微分方程建模1

1、数学建模数学建模-微分方程模型烟台大学文经学院烟台大学文经学院 基础教学部基础教学部主要内容主要内容三、微分方程建模的实例三、微分方程建模的实例一、微分方程建模的方法一、微分方程建模的方法二、微分方程建模的步骤二、微分方程建模的步骤 微分方程建模是一种重要的数学建模方法，在许微分方程建模是一种重要的数学建模方法，在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。尤

2、其是在题。尤其是在连续变量连续变量问题的研究中，微分方程是十问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。利用微分方程建模常见的方分常用的数学工具之一。利用微分方程建模常见的方法有：法有： 一、微分方程建模的方法一、微分方程建模的方法1. 1. 根据已知规律直接列出方程根据已知规律直接列出方程 根据数学、物理、力学、化学、生物学等学科根据数学、物理、力学、化学、生物学等学科中已有的规律和定律，如中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，放射性物质的放射性规律电流及电压定律，放射性物质的放射性规律等等，等等，这些都涉及到这些都涉及到函数的变化率函数的变化

3、率问题，因此可根据相应问题，因此可根据相应的规律直接列出微分方程。的规律直接列出微分方程。2. 2. 微元分析法微元分析法 在数学、力学、物理学等许多教科书中常会见到在数学、力学、物理学等许多教科书中常会见到用用微元分析法微元分析法建立微分方程模型的例子，它实际上是建立微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理去寻求某些微元增量之间应用一些已知的规律或定理去寻求某些微元增量之间的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式 变化率（微商）变化率（微商）= =单位增加量单位增加量( (或单位减少量或单位减少量) )然后再将其简化为微分方程。然

4、后再将其简化为微分方程。3. .模拟近似法模拟近似法 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，对一些现象的规律性目前还不是很清楚，实践中，对一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去模拟模拟实际现象。对如此所得到的微分方程进行数学上求实际现象。对如此所得到的微分方程进行数学上求解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察分析这个模型与实际现象的差

5、异性，看能否在一定分析这个模型与实际现象的差异性，看能否在一定程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释。程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释。 将形形色色的实际问题转化成微分方程的定解问将形形色色的实际问题转化成微分方程的定解问题，大体上可按以下步骤：题，大体上可按以下步骤： 1. 1. 根据实际要求确定要研究的量（自变量、未根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等），并建立坐标系；知函数、必要的参数等），并建立坐标系； 2. 2. 找出这些量所满足的基本规律（物理的、几找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；何的、化学的或生物学的等等）； 3

6、. 3. 运用这些规律列出方程和定解条件运用这些规律列出方程和定解条件( (初边值初边值条件条件) )； 二、微分方程建模的步骤二、微分方程建模的步骤 下面将通过一些简单的实例来说明微分方程建模下面将通过一些简单的实例来说明微分方程建模的一般方法：的一般方法： 4. 4. 求解或者讨论方程求解或者讨论方程(数值解或定性理论数值解或定性理论)，从，从而得到我们要求的结果；而得到我们要求的结果； 5.5. 对模型和结果进行讨论与分析。对模型和结果进行讨论与分析。(动力学模型动力学模型) 动力学是微分方程最早期的源泉之动力学是微分方程最早期的源泉之一，动力学的基本定律是一，动力学的基本定律是牛顿第二

7、定律：牛顿第二定律： ，这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。 例例1 降落伞由高空下落，除受重力作用外，还应降落伞由高空下落，除受重力作用外，还应受空气阻力的作用。设某跳伞运动员的质量为受空气阻力的作用。设某跳伞运动员的质量为 ，降，降落伞在下落过程中所受的空气阻力与其速度成正比，落伞在下落过程中所受的空气阻力与其速度成正比，且降落伞下落时的初始速度为零，求降落伞下落速度且降落伞下落时的初始速度为零，求降落伞下落速度 的变化规律。的变化规律。maf 三、三、 微分方程建模的实例微分方程建模的实例m 设空气阻力系数为设空气阻力系数为 ，降落伞在时刻，

