幂函数与指数函数的区别

1、精品资料幕函数与指数函数的区别嘉函数的定义,一般地，我们把形如丫二人优的函数称为嘉函数（power如nction）土其中x是自变量，。,是常数的小 概念的理解：指出下列函数哪些是嘉函数，(1)T = Y(9)v = x 彳(2)】 二 ¥。v=l (4) V -v2n(6)t = Ot = x2 + 2y(8)i，=(丫+1广x23(10) T = W(11)T =/幕函数与指数函数的区别二.指数函数的概念：一般地.函数二门（力。且9关1）.，叫做指数函数，其中工是自变量,函数的定义域是R.- 结论:从它们的解析式来看有如下区别：/幕函数 底数是自变量,指数是常数0口 指数函数一指数

2、是自变量、底数是常数.1 .指数函数：自变量x在指数的位置上，y=aAx （a>0, a不等于1）性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0;当0<a<1时，函数是递减函数，且y>0.2 .幕函数：自变量x在底数的位置上，y=xAa （a不等于1）.a不等于1,但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握 a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3 .y=8A(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幕函数联

3、系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8Ax (a=8),当x=-0.7时, y的值；或者将其看成：幕函数 y=xA(-0.7) (a=-0.7),当x=8时，y的值。几种常见的幕函数图象：口幕函数的性质：根据图象，幕函数性质归纳如下：(1)所有的幕函数在(0, 十°°)都有定义，并且图象都过点 (1,1)；(2)当a>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,+若上是增函数.特别地，当a>1时，幕函数的图象下凸；当0<a<1时，幕函数的图象上凸;（3）当a<0时，幕函数的图象在区间（0,+若上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向

4、原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+oo时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。指出：止匕时y=x0=1；定义域为（一j 0）u。，+8）,特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1,图像是从点（0, 1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0, 1）要除外。思考讨论：（1）在幕函数y = xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幕函数y = xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？讲评：（1）在幕函数y = xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象 限内是增函数。对数函数的性质y = ioga x g > “ 4 h 1）当a&g

5、t;1时，x >0,即0和负数无对数；当x=1时，y=0 ;当 x >1 时，y>0;当 0Vx <1 时，y <0;在（0, +00）上是增函数.当0<a<1时，x >0,即0和负数没有对数;当x=1时，y=0 ;当 x >1 时，y < 0;当 0< x < 1 时，y >0;在（0, 十）上是减函数.函数y = 1叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理 数n的情况）.对数与对数函数学习目标1、理解对数概念；2、能进行对数式与指数式的互化；3、掌握对数的运算性质；4、培养应用意识、化归意识。

6、5、掌握对数函数的概念；6、掌握对数函数的图像的性质；7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；8、培养图形结合、化归等思想。知识要点：我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算一一对数运算。4 .对数的定义:如果ab=N（a>0，且a为），那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b （其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意：由于a>0,故N>0,即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题：- I 通常将以10为底的对数叫做常用对数，bgin病记作收M。以e为底的对 数叫做

7、自然对数，脸病记作1n加。5 .对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。指数式对数式指数对数幕真数u I1小logQN=bI|底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。6 .三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a>0, a月）前提下有：（I"。= 1 <=> logfl 1 = 0（2） a1 = <=> loga <3 = 1八N ）今产JM4.三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法

8、则。在a>0 , a力的前提下有:令 am=M , an=N ,贝U有 m=logaM , n=logaN ,=屋棺，m+n=loga(MN),即 logfl jZ+logAZM*t =>logaM-logaAT=log N ,令 am=M , an=N ,贝U有 m=logaM , n=logaN ,M_ .If1 财1 SZ 1 AZ 1 M阳= logs 7；logaJl/-loga27 = log W ,即N 0(。)-a = *log® M Tog 止 M 伪 ER),令 am=M ,则有 m=logaM ,- mn=nlog*; Mn=amn , mn=I%&

9、quot; (n 虫)， n Og 口" =1空 a 材5.两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0, a为，M>0的前提下有：（i）"令 logaM=b ,则有 ab=M , (ab)n=Mn ,即J 一，即"材 即:脸"。hgaM = - -;(c > 0/ H 1),令 logaM=b ,贝U有 ab=M ,贝有logJ =logM(c0,ca脸”脸m,即1",即嘀1当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结log a

