南通市高三第二次模拟测试数学

1、南通市2014届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位 置上. 1,已知集合 A xx>3Uxx 1,则 eRA.2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 .3,复数z (其中i为虚数单位)的模为 .1 i4 .从编号为0, 1, 2,，79的80件产品中，采用系统抽样的a 1i 2While i<6 a a i i i 2 jEnd whilePrint a（第5题）方法抽取容量是 5的样本，若编号为 28的产品在样本中，则该样本中产品

2、的最大编号为 .5 .根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为 .6 .若loga27 1,则a的取值范围是.a 1327 . 若函数f(x) x ax bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y 3x 4衣，则b的值为.8 .设l,m表示直线，m是平面 内的任意一条直线. 则“l m”是条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个)9 .在平面直角坐标系 xOy中，设A是半圆O : x2 y2 2 ( x>0)上一点，直线 OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线，垂足为 H ,过H作OA的平行线交半圆于点 B,则直线AB的方程是 .uur

3、uur10 .在4ABC中，D是BC的中点，AD=8, BC=20,则 AB AC的值为 .11 .设x, y, z是实数，9x, 12y, 15z成等比数列，且 ；，：，1成等差数列，则 x ：的值是 .12 .设工是函数f(x) sin 2x的一个零点，则函数f(x)在区间0, 2兀内所有极值点之6和为)恒成立，则实数x的值13 .若不等式（mx 1） 3m 2-（ x + 1）m1 >0对任意 m （0 ,为 .14 .设实数a, b, c满足a一 一5 1x,4 x< 10. 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当

4、空气中净化剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的7争化剂，6天后再喷洒a （1 w a w 4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化， 试求a的最小值（精确到0.1,参考数据:应取1.4）.+b2 w cw 1,则a+b+c的最小值为 .二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）, uur uur uuu uuur在 ABC 中，已知 AB AC 9, AB BC16 .求:(1)

5、 AB的值;(2)sin(A助的值sin C11116 .（本小题满分14分）PD = AD, AB=2DC, E 是 PB 的在四棱锥 P-ABCD中，AB/DC, ABL平面PAD,中占（第16题）I 八、求证：（1） CE/平面PAD;（2）平面PBCL平面PAB.17 .（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：天-6- 1 , 0W x W 4, 8 x在平面直角坐标系 xOy中，设曲线Ci： -Lx! _LyJ_ i(a b 0)所围成的封闭图形的 a b面积为4盘,

6、曲线Ci上的点到原点 O的最短距离为 2叵.以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点 3的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线.M是l上的点(与若MO = 2OA,当点A在椭圆C2上运动时，求点 M的轨迹方程;若M是l与椭圆C2的交点，求 AMB的面积的最小值.19 .(本小题满分16分)设数列an的首项不为零，前 n项和为Sn,且对任意的r, t N*,都有 色St(1)求数列an的通项公式(用ai表示)；(2)设 a1二1, b1=3, bn Sbn1 n>2, n N ,求证：数列 logabn 为等比数列；(3)在(2)

7、的条件下，求Tnn btj .k 2 bk 120 .(本小题满分16分)设函数f(x) ex ax a(a R),其图象与x轴交于A(x1 , 0), B(x2, 0)两点，且xkX2.(1)求a的取值范围；(2)证明：f 百忑 0 ( f (x)为函数f(x)的导函数)；(3)设点C在函数y f(x)的图象上，且 ABC为等腰直角三角形，记卜21 t ,X 1求(a 1)(t 1)的值.21B.选修42:矩阵与变换已知二阶矩阵 M有特征值1及对应的一个特征向量e1-1，且M =121C.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，设动点P, Q都在曲线C:x 1 2cos y 2

8、sin'（。为参数）上,且这两点对应的参数分别为 0= a与0= 2o（0< /V 2 t）,设PQ的中点M与定点A（1 , 0）间的距离为d,求d的取值范围.22.（本小题满分10分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD AA 2AB,(1)证明：D1EA1D ；若二面角D1 EC D的大小为力求的值.23.（本小题满分10分）设数歹U an共有n（ n > 3, n N）项，且a1an对每个i (iwiw n 1i N),均有1点E是棱AB上一点.且普EB3i 13i(1)当n 3时,写出满足条件的所有数列 an（不必写出过程）；(2)当n 8时,求满足条件的数