8、降落伞在时刻 下落的速下落的速度为度为 ，则由题意可知，在时刻，则由题意可知，在时刻 降落伞所受的降落伞所受的力为力为kvmgfkvmgdtdvm分离变量，得分离变量，得由牛顿第二定律列出微分方程由牛顿第二定律列出微分方程mdtkvmgdv(1)kt( )v tt两端积分，得两端积分，得)0(,)ln(11kvmgCmtkvmgk即即1kCtmkekvmg从而，解出从而，解出 得得tmkCekmgtv)(又由又由00tv可得，可得，.kmgC(2)v由上式可看出，当由上式可看出，当 时，有时，有kmgtvt)(lim常数；常数； 为介质密度；为介质密度； 为物体在地面上的投影面积。为物体在地面

9、上的投影面积。当落地速度当落地速度 与与 一定时一定时, , 可求出可求出 来。事来。事实上，实上，人们也正是根据公式人们也正是根据公式(4)来为跳伞者设计能保证来为跳伞者设计能保证安全的降落伞的直径大小的。只要跳伞者在空中有足安全的降落伞的直径大小的。只要跳伞者在空中有足, sk据实验测定据实验测定,其中其中 为与物体形状有关的为与物体形状有关的)1 ()(tmkekmgtv于是，方程于是，方程(1)的特解为的特解为(3)(4)ss1,v mt 够长的停留时间，他到达地面时的速度就近似地等于够长的停留时间，他到达地面时的速度就近似地等于,kmg,kmg所以跳伞者才能安所以跳伞者才能安全降落地

10、面。全降落地面。 另外，若不计空气阻力，则跳伞者在空中做自另外，若不计空气阻力，则跳伞者在空中做自由落体运动，即按照加速度由落体运动，即按照加速度 落到地面。落到地面。而且不会超过而且不会超过常速常速g 例例2 一名律师的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑一名律师的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑他曾为了逃避追捕从一个他曾为了逃避追捕从一个30英尺高的英尺高的窗户上跳下来窗户上跳下来。辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果嫌。辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果嫌疑犯从那扇窗户跳下来，他就可能受伤无法再逃跑疑犯从那扇窗户跳下来，他就可能受伤无法再逃跑。试建立数学模型来帮助该律师为其当事人辩护。

11、试建立数学模型来帮助该律师为其当事人辩护。 注：注：首先要弄清楚问题的实质，也就是要解决什首先要弄清楚问题的实质，也就是要解决什么问题？么问题？问题分析：问题分析： 建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而判断他能否当即站起来并逃走。判断他能否当即站起来并逃走。问题表述：问题表述： 问题可明确为问题可明确为“如果一个人从一个如果一个人从一个30ft的高度下的高度下落，他触地时的速度是多少落，他触地时的速度是多少?”转化为：研究一个物体下落的问题！转化为：研究一个物体下落的问题！ 这个问题还需要做进一步的分析，我们首先要这个问题还需要做进一步的分析，我

12、们首先要针对人体下落的情况对一些问题做出判断：针对人体下落的情况对一些问题做出判断：l人体的下落是自由下落人体的下落是自由下落, ,还是需要考虑空气阻力还是需要考虑空气阻力? ?l身体的尺寸对下落有影响吗身体的尺寸对下落有影响吗? ? l如果空气阻力是重要的因素，在我们的模型中如如果空气阻力是重要的因素，在我们的模型中如何评估它？何评估它？ 符号假设：符号假设：下落距离：下落距离：x (m) 速速 度：度： v (m/s) 时时 间：间： t (s) 加速度：加速度： a (m/s2) 质质 量：量： m (kg)引力常数：引力常数：g (9.8 m/s2)空气阻力：空气阻力： R (N)dx

13、dvmvdtxdmRmg22建立数学模型：建立数学模型： 假设该运动是垂直下落的，则是一个一维的问题假设该运动是垂直下落的，则是一个一维的问题应用牛顿运动定律应用牛顿运动定律(以竖直向下为正向以竖直向下为正向)，得到，得到 (1)这是我们建立的初步模型，下面对该模型中的这是我们建立的初步模型，下面对该模型中的空气阻力空气阻力R R进行分析进行分析, ,找到合理的数学语言进行描述。找到合理的数学语言进行描述。 经验：在人们的运动体验中，无论是跑步、骑车经验：在人们的运动体验中，无论是跑步、骑车、甚至于走路都会普遍感觉到空气阻力的影响，直觉、甚至于走路都会普遍感觉到空气阻力的影响，直觉R R不依赖