10、 4 = - 0 )0, 1 H 1)0, B H 1)论：！：遥:一例题选讲：第一阶梯例1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式(1)log216=4 ；(2) log 27 = f3" 4)心尸=1694解：(1)24=1654=625 ;(3) .54=625 ,log5625=4., 1 1(4)7 3-3=-/.log3- = -2(5)(；厂=16/1呵16 = -2例2解下列各式中的x:(1)1% (也-1) = 72 (2)log4x = -)(3)2x=3 ;(4)log3(x-1)=log9(x+5).解:。油工-1 =也7 得M = - = /2 +L 72-

11、14 1 V4I、矿丁(3)x=log23.(4)将方程变形为logp(7-02 =logp(x + 5)(x-l)2 = x + 5汗-100工=4汗+ 5 >0例3求下列函数的定义域:(阶=1空式/-4工-51y=加5(4k力；m_ 在一4 丁.3+2x7)(4)尸。6-%思路分析:0且不求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于等于1是对数运算有意义的前提条件。解:(1)令 x2-4x-5>0 ,得(x-5)(x+1)>0 ,故定义域为x|x<-1 ,或 x>5log0,s(4x-3) > 0 = logoil 4x-3>0.,0&

12、lt;4x-3 <10解得，E4:定义域是x|Z<工41'尹-4 20,卜4-2或#2 2,由/十21)0,得八-3或或>1lg( x2 +2x - 3) "# h 一1 土 斯故所求定义域为犬T -后或7-JJx<T或工2 2).)16-4" >0 卜< 2,x + 1 >0 得卜 >7X + 1 11 H 0一所以所求定义域为x|-1<0 ,或0<X<2.< SPAN>第二阶梯例4比较下列各组数中两个值的大小(1)log23.4 , log28.5 ;(2)log0.31.8 , lo

13、g0.32.7 ;(3)loga5.1 , loga5.9(a>0 , a力)。思路分析：题中各组数可分另J看作对数函数 y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函 数值，可由对数函数的单调性确定。解：(1)因为底数2>1 ,所以对数函数y=log2x在(0, +3上是增函数，于是log23.4<LOG28.5 ;(2)因为底数为0.3,又0<0.3<1 ,所以对数函数y=log0.3x在(0, +3上是减函数,于是 log0.31.8>log0.32.7 ;(3)当a>1时，函数y=logax在(0, +°)上是增函数，所以

14、loga5.1<LOGa5.9 ;当0<Aax在(0, +3上是减函数，所以loga5.1>loga5.9 。说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小， 利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。例5若a>0, a有，x>0, y>0, x>y,下列式子中正确的个数是()(1)logax logay=loga(x+y)；(2)logax-logay=loga(x-y)； Y 晚自一= log j+bg忠产 A(4)logaxy=logax logay ；A、

15、0 B、1 C、2 D、3思路分析：对数的运算实质是把积、商、幕的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logax科oga x, logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运 算，因此都是错误的。答案：A例 6已知 lg2=0.3010 , lg3=0.4771，求 1g 抑 。思路分析：解本题的关键是设法将 日 的常用对数分解为2, 3的常用 对数代入计算。解:1g a/45 = -1g 45 = 1g = Lg9+lg10-lg2)2= l(21g3n-lg2)=33 + ；恁2= 0 4771 + 0.5-

16、0 1505=08266.第三阶梯例7若方程lg(ax) lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化 归为一元二次方程解的讨论问题。解：原方程化为(lgx+lga)(lga+21gx)=4。21g2x+31ga 1gx+1g2a-4=0 ,令t=1gx ,则原方程等价于2t2+3t1ga+1g2a-4=0 , (*)若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解均大于0,则 fA-(31g d)y -4,2包。-4)2 0,4 - ,陪 s > 0,触L解得。的.100说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一

17、致性。例8将y=2x的图像()A、先向左平行移动1个单位B、先向右平行移动1个单位C、先向上平行移动1个单位D、先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观 察，即可得Do解法2:与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将 y=2x的图像向下平移1个单位。解法3:由F姐式工"卜°所以(0,0)点在函物=她式工+ 1)的图像上,0)

