初中数学基本知识及常用结论

1、中学数学基本学问及常用结论1整数：正整数、零、负有理数整数留意：自然数包括零和 22正整数 实数分数：正分数、负分数，如：等7无理数：无限不循环小数：如2 、 、0.1010010001每两个1之间顺次多一个 0 等最小自然数零；最大负整数-1；最小正整数1；无理数有三种：与有关的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的数；循环小数分数相反数、倒数、肯定值、负倒数的概念2二次根式：a2aa；a2aa a0aa0ababa0，b0 ；a ba a b0, b03近似数：如：5.26 ×104 精确到 百位，它有 3 个有效数字；近似数5.26 精确到 百分 位5.26 与 5.260 的区

2、分4用代数式表示：三个连续偶数2（ n-1 ），2n，2（ n+1）；三个连续奇数2n-1，2n+1 ，2n+3 ；如一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，就此两位数为10a+b5幂的运算法就：am·an=am+n， amn=amn， abn=anbn，mnm-naa na ÷a =a（a0）， b n =b b n0 .336零指数和负整数指数：a0=1a 0，a-n=1（a0）例： 2-31 ，2=3= 27 =a n83287科学记数法：如：0.000102=1.0210-4； -23010000=-2.301 ×107 单项式：系数与次数8 有理式整式多

3、项式：几次几项式分式：有意义，无意义（无理式根式），值为 0.例：单项式3 a 3bc2 的系数是43，次数是 6；多项式412 x 2x x3 y 是四次四项式9 分式：当分子=0 且分母 0时，分式值 =0；当分母 0时，分式有意义；当分母 =0 时，分式无意义2例：对于分式xx4 ，当 x=-2 时值为 0；当 x2时有意义；当x =2 时无意义2【留意：解分式方程必需检验 】2bb 24ac210一元二次方程ax +bx+c=0 a0的求根公式： x=bc（=b2a-4ac ）0韦达定理：x1x2, x1x2aa（ 1）=b2-4ac 0方程有两个不相等的实数根；（ 2）=b2-4ac

4、 0方程有两个相等的实数根；（ 3）=b2-4ac 0方程无实数根；（4）=b2-4ac 0 方程有两实数根；（5）方程有实数根=b2-4ac 011 正比例函数：y=kx （ k 0）当 k 0 时，图象在第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当k 0 时，图象在其次、四象限，y 随 x 的增大而减小12 反比例函数：y=k （ 或 y=k xx1 或 xy=k ）（ k 0）当 k 0 时，图象在第一、三象限，且在每一象限内， y 随着 x 的增大而减小； 当 k 0 时，图象在其次、 四象限， 且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大13 一次函数： y=kx+b （ k 0）当 k

5、0 时， y 随 x 的增大而增大；当k 0 时， y 随 x 的增大而减小 【留意 1： k 相等且b 不等两条直线平行】k 0， b0k 0，b 0k0， b 0k 0， b0【留意 2：二元一次方程组y a1 xya2 xb1的解即为对应两直线的交点坐标】b2【留意 3：如直线ykxb 与 x 轴的夹角为，就有 tan| k |】【留意4 ：如点p1 x1 , y1 和点p2 x2 , y2 是直线ykxb 上的任意不同的两点，就有：ky1x1y2 】x2【留意 5：如直线l1 :yk1 xb1 与直线l2 : yk2 xb2 垂直： 就 k1k21；交于 y 轴上同一点，就bb ；交于

6、 x 轴上同一点，就k1k2 ； 】12b1b214 二次函数：（ 1）开口方向： 当 a 0 时，开口向上；当a 0 时，开口向下（ 2）顶点坐标： 如抛物线为ya xm 2k ，就顶点坐标为m，k ；（ 3）对称轴：直线xm；（ 4）最值： 如 a 0，就当 xm时， y 最小 k；如 a 0，就当 xm时， y 最大 k ；（ 5）增减性：（由开口方向和对称轴确定）例：对于函数y2 x1 22 ，其图象的顶点坐标为（1，2），当 x=1 时，函数有最小值 2，且在对称轴直线x的左侧，y 随 x 的增大而减小（或写成：当x 1 时， y 随 x 的增大而减小） （ 6）平移：看顶点【留意：