14、于距离和时间，但却依赖于速度，你运动得不依赖于距离和时间，但却依赖于速度，你运动得越快，受到的阻力越大所以我们通常假定空气阻力越快，受到的阻力越大所以我们通常假定空气阻力正比于速度正比于速度v v，即将空气的阻力表示为，即将空气的阻力表示为R Rkvkv 也可以将也可以将R R及与及与v v的关系式假设成更复杂的形式，的关系式假设成更复杂的形式，比如比如或更一般地，或更一般地，如果取一般表达式，方程如果取一般表达式，方程()为：为： （）（）2kvR nkvR dxdvmvkvmgn现在的问题是如何确定现在的问题是如何确定n n和依赖于质量和依赖于质量m m的参数的参数k k的值的值? ?这对

15、于求模型的解至关重要可以做多种尝试这对于求模型的解至关重要可以做多种尝试，我们将利用从力学书中得到的结论：，我们将利用从力学书中得到的结论：(1)(1)对于小而坚实的物体，例如一块对于小而坚实的物体，例如一块小石头小石头，空，空气阻力直接和速度成正比，即有气阻力直接和速度成正比，即有n=1n=1；(2)(2)对于一些较为庞大的物体，如对于一些较为庞大的物体，如人体人体，空气阻，空气阻力和速度的平方成正比，即力和速度的平方成正比，即n=2n=2因此，对于律师所建立的人体下落模型，取因此，对于律师所建立的人体下落模型，取n=2n=2较合理较合理 接下来就是要确定模型中的参数接下来就是要确定模型中的

16、参数k. 查找力学书本可利用查找力学书本可利用“极限速度极限速度”的概念加的概念加以解决，即人体在介质中下落的极限速度为以解决，即人体在介质中下落的极限速度为120mile/h.而且当人体下降处于极限速度状态时，而且当人体下降处于极限速度状态时，加速度为零加速度为零(引力与空气阻力平衡引力与空气阻力平衡)，意味着微分方程，意味着微分方程20()dvkgKvvKdxm 从而，可以得到从而，可以得到K=0.00341.K=0.00341. 最终得到关于人体从窗户坠落问题的数学模型最终得到关于人体从窗户坠落问题的数学模型是一个是一个一阶微分方程一阶微分方程20.00341,0,0.dvgvvdxxv

17、模型求解：模型求解：21ln()2gxKgKvx (ft)0 5 10 15 20 25 30 35 v (m/h)0 12.20 17.22 21.03 24.23 27.02 29.52 31.80距离距离-速度关系图表速度关系图表模型结果分析：模型结果分析： 对于上述得到的结果：如果你从对于上述得到的结果：如果你从30 ft的高处往下的高处往下跳，你撞击地面的速度大约是跳，你撞击地面的速度大约是30 mileh，相当于一，相当于一辆汽车以每小时辆汽车以每小时30 mile的速度撞击你，因此，辩护律的速度撞击你，因此，辩护律师辩称自己的当事人从师辩称自己的当事人从30 ft的高处跳下去的高

18、处跳下去,坠地时必然坠地时必然会受伤，不可能逃避追捕会受伤，不可能逃避追捕。思考：思考：根据以上推理，律师的辩护合情合理，但根据以上推理，律师的辩护合情合理，但是当事人是否真的无罪呢？是当事人是否真的无罪呢？ 这里忽略了什么东西？这里忽略了什么东西？ 提示：提示： 落地处的性质：是硬地还是柔软的泥地？落地处的性质：是硬地还是柔软的泥地？ (1) ),(0TTkdtdT 牛顿冷却定律指出，当系统与周围环境的温度差牛顿冷却定律指出，当系统与周围环境的温度差（不超过（不超过1015度）不大时，系统温度的变化率与系度）不大时，系统温度的变化率与系统温度和环境温度之差成正比。其数学表达式为统温度和环境温