18、点关于y =1对称的点还是口 =工 9 = Q本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过 (0, 0)点， 因此排除A、B、C,即得D。说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。例9已知log189=a , 18b=5 ,求log3645的值；(用含有a、b的式子 表示)思路分析：当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算(扩 展之前开方运算是乘方运算的逆运算)。因此，当一个题目中同时出现指数式和 对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。解：由 18b=5 ,得 b=log185 ,又 log189=a , log189+log18

19、5=log3645=a+b ,则log K 45% 45% 36a_ a+A _ q +b1 + log 13 2 2-log ie9 2-a说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的 教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用详细题解1.求值：（i）3H*（2）210g 5 25 + 3喻 64-81%山1lg5'lg20+g32解：要5出=3 . 2 有7。=2.晦 52 +3 logs 2fi- 8x 0=4+18- 0= 22.=Ig5（lg4+lg5）+ lga2 = 21g2 lg5

20、+lgJ5+lg32= 0g2+lg5）a = 1注意:lg2=log102 ,此为常用对数，lg22=（lg2）2 ,区别于电2° = 2a2。2.求值:帼3+*3（%2+喻2）（2）喻9-%32（3）口目5解:物；卜,嚏小二：":魄3 22 Jog口 3 log/923m ”麻义535)Qog3 2 +) = - log331og32 = -26241g 9 . 1g 32 _ 21g 3lg8初一右51g 2 _ 103te3-i一Mg5 5法一：92= 32= 3小3 = 1253251y *'=9帖即25注意:运用换底公式时，理论上换成以大于 0不为1任意

21、数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。（3）的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3.已知:log23=a, log37=b ,求:log4256=?*56臀窖警用管客log 3 42 log37 + log36 fog37 + l + log32a +i> 1 .4.已知:a2+b2=7ab , a>0, b>0求证一- = -(lg + lg5)Ui证明：: a2+b2=7ab，.二 a2+2ab+b2=9ab ,即(a+b)2=9ab , lg(a+b)2=lg(9ab),: a>0 , b>0

22、，.二 21g(a+b)=lg9+lga+lgb，.二 2lg(a+b)-lg3=lga+lgblg+即 二 ,5 .已知:2"=3劭=6* 求证:3ab-bc-2ac=0。证明:设2位刁二产=制清0),则：6a = log2 叱 3b 二卜灯 叫 2r = logfi m ,3ab =-log2 ffslog3 mbe + 2ac = (b +2a)c = (-log3 m 十一log 口= - (log m + log2 w) log63326“eg?加 4 Jog?冽 h i , 1 4vi mi=-(-7 + log 2 m)-=-log 2 W log 3(-+ DQog

23、5 6)6 log 3log 3 v v10g 2 3, log/log3 6, . 3ab=bc+2ac ,即 3ab-bc-2ac=0。70 .6 .求值:10目口7 gm ,（7电今崛7%，（_1）死71。，（！）-1=(22)研2 = 2.27运” ,（1）用另解:设2=m (m>0),1g 7皿+喊；）% =他测乙 . lg2=lgm ,2=m ,即图1Ig21g7 + lg-g-lgw . Ig2-lg7 + (jg7-l)(-lg2) = |gw课后练习:-102521(>57 9U史-jg60、”4FT】1. 。+ 他52.3*2 + *9十代班2% + 234.已

24、知:x log34=1 ,求：21r - 2T5.已知：lg2=a , lg3=b ,求:log512的值331.-22. - 217 27 2a+63.4. 35. J：对数函数的性质及应用概念与规律：1 .对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念， 图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2 .在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴;当0<A<1< SPAN>时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。(见图1)例1.求下列函数的定义域。布Mg 1(-1)-1(1) y= (2) y=ln(ax-k 2x) (

25、a>0 且 a 力，k R)卜-1>。fJogx-T> >02 4工-1<11吨1(工7工1彳二解：(1)因为【至，所以12,3 3所以函数的定义域为(1,2) U (2 , 2)。a(2)因为 ax-k 2x>0,所以(2)x>k。10,当k怎时，定义域为R;吗20,当k>0时，(i)若a>2,则函数定义域为(k k, +5%(ii)若0<A<2< SPAN>，且a力，则函数定义域为 ", k k)；(iii)若a=2,则当0<K<1< SPAN>时，函数定义域为 R;当k*时，此