9、列an的个数.南通市2014届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议1,迎.4, 76. 5, 48. 26, 4,. 7, 3.8,充要.9, 36. 1134石12114,15,(1)（方法1)uuuABUULTACuuu uurAB BCuuu 所以ABuurACuuu uuirAB BC1625,uur UULTAB ACuurCB 25uuu 2亦即AB 25（方法2）设A, B, C的对边依次为 a, b, c,则由条件得bccosA 9,ac cos B 16 . 3 分两式相加得c（bcosAacosB) 9 16 25,即 c225 ,故 AB c(方法3)设A, B,

10、C的对边依次为a, b, c,则由条件得bccosA9 , accosB 16 .由余弦定理得尹222122.2c a 9, - c a b216,两式相加得c2 25 sin(A B) sin Csin A cos B cosAsin BsinC10分由正弦定理得 sin(A B) acosB bcosAsin CaccosB bccos A 16 97c225 -14分16, EF CD ,于是四边形 DCEF是平行四边形,从而CE / DF,而CE 平面PAD, DF 平面PAD,故CE /平面PAD .（方法2）取AB的中点M,连EM, CM .因为E是PB的中点，所以 EM / PA

11、.因为AB/CD, AB = 2DC,所以 CM / AD.因为EM平面PAD, PA 平面PAD,所以EM/平面PAD,同理，CM/平面PAD.MC（第16题）因为EM IEM, CM平面CEM ,所以平面CEM/平面PAD,而CE 平面PAD,故CE /平面 PAD(2)（接（1）中方法1)因为PD= AD,且F是PA的中点，所以 DF PA.因为ABL平面PAD,DF平面PAD,所以DF AB .10因为CE / DF ,所以CE因为PA, AB平面PAB,PAI AB A,所以 CE 平面 PAB.因为CE 平面PBC,所以平面 PBCL平面PAB.1417,【解】(1)因为一次喷洒4

12、个单位的净化剂,所以浓度f(x) 4y864x 4.20 2x,0< x< 4,4 x< 10.2则当0W xW 4时，由644> 4,解得x> 0,所以此时0WxW4.8 x3分当4 xW 10时，由20 2x> 4解得xW 8,所以此时4 x< 8 .综合得0 W x W 8 ,若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达 8天. 7分(2)设从第一次喷洒起，经 x (6W xw 10)天，浓度g(x) 2 5 x a 16 110 x 16a a (14 x) 16a a 4 . 10分28 (x 6)14 x '1 14 x因为 14

13、x 4, 8,而 1W aw 4,所以4石4,8,故当且仅当14 x 4出时，y有最小值为8y a 4 .4 >4,解得24 16V2W a w 4 ,所以a的最小值为24 16J2 1.6 .14分0 ,解得 a2 8, b2 1 .4分uuu uuu uuuu2 OA , OA OM 0 .2ab 4.2,18, rn (1)由题意得ab2V2又a ba2 1 ,亦即1 . 32 b232 因此所求椭圆的标准方程为 y2 1 .8 uuur1 2 zy，(2)设M(x, y) , A(m, n),则由题设知：OM22 .22 .口门xy4(mn ),曰即y(解得mxny0,22 y

14、即2 8因为点A(m, n)在椭圆C2上，所以 m 810分22所以点M的轨迹方程为上L 1.432（方法1）设M （x, y）,则A v,x)(R,0)，因为点A在椭圆C2上,所以2 2(y8x2)8,即 y2 8x2 -82 又x28y2(ii)+ (ii)9113分所以S AMBOM OA |I(x2y2)当且仅当1 (即 kAB1)时,S AMBmin1 > 16 胃 I I 9161 v.16分（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为y= kx（kw 0）.解方程组2 x8y1,得Xa828k2Va8k21 8k2，所以OA2Xa2Va88k28k28

15、k28(114OA2232(1 k2)21 8k21,1 x, k解得2Xm8k2k2+82Vm82-f-,所以 OM2 k +8_2需分（解法1）由于S»A AMB-AB OM 432(1 k2)1 8k28(1 k2)k2+82 264(1 k )22(1 8k )(k +8)当且仅当228k k2 264(1 k )2 264(1 k )22218k k +828142 2(1 k )256818时等号成立，即 k= ±1时等号成立,此时 AMB面积的最小值是 SaAMB = 16915分当 k= 0, SaAMB 4 4/2 1 2 V2当k不存在时，Sa AMB