19、度之差成正比。其数学表达式为式中式中 为系统的温度，为系统的温度， 为环境的温度，为环境的温度， 为客观时间，为客观时间，k为散热系数，散热系数只与系统本身的性质有关。为散热系数，散热系数只与系统本身的性质有关。 牛顿冷却定律牛顿冷却定律 利用牛顿冷却定律可为侦破工作提供有力可靠的利用牛顿冷却定律可为侦破工作提供有力可靠的科学依据。请看下例：科学依据。请看下例：T0Tt 某被害者的尸体于晚上某被害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于被发现，法医于晚上晚上8:20赶到暗杀现场，测得尸体温度为赶到暗杀现场，测得尸体温度为32.6C；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为一小时后，当尸体即将被

20、抬走时，测得尸体温度为31.4C ，室内温度在几小时内始终保持在，室内温度在几小时内始终保持在21.1C 。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己无罪，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己无罪，并有证人说：并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，下午张某一直在办公室上班，5:00时打了一个电话后离开办公室时打了一个电话后离开办公室”。从张某的办公室。从张某的办公室到被害者家步行需到被害者家步行需5分钟，根据上述信息判断张某分钟，根据上述信息判断张某是不是杀人犯？是不是杀人犯？例例3. 利用牛顿冷却定律确定嫌疑犯利用牛顿冷却定律确定嫌疑犯 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功人体体温受

21、大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界环境温度的变化而变化。将能消失，尸体的温度受外界环境温度的变化而变化。将尸体看成是一系统，环境为死者的家，此时尸体温度的尸体看成是一系统，环境为死者的家，此时尸体温度的变化服从牛顿冷却定律。设变化服从牛顿冷却定律。设T (t)表示表示t 时刻尸体的温度时刻尸体的温度，并记晚上，并记晚上8:20为时刻为时刻t=0。则根据实测数据有。则根据实测数据有 (0)32.6,(1)31.4(2)TCTC 假设受害者死亡时体温是正常的，即假设受害者死亡时体温是正常的，即37C ，要，要确定受害者死亡时间确定受害者死亡时间t0，即求方程，即求方程T (

22、t0)= 37C的解。的解。时刻时刻t0张某如果不可能到达死者家，则他被排除在嫌张某如果不可能到达死者家，则他被排除在嫌疑犯之外。疑犯之外。由由(1)式得其通解式得其通解式中式中T0=21.1C为被害者家的温度，即环境温度。根为被害者家的温度，即环境温度。根据据(2)式确定常数式确定常数C*和散热系数和散热系数k，于是有，于是有01(0)21.132.6(1)21.131.4kkTC eTC e解方程组得解方程组得11.5,ln115 ln1030.11Ck0( )(3)ktT tTC e因此因此(3)式化为式化为 当当T (t)=37C时，解得时，解得02.952 57mthh 所以，被害者

23、的死亡时间约为所以，被害者的死亡时间约为8小时小时20分分-2小时小时57分分=5小时小时23分。分。 即被害者的死亡时间约在下午即被害者的死亡时间约在下午5:23。因此张某不能。因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。被排除在嫌疑犯之外。0.11( )21.1 11.5(4)tT te思考题：思考题：如果张某的律师出据了一份非常重要如果张某的律师出据了一份非常重要的证据：被害者于当天下午去医院看过病，病的证据：被害者于当天下午去医院看过病，病历记录了被害者发烧到历记录了被害者发烧到38.3C。假设在死者体。假设在死者体内未发现服用过阿斯匹林或类似药物，问张某内未发现服用过阿斯匹林或类似药物，问张某是

24、否能被排除在嫌疑犯之外？是否能被排除在嫌疑犯之外？例例4 流体混合模型流体混合模型 中学数学中有这样一类问题，某容器中装有浓度中学数学中有这样一类问题，某容器中装有浓度为为c1的含物质的含物质A的液体的液体V升升，从其中取出从其中取出V1升后加入升后加入浓度为浓度为c2的物质的液体的物质的液体V2升，求混合后液体的浓度。升，求混合后液体的浓度。 我们在生产和实验中还经常会遇到如下问题我们在生产和实验中还经常会遇到如下问题：容容器中装有含物质器中装有含物质A的流体，设的流体，设t=0时，流体的体积为时，流体的体积为V0，物质，物质A的质量为的质量为x0（浓度当然也就知道了）。今以（浓度当然也就知