26、时不 能构成函数，否则定义域为0。例2.若logm3.5>logn3.5(m , n>0,且m月，n为)，试比较 m , n的大小。解：(1)当m>1 , n>1时，,3.5>1,由对数函数性质：当底数和真数都大于1时, 对同一真数，底数大的对数值小，：n>m>1。(2)当 m>1 , 0<N<1< SPAN> 时，-.1ogm3.5>0 , logn3.5<0 , . . 0<N<1<M< SPAN>也是符合题意的解。(3)当 0<M<1< SPAN> ,

27、 0<N<1< SPAN> 时,3.5 > 1,由对数函数性质， 此时底数大的对数值小，故 0<M<N<1< SPAN> 。综上所述，m,n的大小关系有三种：1<M<N< SPAN>或0<N<1<M< SPAN> 或0<M<N<1< SPAN> 。例3.作出下列函数的图象： y=lgx , y=lg(-x) , y=-lgx y=lg|x| y=-1+lgx解:(1)如图2;(2)如图3;(3)如图4。例4.函数y=f(2x)的定义域为-1 , 1,求

28、y=f(log2x)的定义域。JJ提示:由-1&X&1,可得y=f(x)的定义域为G , 2,再由2 <log2x<2得y=f(log2x)的定义域为五,4。喻例5.求函数y= 2(-x2+2x+3)的值域和单调区间。啕解:设 t=-x2+2x+3 ,贝U t=-(x-1)2+4 , v y=5 t 为减函数，且 0<T<SPAN> <4,log i 4y>= =-2,即函数的值域为-2, +oo)0logi再由：函数 y= 2 (-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0 ,即-1<X<3< SPAN&g

29、t; 。logi. t=-x2+2x+3在(-1, 1)上递增而在1, 3)上递减，而y= 耳为减函数。啕函数y= 5(-x2+2x+3)的减区间为(-1 , 1),增区间为1, 3)。例 6.已知 f(x)=ax-a-x(其中 0<A<1)< SPAN> 。(1)求函数f(x)的反函数f-1(x); (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的 结论。y +旧十4解:(1)设 y=ax-a-x ,贝U a2x-yax-1=0 , = ax>0 ,解得 ax= 2,了十少+可 x=loga 2,X + J1 2 +4所求函数白反函数f-1(x)=loga 2

30、(xCR)。_ / + G +7：(2) /x R 且 f-1(-x)=loga 2 =loga x + J/+4 x + & + 4=loga( 2)-1=-f-1(x) o 函数 f-1(x)是奇函数。a(x2 -1)例7.已知f(logax)=久(7T) (a>0且awl),试判断函数f(x)的单调性。解:设t=logax(x CR+, tC R)。当 a>1 时，t=logax 为增函数，若 t1<T2,则0<X1<X2 ,函7) _虫-1)=强-冷)(斗+1) f(t1)-f(t2)=32-1)X2(a 7 个式。'I),V 0<X

31、1<X2 , a>1 , . f(t1)<F(T2) , f在 R 上为增函数，当0<A<1< SPAN>时，同理可得f在R上为增函数。.不论a>1或0<A<1< SPAN> , f(x)在R上总是增函数。例 8.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)。(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为 R,求实数a的取值范围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,

32、这是不等式中的常 刀规问题。f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察 此函数的图象的各种情况，如图5,我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是 Z >0"20LO解:(1)f(x)的定义域为R,即:关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,当a=0时，此不等式变为2x+1>0 ,其解集不是R;(a >0当aw0时，有3"一4。<0 O a>1。. a的取值范围为a>1。(2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数匕a=0

33、或(a >0IQ 0< a<1,. a的取值范围为0<a<1o例9.已知函数h(x)=2x(x CR),它的反函数记作g(x), A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a, a+4, a+8(a>1),记A ABC的面积为So(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明； 若S>2,求a的取值范围。解:(1)依题意有g(x)=log2x(x>0),并且 A、B、C三点的坐标分别为 A(a, log2a) , B(a+4, log2(a+4) , C(a+8 , log2