16、1 2 2 2169综上所述， AMB面积的最小值为16916分（解法2）因为2OA1OM 228(1 k )1 8k228(1 k )k2+82218k k +828(1 k2)19.20.又 11OA2 om 2当且仅当1【解】(1)OA OM16是OA OM一，928k因为当n>2时，an2k 8时等号成立,a1s 0SnSn1a(2n1),k= ±1时等号成立.(后同方法1)且当故数列an的通项公式为aa1 (2n 1).(2)当a1 1时，由(1)知依题意，n>2时，bnSbn1ana1(2n 1)bn12,2log3bn 10g 3bn 1 2log 3bn

17、1(n > 2, n则 W 2,得Sn n2,即 Sn an2 .SttSin 1时，此式也成立.N),且 10g3 b11,故数列10g3bn是首项为1,公比为2的等比数歹U.(3)由(2)得 10g3bn 1 2n 1 2n 1 ,所以 bn 32n 1(n N2k 2bQ2k 2311日 bk 13kok 1k 2ck 2bk 1313+131所以Tnnbk1n 1k 2"bTk2 厂x【解】(1) f (x) e a .).10分12分11321_12k 23_12k 11 311n 132115分16分若a w 0 ,则f (x) 0 ,则函数 f(x)是单调增函数，

18、这与题设矛盾.所以a 0 ,令f (x) 0 ,则x当x lna时，f (x) 0 , f(x)是单调减函数；x lna时，f (x) 0 , f (x)是单调增函数;于是当x 1n a时, f(x)取得极小值.因为函数f (x) exax a(a RW4)图象与 x 轴交于两点 A(x , 0) , B(x2, 0) (xiv x2),所以 f (ln a) a(2此时，存在 1 lna, f(1) e 0;存在31na In a , f (31n a)332a 3a In a a a 3a a 0 ,又由f(x)在(,In a)及(In a ,)上的单调性及曲线在 R上不间断，可知a e2

19、为所求取值范围.(2)因为eX1e"axi0,两式相减得aax20,X2%e eX2X1记丫s(sf X1X22% X2e""x1X2ex2eX1X2Xi£ 2s (es es)，设 g(s) 2s (es e s),则 g (s)s(e0,所以g(s)是单调减函数,则有 g(s) g(0)。，而X1 X2e2s0,所以XiX22_X,X1 X2又f (x) e a是单调增函数，且tL7x1X2 ,所以f JX1X20 .11 分(3)依题意有 e"axi a 0 ,则 a(Xj 1) exi 01(i 1,2).aJ(X1 1)(X2 1),

20、在等腰三角形 ABC中,显然C = 90° ,13分所以 X0 "J (X1 , X2),即 v。f(Xc) 0由直角三角形斜边的中线性质，可知X2X1y。，X1 X2所以 y0 %_/ 0,即 ek 2(X1X2) a0,所以 a (为 1)(X2 1) |(为 X2) ax2 x1-2-0,即 a ."1)(X21)都为 1) (X2 1)(X21) (X12因为x1 10,则a1X121X2 1X2 1K 1X2_J1X1 12X2又t ,X11所以att2)1)15分所以(a1)(t1)2.16分a b21B【解】设M，则由c d11a b 3,a b 1

21、再由c d 1联立以上方程组解得a= 2, b= 1, c= 0,d=1,故 M21C.【解】由题设可知于是PQ的中点MP ( 1 + 2cos a,2sin a), Q (1cos cos2 , sinsin 2+ 2cos2 a, sin2 a),10从而d2MA2cos cos22sinsin 222 2cos10分22.【证】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴,因为0 V a< 2 Tt,所以一1Wcosa< 1 ,0<d 2v4,故d的取值范围是 0,DD1为z轴建立空间直角坐标系.不妨设 AD =AAi = 1, AB = 2,B(1 , 2, 0),则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0),C(0, 2, 0), A1(1, 0, 1),Bi(1, 2,1),