25、道了）。今以速度速度v2（单位时间的流量）放出流体，而同时又以速（单位时间的流量）放出流体，而同时又以速度度v1注入浓度为注入浓度为c1的流体。求在的流体。求在t时刻容器时刻容器内内物质物质A的的质量及流体的浓度。质量及流体的浓度。（如图（如图1所示）所示） 这类问题称为这类问题称为流体混合问题流体混合问题，它已不能用初等数，它已不能用初等数学方法来解决，必须用微分方程来解决。下面我们用学方法来解决，必须用微分方程来解决。下面我们用微元法微元法列出方程。设在时刻列出方程。设在时刻t 容器内物质容器内物质A的质量为的质量为x(t)，浓度为，浓度为c2。经过时间。经过时间dt后，容器内物质后，容器

26、内物质A的质量的质量增加了增加了dx，于是有关系式，于是有关系式2012,()xcVvv t1 12 2,(1)dxcvdtc v dt因为因为将其代入到将其代入到(1)式，并整理得式，并整理得这是一个这是一个一阶线性微分方程一阶线性微分方程。求物质。求物质A在在t时刻的质量时刻的质量112102)(vcxtvvVvdtdx(2)问题就归结为求问题就归结为求微分方程微分方程(2)满足初始条件满足初始条件21 1012( ), ( ).()vp tq tc vVvv t212vkvv其中其中设设 ，则，则 所以所以的解的问题。由一阶线性微分方程的通解公式的解的问题。由一阶线性微分方程的通解公式

27、，得得0)0(xxCdtetqetxdttpdttp)()()()(3)tvvVkdttvvVvdttp)(ln)()(2102102(4)()()(21011210CdttvvVvctvvVtxkk(5)当当k-1-1时，时，当当k=-1时，时，)(2)()(11)()(210211121012102111210tvvVvvvctvvVCCtvvVkvvvctvvVtxkkktvvVtvvVvvvctvvVCCtvvVvvvctvvVtx)(ln)()()(ln)()(21021021112102102111210将初始条件将初始条件 x(0)=x0代入上式，得代入上式，得1,)(ln)(1

28、,)(2)()()(21021112102102111210210ktvvVvvvctvvVCktvvVvvvctvvVCtxtvvVk1,ln1,20211110010211100kVvvvcVxkVvvvcVxCkk综上讨论综上讨论,有有会全部流干会全部流干(即容器内溶液体积为零即容器内溶液体积为零)？思考题：思考题：21vv 当流速当流速时，容器内的液体需要多长时间时，容器内的液体需要多长时间cm100例例5 有高有高 1m 1m 的半球形容器的半球形容器, , 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出, ,小孔横小孔横.cm12S开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水, ,出过程中出

29、过程中, , 容器里水面的高度容器里水面的高度 h h ( (水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离) )随时间随时间 t t 的变化规律，并求出水流完所需要的时间。的变化规律，并求出水流完所需要的时间。r解解: : 由水力学知由水力学知, , 水从孔口流出的流量水从孔口流出的流量( (即通过孔口横截面的即通过孔口横截面的水的体积随时间水的体积随时间t t的变化率的变化率) )为为thgVd262. 0d求水从小孔流求水从小孔流截面积为截面积为流量系数流量系数孔口横截面面积孔口横截面面积重力加速度重力加速度设在设在d,ttt内，水面高度由内，水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhh

30、hdhho由实验可测得由实验可测得 k=0.62，故有，故有2dVQkSghdt则对应下降的体积为则对应下降的体积为hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此，有因此，有hhhthgd)200(d262. 021000th其中其中r是时刻是时刻t时水面的半径时水面的半径,右端加一负号是由于右端加一负号是由于dh0。又因又因故故这就是要求的水面高度这就是要求的水面高度h=h(t)应满足的微分方程。应满足的微分方程。另外，由题意可知，另外，由题意可知，h=h(t)还应满足下列初始条件：还应满足下列初始条件：(1)gt262. 0两端积分两端积分, 得得g262.