34、(a+8) (a>1),如图 6。A, C 中点 D 的纵坐标为 2log2a+log2(a+8)1S= 2 |BD| - 4 2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。0+4)2(2)把 S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8) =2log2 a(a + 8)16-2=2log2(1+ 琪 +心)。1625由于 a>1 时，a2+8a>9 , ；1<1+ < <Ba < 9 ,又函数 y=log2x 在(0, +00) 上是增函数，162525 0<2log2(1+

35、 J+&i)<2log2 9 ,即 0<S<2LOG2 9 。(3)S=f(a)在定义域(1 , +00)上是减函数，证明如下：任取a1, a2,使1<A1<A2<+ 00 ,则:16-2(1+)-(1+161 _ 1- -与Xq4 +&1 )=16(率函端+町)=16 .涌+眄竭+勉),由 a1>1 , a2>1 ,且 a2>a1 ,. a1+a2+8>0 , 4 +8a2>0 , 4 +8a1>0 ,a1-a2<0 ,16161<1+ <1 <1+1 <1+彳+电1 ,再由

36、函数y=log2x在(0,+8)上是增函数, 于是可得f(a1)>f(a2)S=f(a)在(1, +00)上是减函数。；iog2(>2 竺叱 >240俗 + 8) Q d a(a +8)由S>2,即得 卜 >1卜”，解之可得：1<A-4课外练习：1 .已知y=loga(2-ax)在0, 1上是x的减函数，则a的取值范围是, 21+ 82 .已知函数 f(x)=loga 2工-力(a>0 且 a w 1, b<0)。(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)指出f(x)的单调区间；(4)求函数f(x)的反函数。

37、3 .已知函数f(x)=lg(x+ 也+ : )-lg2 ,证明：(1) f(x)的图象关于原点对称； (2)f(x)为单调函数。4 .已知关于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在区间(3, 4)内,求实数a 的取值范围。1. . (1 , 2)b b2. (1)(-8,2 ) U ( 2 , +oo)(2)奇函数b ba>1时，f(x)在(-8,2), (- 2, +oo)上都是增函数，b b0<A<1< SPAN> 时，f(x)在(-8,2), (- 2 , +oo)上都是减函数。如+1)(4) f-1(x)= 2/T)(xw0, xCR)。3.

38、 (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。74. log2 4<A<1< SPAN> 。专题辅导对数与对数函数1 .本单元重、难点分析1)重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2)难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2 .典型例题选讲例 1.已知 log23=a, 3b=7,求 log1256 的值。讲解：先将3b=7转化为log37=b ,然后设法将log1256化成关于log23和 log37的表达式，即可求值。解法 1 V

39、 log23=a ,. 2a=3。又 3b=7 ,. 7=(2a)b=2ab ,故 56=23+ab。又 12=3 - 4=2a - 4=2a+2 。1解法 2log23=a ,log32=。，又 3b=7 ,log37=b ,从而log 3 56 = 1啊 7+1 啊 g = 1% 7+ 3* 2 =处+ 3lcg312 log5 3 +logs4 l + 21og32 + 2， a + 2log1256=a0lg3解法 3log23=也 2 =a , Ig3=alg2 ,又 3b=7 ,. lg7=blg3 , . lg7=ablg2。 lg 56.3电 2 +lg7 _ 31g 2 +

40、nblg 2 _ 3 +ab从而 log1256=也12 21g2 + lg3 2!g2 + alg2 2+以。说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2.已知loga3>logb3>0 ,贝U a, b, 1的大小关系是。讲解：由对数函数的性质可知，a>1, b>1,关键是判断a与b的大小，这 可以利用对数函数的单调性来解决。-L>-L解法 1由 loga3>logb3>0 Q>0 Q log3b>

41、;log3a>0 Qlog3b>log3a>log31 。y=log3x 是增函数，故 b>a>1。史与解法2由loga3>logb3>0 Q 他4 3上>0。V lg3>0 , . lga>0 , lgb>0 ,上式等价于k”>0 o lgb>lga>0 o lgb>lga>lg1。: y=lgx是增函数，故b>a>1 o解法3分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。loga3>logb3>0 ,a>1 , b>1 ,故 y=lo

