1上递增，由 2x2 3x 0,2由 2x 3x 1

29、0故原不等式的解集为3得 0 V x< 一2得x v或x > 1213x|0< x< 或2121,a 220、解(1)函数y=x+及(x>0)的最小值是x2 c(2)设 0<x1<x2,y2y1= x2 x2当 4 c <x1<x2 时，y2>y1,函数 y=2 . 2b ,则 2 2b =6b=log29.2x1当 0<x1<x2<#C 时 y2<y1,函数 y= x2-2又y= x是偶函数，于是，该函数在是增函数c2x1(x2x2)(1-)22 ) .x1 x2c2在电c ,+ 00上是增函数；x-c2在(

30、0,4/c上是减函数.x(_oo_yc上是减函数，在4c,0)上可以把函数推广为 y=xn当n是奇数时，函数y= xna二(常数a>0),其中n是正整数.x-an-在(0,2"a上是减函数，在%+8注是增函数 xC012an 1an 1在(-oo-诟上是增函数，在2na,0)上是减函数.当n是偶数时，函数y=xn耳在(0,即a上是减函数，在右,+ 8注是增函数x在(8厂呜上是减函数，在%,。)上是增函数.Cn1-2nrC212n1 n2n2Lcn12ncnn12nQcn12nr !nr1,2,L21 n 1F(X)= (X ) +( X)X X12n12nC：(x2n-27) C：(x2n x2n 3 )