31、0hhhd)200(2321233400(h)5225hC将初始条件代入将初始条件代入, 可得可得5101514262. 0gC将常数将常数C的值代入到的值代入到(2)式并化简，可得式并化简，可得)310107(265. 4252335hhgt将方程将方程(1)分离变量，得分离变量，得hhhgtd)200(262. 0d2321(2) 这就是水从小孔流出的过程中，容器内水面的高度这就是水从小孔流出的过程中，容器内水面的高度h随时随时间间t的变化规律的变化规律.由上式可知，容器内的水流完需要的时间为：由上式可知，容器内的水流完需要的时间为：min58210068. 1107265. 445hss

32、gt 在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？间的黄灯。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？(要避免让驾驶员处于这样的进退两难的境地：要要避免让驾驶员处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。口又觉得太远。) 例例6 交通信号黄灯的设置问题交通信号黄

33、灯的设置问题 分析：对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到分析：对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号灯后要做出决定：是停车还是通过路黄色信号灯后要做出决定：是停车还是通过路口当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当口当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当决定通过路口时，必须有足够的时间使他安全通过决定通过路口时，必须有足够的时间使他安全通过路口。这就考虑三个时间：路口。这就考虑三个时间：做出决定的反应时间、做出决定的反应时间、决定停车后需要的停车时间或决定通过时安全通行决定停车后需要的停车时间或决定通过时安全通行时间时间 为了安全通过，黄灯持续的时间为了安全通过，黄灯持续的时间T应为驾驶员

34、的应为驾驶员的反应时间反应时间T0、车通过交叉路口的时间车通过交叉路口的时间T1和匀速通过和匀速通过安全刹车距离所需的时间安全刹车距离所需的时间T2之和。即之和。即 120TTTT 设道路限速为设道路限速为v0，交叉路口的宽度为，交叉路口的宽度为L，典型，典型的车身长度为的车身长度为l。考虑到车通过路口实际上指的是。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，故通过路口的时间为：车的尾部必须通过路口，故通过路口的时间为：10LlTv 假设在整个过程中所受制动摩擦力不变，可设假设在整个过程中所受制动摩擦力不变，可设为为f=-km，m是车辆的质量。利用是车辆的质量。利用Newton运动定运动

35、定律，制动距离满足律，制动距离满足：22d smkmdt 20max0max20.,22vsvsTkvk解得刹车距离为则有0002vL lTTvk若设若设T0=1s，L=10m，l=4.5m，k=0.8g,可得可得T和和v0的关系如图所示：的关系如图所示：，10203040506070802.533.544.555.566.5我国一些地区我国一些地区出台政策规定出台政策规定黄灯时间为黄灯时间为4s是安全的，因是安全的，因为同时规定了为同时规定了通过交通路口通过交通路口时速不超过时速不超过40m/s。 据考古学家论证，地球上出现生命距今已有据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20 亿年，而人类

36、的出现距今却不足亿年，而人类的出现距今却不足200万年。纵观人万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：类人口总数的增长情况，我们发现：1000 年前人口年前人口总数为总数为2.75 亿。经过漫长的过程到亿。经过漫长的过程到1830 年，人口年，人口总数达总数达10 亿，又经过亿，又经过100 年，在年，在1930 年，人口总年，人口总数达数达20亿；亿；30 年之后，在年之后，在1960 年，人口总数为年，人口总数为30 亿；又经过亿；又经过15 年，年，1975 年的人口总数是年的人口总数是40 亿，亿，12 年之后即年之后即1987 年，人口已达年，人口已达50 亿。亿。 我们自然会产

37、生这样一个问题：人类人口增长我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。例例7 人口增长模型人口增长模型:(1)Malthus 模型: 1798 年，英国神父年，英国神父Malthus 在分析了一百多年在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了人口统计资料之后，提出了Malthus模型。模型。模型假设：模型假设：（i）设）设 x(t) 表示表示 t 时刻的人口数，且时刻的人口数，且 x(t) 连续可微。连续可微。（ii）人口的增长率）人口的增长率 r 是常数（增长率是常数（增长率=出生率出生率-死亡死亡率）。率）。（ii