42、gax 与 y=logbx 均为增函数。又. loga3>logb3>0 ,当x>1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。根据对数函数的图象分布规律，可知：b>a>1。说明：解法1利用了 logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用 单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。3 .容易产生的错误1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且aw 1, N>0 , b R)容易记 错。2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边 的对

43、数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的， 因为虽然10g2(-3)(-5)是存在的，但10g2(-3)与log2(-5)是不存在的。二是不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误的：1oga(M ± N)=1ogaM ± logaN ,1oga(M - N)=1ogaM logaN ,M ='N bg 用loga m 且 o3)解决对数函数y=logax (a>0且aw 1)的单调性问题时，忽视对底数 a的 讨论。4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制

44、约又受N的制约，两种因素 交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习 时参考以1为分界点，当a, N同侧时，logaN>0 ；当a, N异侧时，logaN<0反馈练习一、选择题1 .设a,b,c为正数，且3a=4b=6c ,则有（）。1 1 12 2 11 2 22 1 2_ = 一=一 + 一 = 一 + _ = _ +A、cab B、cab C、cab D、cab屈2第学图图log a 4 12.已知 2,那么a的取值范围是（）。0<a<-a>-<a<lA、2B、2C、2D、0<a<-2 或 a>13

45、.图2中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取 3 5 10 ,则 相应于C1, C2, C3, C4的a值依 次为（）。A、3 5 10B、3 10 5士欣3叔UC、 35 10D、310 5f（x） =logi |x2 -6x +514 .函数5的单调递增区间为（）。A、（-oo3B、（-引）或3, 5） C、3,+ 3 D、（1,3）或（5, +g5 .设偶函数f（x）=loga|x-b|在（-°?0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关 系是（）。A、f(a+1)=f(b+2) B、f(a+1)>f(b+2)C、f(a+1)<F(B+2)<

46、; SPAN> D、不能确定6 .设方程2x+x-3=0的根为a ,方程log2x+x-3=0的根为0 ,贝U a + 0的 值是()。A、1 B、2 C、3 D、6二、填空题：7 .已知函数y=loga(kx2+4kx+3),若函数的定义域为R,则k的取值范围是;若函数的值域为R,则k的取值范围是<f(x) =8.已知函数f (x + 1) (x<4)贝U f(log23)的值为9 .已知 a=0.33,b=30.3, c=log30.3, d=log0.33 ,则 a,b,c,d 的大小关系是解答题:1 -x叫)=设logac10 .设logac, logbc是方程x2-

47、3x+1=0的两根，求 修 的值。1)判断f(x)的单调性，并给出证明；2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明f-1(x)=0有唯一解；3)解关于x的不等式22 012.光线通过一块玻璃板，具强度要损失10%,把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为 a,通过x块玻璃板以后强度值1)试写出y关于x的函数关系式;12)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的 3以下答案：一、选择题1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C1 .设 3a=4b=6c=k,a=log3k, b=log4k, c=log6k,11121- = logkS c- = 10gk3_ = logk4&

48、; log3k ，同理 b 一log l<logaa2 .当a>1时，由 上a>l知 2 ,故a>l ；0<a<-,故 2阴4第61伊等用第loga7<logaa当 0<A<1< SPAN> 时，由 2 知 0<A< v：shapes="_x0000J1212” src="tgg1sx09.files/image076.gif"0< a<-综上知：a的取值范围是2或a>l。0<-<14 .因为 2,所以只求出y二|x2-6x+5的递减区间即可。f(x)的定义

49、域为(-勺)«1,5) «5,+3。作出 y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象。如图3所示，由图象即可知。5 .由f(x)是偶函数，得b=0;又因为f(x)在(-书)上是增函数，得0<A<1.<SPAN>所以0<A+1< SPAN> ,由f(x)在(0,+ «)上是减函数，得 f(a+1)>f(b+2)6 .将方程整理得2x=-x+3 , log2x=-x+3 ,如图4所示，可知a是指数函数 y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；0是对数函数y=log2x的图象 与直线y=-x+3的交点B的