7、 左（ +）右（ -），上（ +）下（ -）】2例： y2 x3 22 的图象可由y2x2 先向 右平移个单位，再向上平移个单位得到 反之： y2x的图象可由y22 x32 先向 左平移个单位， 再向下平移个单位得到 （如题中是一般式，应先配方后再依据平移的法就解题）（ 7）与坐标轴的交点：（）与x 轴的交点：当y 0 时， 如方程ax 2bxc0 的两根分别为x1 、x2，就抛物线与x 轴的交点坐标为（x 1 ,0）、（ x2，0） b2-4ac 0图象与 x 轴有两个交点 b2-4ac 0图象与 x 轴只有一个交点 b2-4ac 0图象与 x 轴无交点 b2-4ac 0图象与 x 轴有交点

8、图象与坐标轴只有2 个交点b2-4ac 0 或 c0（）与y 轴的交点：当x 0 时， y c与 y 轴有且只有一个交点（0， c）（8） 当 x 为何值时， y 0,y = 0，y 0：（ 9）函数值恒大于0，恒小于0如函数yax2bxc 的值恒大于0，就 a 0，0 ，函如数yax2bxc 的值恒小于0，就 a 0，0 （ 10）依据抛物线图象判定a、b、 c、 b 24ac 、a+b+c、ab+c ， 2a+b， 2a-b 的符号：a：开口方向；b： 与 a“左同右异” ；c ：与 y 轴的交点；b 24 ac ： 与 x 轴的交点个数；a+b+c： 当 x 1 时 y 的值；a b+c

9、： 当 x 1 时 y 的值2a+b： 对称轴与1 比较；2a-b ： 对称轴与 -1 比较例：如图， a 0、b 0、c 0、 b 24ac 0、a+b+c0、 a b+c 0、2a+b 0、2a-b 0（ 11） 几个常用的小结论：2顶点在 x 轴上b -4ac=0 顶点在 y 轴上b=0顶点在原点b=c=0抛物线过原点c=0如抛物线与x 轴的交点横坐标为x ，x，就对称轴为直线xx1x2122（ 12） 直线与抛物线交点坐标：（即为相应方程组的解）（如通过图象求近似解，就要结合图象看）例：求直线y2x4 与抛物线yx 22x1的交点坐标解：由题意得：y2xyx24x1，解之得 :2x1y

10、11x25，2y214直线 y2 x4 与抛物线yx22x1的交点坐标为（-1， 2），（5， 14）一元二次方程ax 2bxc0 a 0的 两个根即为抛物线yax2bxc a 0与x 轴交点的横坐标，或抛物线yax 2 a 0与 直线 ybxc 交点的横坐标（ 13）抛物线的对称与旋转问题：（ 关键是抓住顶点坐标及开口方向）已知抛物线解析式为；ya xm 2k如关于 x 轴对称，就新抛物线解析式为； 如关于 y 轴对称，就新抛物线解析式为：如关于原点对称，就新抛物线解析式为：ya xmk ya xmk222ya xmk 如绕顶点旋转180°，就新抛物线解析式为：y15 n 边形：内

11、角和是（ n-2） ×180 °，外角和是360 °a xm 2k从一个顶点动身有（n-3）条对角线；n 边形一共有nn23 条对角线16、平行四边形：定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；性质： 两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角相等，邻角互补；对角线相互平分；是中心对称图形，不肯定是轴对称图形；判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；17、矩形： 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的

12、对角线相等；判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；18、菱形： 定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；性质： 菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，并且每条对角线平分一组对角；判定； 一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；19、正方形： 定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；性质： 正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角；判定： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