38、i）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。体都具有同样的生育能力与死亡率。 由假设，由假设，t 时刻到时刻到t +t 时刻人口的增量为时刻人口的增量为x(t +t) x(t) = rx(t)t于是得于是得 模型的建立与求解：模型的建立与求解：0)0(xxrxdtdx其解为其解为 (1)rtextx0)(2) 考虑二百多年来人口增长的实际情况，考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961 年年世界人口总数为世界人口总数为3.0610

39、9，在，在19611970 年这段年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则，则(2)式式可写为可写为 模型评价模型评价:)1961(02. 091006. 3)(tetx(3) 根据根据17001961 年间世界人口统计数据，我们年间世界人口统计数据，我们发现这些数据与发现这些数据与(3)式的计算结果相当符合。因为在这式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每期间地球上人口大约每 35 年增加年增加 1 倍，而倍，而(3)式算出式算出每每 34.6年增加年增加1 倍。倍。 但是，当人们用但是，当人们用(2)式对式对1790 年以来的美国人口年以

40、来的美国人口进行检验，发现有很大差异。进行检验，发现有很大差异。 利用利用(3)式对世界人口进行预测，也会得出惊异式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当的结论：当t = 2670 年时，年时，x(t) = 4.41015，即，即4400 万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少 20 人。人。 显然，用这一模型进行预测的结果远远高于实显然，用这一模型进行预测的结果远远高于实际人口的增长，误差的原因是际人口的增长，误差的原因是对增长率对增长率 r 的估计过的估计过高。高。由此，可以对由此，可以对 r 是常数的假设提出疑问。是常数的假设提出疑问。 如何对增

41、长率如何对增长率 r 进行修正呢？我们知道，地球上进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，我们可以把增长率人口较少时，我们可以把增长率r 看成常数，那么当看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视人口增加到一定数量之后，就应当视r 为一个随着人为一个随着人口的增加而减小的量，口的增加而减小的量，即将增长率即将增长率r

42、表示为人口表示为人口x(t)的的函数函数r(x)，且，且r(x)为为x的减函数。的减函数。(2)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic 模型模型)(i) 设设r(x)为为x的线性函数，的线性函数，r(x) = r sx; (工程师原则，首先用线性工程师原则，首先用线性)(ii)自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为 xm ，即当，即当x = xm 时，增长率时，增长率r(xm ) = 0 .模型假设模型假设:模型建立与求解模型建立与求解:由假设由假设(i)和和(ii)，可得，可得)1 ()(mxxrxr则有则有00)(,)1 (xtxxxxrdtd

43、xm(4)(4)式是一个可分离变量的方程，其解为式是一个可分离变量的方程，其解为)(00) 1(1)(ttrmmexxxtx(5)模型检验模型检验:由由(4)式，计算可得式，计算可得xxxxxrdtxdmm)21)(1 (222(6)人口总数人口总数x(t)有如下规律：有如下规律：(i),)(limmtxtx即无论人口初值即无论人口初值 x0如何，人口总数如何，人口总数都以都以x m为极限。为极限。(ii) 当当0 x 0)，它的作用是使纯，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时较充足，能

44、够提供更多的人生存，此时b 较小；反之较小；反之b 较大，故建立方程较大，故建立方程00)() 0,(),(xtxbabxaxdtdx(7)其解为)(0000)()(ttaebxabxaxtx(8)由(8)式，得xbxabxadtxd)(2(22(9)对对(7)(9)式进行分析，有式进行分析，有(1) 对任意的对任意的0,( )0,lim( ).tattx tx tb有且(2)0( )0, ( )aaxx tx txbb当时，递增;当时，( )0( )0, ( )ax txx tx tb；当时，递减。(3)为凹；时当)(, 0)(,20txtxbax 为凸。时，当)(, 0)(2txtxbax