50、横坐标。由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数， 它们的图象关于直线y=x对称，所以A,B两点也关于直线y=x对称，所以A( a邛), B( B , a )。注意至lj A( a , B )在直线 y=-x+3 上，所以有 B =- a +3,即 a + 0 =3。二、填空题：Of-) J 岛+)7 .44 o要使函数的定义域为R,只需对一切实数x, kx2+4kx+3>0恒成立，其充要卜0,攵住曰 l j4 = 16k2 721c<0,条件是k=0或I330<k<-0=解彳3k=0或4 ,故k的取值范围是 4 。要使函数的值域为R,只需kx2+4kx+3能取遍

51、一切正数，则k>Q3=叱-12co.，解得匕故k的取值范围是_8. 24。 .1<LOG23<2,3+log23>4,24 _f(3 + *3) =(/峪 3 =124又丁当 x<4 时,f(x+1)=f(x),f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=2 .9. b>a>d>c, , 0.3>0 , 3>0,. =0.33>0, b=30.3>0.3>1,0<0.3<1,c=log30.3<0, d=log0.33<0又. b=30.3>1,a

52、=0.33<1, b>ac = log 3 O.3< log? ! = T d = log q3 3 > log93 - = 而一一：，一一二 d>c.logc a + lo5cb = 3, logc a logc b = 1.ogc&T，cb = ±后。11.fl >0, J 1 + x1)由卜+2=°得-1<X<>所以f(x)的定义域为(-1,1).11 1一当 $ 1, l-xj+ -(+ 电设-1<X1<X2<1 ,则 f(x1)-f(x2)=叼+21 + $ 叼+21*与二 叼一町 十

53、(卜汉1)。+町)(%+ 2)(町+ 2)地正犷石 - ,又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,(1-x1)(1+x2)>0,(1+x1)(1-x2)>0,(1 一碎1+工2)>所以。+勺)。一句)1g31o町-町。所以 0 +瓦)(1 -工3,又易知 ( + 2)(町+2) f(x1)-f(x2)>0 ,即 f(x1)>f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是减函数。f(O) = l + lgl=- f-1(-)=0x =-2)因为 22 ,所以 2

54、，即f-i(x)=0有一个根 21沏假设f-1(x)=0还有一个根 2 ,则f-1(x0)=0 ,12 ,这与f(x)在(-1,1)内单调递减相矛盾。1x =-故 2是方程f-1(x)=0的唯一解。3)因为 2,所以 20 <-) < 1又f(x)在(-1,1)上单调递减，所以2笈E( 解得叫吗4212.1经过1块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=0.9a ;经过2块玻璃板后光线强度为：(1-10%) 0.9a=0.92a ;经过3块玻璃板后光线强度为：(1-10%) - 0.92a=0.93a ;经过x块玻璃板后光线强度为：0.9xa.所以，y=0.9xa (x N+).0.

55、9xa < - O,9X <12由题意可知：3 ,3,<lglX >3-.1042两边取常用对数得：xlg0.9 3 ,又lg0.9<>. 收。9故 xmin=11.答：需要11块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的3以下。检测题1、在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的范围是()A、a>5 或 a<2B、2<A<a<3 或 3<a<a<4< FONT>2馈的值是()B、C-2D、3、若 logab=logba(awb),贝 ab=(A、1B、2D、44、若 lg2=aA.1 +1lg3=

56、b ,则 log512 等于D.ai方程=:的解是()4 14工=_ 9C.x =3Zh = 96、已知姆飒飒卜Q那么一等于A-5-CD 32732加 3后7、y=（0.2）-x+1的反函数是（）A、y=log5x+1(x>0)x w 1)C、y=log5(x+1)(x>-1)B、y=log5x+1(x>0 且D、y=log5(x-1)(x>1)8、已知y=loga（2-ax）在0, 1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A、（0, 1）B、（1, 2） C、（0, 2）D、2, +oo）9、若 0<A<1 ,贝U LOG3（log3a）是（）A、正数B、负

57、数 C、零 D、无意义10、已知 a=log32 ,那么 log38-2log36 用 a 表示是()A.a-2B.5a-2C.3a-(1+a)2D.3a-a2-111、若 log2log0.5(log2x)=0 ,贝U x=o12、计算产产；1 + 10'36 + -lg82_11§5吨20 + 0§2产答案：15C A A C AD B D A610 C11212、(1)原式=1; (2)原式二1 。指数函数指数函数的一般形式为 y=aAx(a>0且不=1),从上面我们对于幕函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a