平面向量中的三角形四心问题

1、平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中， 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。一、重心(barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理结论1 :若G为ABC所在平面内一点，则GAG是三角形的重心证明：设BC中点为D,则2GD GBGA GB GC 0 GA GB GCGA 2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心i结论2:1 右P为 AB

2、C所在平面内一点，则 PG (PA PB PC)3G是ABC的重心、一 rr -1 -证明：PG -(PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 3GA GB GC 0G是ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心o结论3:HB HCHC HA若H为ABC所在平面内一点，则HA HBH是ABC的垂心证明：HA HB HB HC HB >ItHB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H为三角形垂心结论4:- 222 2 22若H为 ABC所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC ABH是A

3、BC的垂心2 2- 2 p 22, 2, 2一 - -证明：由 HA BC HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2HB HC HC HA同理可证得，HA HB HB HC HC HA由结论3可知命题成立三、夕卜心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。结论5:若。是ABC所在平面内一点，则OA OB OC O是ABC的外心结论6:证明：由外心定义可知 命题成立若O是ABC所在平面内一点，则 *Ar«-R-ib-*(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC O是ABC的外

4、心7证明：(OA OB) BA (OA OB)(OA OB)F 2(Ob OC) cb Ob 2Oc(OC OA) AC, .,2 2 故 OA OB 2OCK 2OB.2 OC.2 OCOA2OB OC故O为ABC的外心四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7:若P为ABC所在平面内一点，则OP OAAB ACOBBABCOCCACBCB0)P是ABC的内心BCCA证明：记AB,AC方向上的单位向量分别 为e1,e2OP OA 1ABACAP1 (e1 e2)& e2)在AB, AC边夹角平分线上C的平分线上DA 即产iDB由平行四边形法则知, 即P在A平分线上 同理可得，P在B, 故P为ABC的内心结论8:若P是 ABC所在平面内一点，则 aPA bPB cPC 0 P是ABC的内心证明：不妨设PD PCaPA bPB cPC 0 a(PD DA) b(PD DB) cPC 0 (abc)PC(aDAbDB)0由于PC与D