45、ba 令令(7)式第一个方程的右边为式第一个方程的右边为0，得，得, 021baxx称它们是微分方程称它们是微分方程(7)的的平衡解平衡解。易知。易知,)(limbatxt.ba故又称故又称口开始的数量口开始的数量x0为多少，经过相当长的时间后为多少，经过相当长的时间后,是是(7)式的式的稳定平衡解稳定平衡解。可预测：不论人。可预测：不论人人口总数将稳定在人口总数将稳定在ba 参数参数 a 和和b 可以通过已知数据利用可以通过已知数据利用Matlab 中的中的非线性回归命令非线性回归命令nlinfit 求得。求得。例例8.放射性废料的处理放射性废料的处理 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性核

46、废美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性核废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为扔到水深为90 多米的海底。生态学家和科学家们表多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶

47、碰裂，需要计算一下能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少圆桶沉到海底时速度是多少? 已知圆桶质量为已知圆桶质量为239.46 kg，体积，体积0.2058m3，海水密度为海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于，如果圆桶速度小于12.2 m/s 就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数速度大小成正比例，其正比例常数k = 0.6。现要求。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：建立合理的数学模

48、型，解决如下实际问题：（1）判断这种处理废料的方法是否合理）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下，）一般情况下，v 大，大，k 也大；也大；v 小，小，k 也小。也小。当当v 很大时，常用很大时，常用kv 来代替来代替k ，那么这时速度与时，那么这时速度与时间关系如何间关系如何? 并求出当速度不超过并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶，圆桶的运动时间和位移应不超过多少的运动时间和位移应不超过多少? ( k 的值仍设为的值仍设为0.6)模型的建立与求解模型的建立与求解(1)问题一的模型问题一的模型 首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程

49、中受到本身的重力动过程中受到本身的重力G以及水的浮力以及水的浮力H 和水和水的阻力的阻力f 的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力受到的合力F 满足满足F = G H f （1）,22mgGdtsdmdtdvmmaF又因为,dtdskkvfghH可得到圆桶的可得到圆桶的位移位移和和速度速度分别分别满足下面的微分方程：满足下面的微分方程：dtdskghmgdtsdm22（2）kvghmgdtdvm（3）根据方程根据方程(2)，加上初始条件，加上初始条件, 000ttsdtds以及题设的初始数据，求得位移函数为以及题设的初始数据，求得位移函数为 s(t)

50、 = 171510.9924 + 429.7444t +171510.9924e 0.0025056 t (4)由方程由方程(3)，加上初始条件，加上初始条件求得速度函数为求得速度函数为, 00tvv(t) = 429.7444 429.7444e0.0025056t (5) 由由s(t) = 90m，求得圆筒到达水深，求得圆筒到达水深90m的海底需的海底需要时间要时间t =12.9994 s，再把它带入方程，再把它带入方程(5），求出圆），求出圆桶到达海底的速度为桶到达海底的速度为v =13.7720m/s。 显然此圆桶的速度已超过显然此圆桶的速度已超过12.2m/ s，可以得出这，可以得出

51、这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。已经禁止用这种方法来处理放射性废料。(2)问题二的模型问题二的模型 由题设条件，圆桶受到的阻力应改为由题设条件，圆桶受到的阻力应改为22)(dtdskkvf类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如下的微分方程下的微分方程:2kvghmgdtdvm(6)根据方程根据方程(6)，加上初始条件，加上初始条件, 00tv求出圆桶的速度为求出圆桶的速度为v(t) = 20.7303th(0.0519t)这时若速度要小于这时若速度要小

52、于12.2m/ s ，那么经计算可得圆，那么经计算可得圆桶的运动时间就不能超过桶的运动时间就不能超过T =13.0025s，利用位移，利用位移,)()(0TdttvTs计算得位移不能超过计算得位移不能超过84.8438m。 从这个模型，我们也可以得到原来处理核废料从这个模型，我们也可以得到原来处理核废料的方法是不合理的。的方法是不合理的。(3) 结果分析结果分析 由于在实际中由于在实际中 k 与与v 的关系很难确定，的关系很难确定， 所以上所以上面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如在水中与在空气中在水中与在空气中k 与与v 的关系也不同。如果假设的关系也不同。如果假设k 为常数的话，那么水中的这个