13、有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；20三角形及平行四边形面积公式：2s r；eaf； abafaead ；l【留意：边长为a 的正三角形面积等于21 锐角三角函数概念：如图，在直角三角形中3 a 2 ，菱形面积等于两对角线长乘积的一半】4对边a邻边b对边a正弦： sin；余弦：cos；正切：tan；斜边c斜边c邻边b 当 0 90o时 ，正弦、正切函数值随角度的增大而增大如：sin50 o sin49 o余弦函数值随角度的增大而减小如：cos50 ocos49 o特别角三角函数值三角函数有关性质：sin 2cos

14、21； tansin cos；如是锐角，就sincos1 ；如90，就 sincos， tantan122坡度：i=tanh l仰角与俯角：都是视线与水平线 的夹角（如右上图所示）a c23比例：比例的基本性质：b dadbc比例中项：如abb （或 b 2cac ），就称 b 为 a、c 的比例中项黄金分割： 如图，如 p 是线段 ab（长为 l）的黄金分割点， pa pb，就：pa2=pb·ab，其中较长线段pa=51 l，2较短线段pb=35 l【注：一条线段有两个黄金分割点】2aab如 abac,如 abac,ca 36b 36bcbcbc51abac2abac51bcbc2

15、24 统计初步： 平均数：xx1x2xn ， xx1 f1x2 f2xk fknf1f2f k11方差： s2xx 2n2x2x2xnx（指波动大小、离散程度）标准差s=方差 频率频数 极差 =最大值 - 最小值总数五个连续整数的方差为2，标准差为2 ；平均数、中位数、众数：平均数、中位数、众数与数据单位相同，样本容量无单位例： 3， 3，5， 5， 5， 6， 8， 8， 8， 9 的平均数是6，中位数是5.5，众数是5 和 8概率： p（a） = m （在 n 种结果中，显现大事a 的结果有m种）；n 0 p（ a） 1； p （ a） =0 时，是不行能大事；当 p（ a） =1 时，是

16、必定大事； p （a1） + p （a2） + p（ an） =1，其中大事a1、a2、an 是相互独立的 数据收集的过程： （ 1）明确调查问题， （ 2）确定调查对象， （ 3）挑选调查方法，（4）绽开调查，（ 5）记录结果，（ 6）得出结论调查的方式一般分两种: 普查和抽样调查25轴对称图形：如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、扇形、扇环、五角星、正多边形等中心对称图形：如：线段、矩形、菱形、正方形、圆、平行四边形、正偶数边形等；旋转对称图形：如：正五角星、电扇的风叶等以及全部的中心对称图形；【留意：中心对称图形肯定是旋转对称图形，但旋转对称图形不肯定

17、是中心对称图形】26三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半； 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半27梯形问题中的常见帮助线的添法：28 扇形、圆柱、圆锥：【 留意 ：圆锥底面周长=圆锥绽开后扇形的弧长即: 2 rl，即180r360 0 】lab29如图， rtabc 中，（ 1）斜边上的高h，c12 内切圆半径r ab2c ，c3 外接圆半径r=2（ 4） s abcadbd30 平 移 与 旋 转 ： 1图形的平移由移动的方向和距离所打算 2图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所打算，旋转时，必需留意旋转中心、旋转的角度和旋转的方向31已知三角形两边长为a、 b，就第三边c

18、的范畴为： a-b c a+b第三边上的中线x 的范畴为ab2xab 232相像三角形的周长比等于相像比， 面积比等于相像比的平方33如两个图形不仅相像，而且对应顶点的连线相交于一点, 像这样的相像叫位似【留意 ：如以坐标原点为位似中心，像与原图形的位似比为k ，就原图上的点（x,y ）在像上的对应点的坐标为（kx， ky ）或（ -kx ， -ky ）】.34 点与圆的位置关系： （ d 为点到圆心的距离，r 为圆半径）点在圆外d r点在圆上d=r点在圆内d r 35 直线与圆的位置关系： （ d 为圆心到直线的距离，r 为圆半径）（1）三种位置关系：相离d r相切d=r相交d r（2）证明直线是圆的切线的方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（添线方法：连结半径）圆心到直线的距离等于圆的半径，即证