电动力学lecture(I)预备知识

1、 两个矢量的标量积是一个标量，定义为两个矢量的标量积是一个标量，定义为 在直角坐标系中，两个矢量的标积为在直角坐标系中，两个矢量的标积为cosabbazzyyxxbabababa 两个矢量的矢量积是一个矢量，大小定义为两个矢量的矢量积是一个矢量，大小定义为方向垂直两个矢量构成的平面，构成右手螺旋系。方向垂直两个矢量构成的平面，构成右手螺旋系。在直角坐标系中，两个矢量的矢积为在直角坐标系中，两个矢量的矢积为sinabcbazyxzyxbbbaaakjiba 两个矢量的矢量积不符合乘法的交换律。两个矢量的矢量积不符合乘法的交换律。 三个矢量的混合积是一个标量，其数值是以三个三个矢量的混合积是一个标

2、量，其数值是以三个矢量为基矢的平行六面体的体积。矢量为基矢的平行六面体的体积。 在直角坐标系中，三个矢量的混合积为在直角坐标系中，三个矢量的混合积为zyxzyxzyxcccbbbaaa)(cba 三个矢量的混合积符合下列交换律三个矢量的混合积符合下列交换律)()()()()()()(abccabbcacbabacacbcba 三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为cbabcaacbcba)()()()(或者写成或者写成acbbcacba)()()( 一个标量场一个标量场(x,y,z)的梯度在直角坐标系下定义为的梯度在直角坐标系下定义为在直角坐标系中，通常将

3、矢量算符写成在直角坐标系中，通常将矢量算符写成zyxeeezyxzyxzyxeee梯度与方向导数梯度与方向导数coscoscoszyxnncoscoscoszyxeeen梯度的方向梯度的方向：规定为指向：规定为指向 增加最快的方向增加最快的方向任一方向上的单位矢量：任一方向上的单位矢量： 在柱坐标系中，标量场在柱坐标系中，标量场(r, z)的梯度可以表示的梯度可以表示为为zreeezrr1 在球坐标系中，标量场在球坐标系中，标量场(r,)的梯度可以表示的梯度可以表示为为eeersin11rrr常见数量场有等温线常见数量场有等温线 、等高线等、等高线等 一个矢量场一个矢量场f (x,y,z)在某

4、点处的散度定义为在某点处的散度定义为 矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范围内某点矢量线的发散或收缩情况。围内某点矢量线的发散或收缩情况。VdSVSff0limzfyfxfzyx f 在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成 在柱坐标系中，矢量场在柱坐标系中，矢量场f (r, z)的散度可以表示为的散度可以表示为zffrrfrrzr1)(1f 在球坐标系中，矢量场在球坐标系中，矢量场f (r,)的散度可以表示为的散度可以表示为f

5、rfrfrrrrsin1)(sinsin1)(122fzyxfffzyxzyxeeef在直角坐标系中，矢量的旋度可以用行列式表示为在直角坐标系中，矢量的旋度可以用行列式表示为一个矢量场一个矢量场f f ( (x x, ,y y, ,z z) )在某点的旋度沿闭合曲线所在某点的旋度沿闭合曲线所围围平面法线方向上的分量被定义为平面法线方向上的分量被定义为SdllffS0lim)(n或或Sfflf)(lim)(lim00SSlSdn则有则有),cos()()(fffSn 在柱坐标系中，矢量场在柱坐标系中，矢量场f (r, z)的旋度可以表示为的旋度可以表示为zrrzrzfrrfrrrfzfzffre

6、eefr1)(11 在球坐标系中，矢量场在球坐标系中，矢量场f (r,)的旋度可以表示为的旋度可以表示为eeefrrrfrfrrrfrfrffr)(1)(sin11)(sinsin1 任何标量场任何标量场(x,y,z)的梯度均为无旋场，即的梯度均为无旋场，即反之，无旋场总可以表示为某一个标量场的梯度。反之，无旋场总可以表示为某一个标量场的梯度。即即如果如果00f则必有则必有f 任何矢量场任何矢量场f (x,y,z)的旋度均为无源场，即的旋度均为无源场，即反之，无源场总可以表示为某一个矢量场的旋度。反之，无源场总可以表示为某一个矢量场的旋度。即即如果如果0f0 B则必有则必有fB 对任何矢量场对任何矢量场f (x,y,z)，有，有这里，闭合曲面这里，闭合曲面S为积分体积为积分体积V的外表面，面积元的外表面，面积元dS的方向为垂直于曲面向外。的方向为垂直于曲面向外。VSdVdfSf 对任何矢量场对任何矢量场f (x,y,z)，有，有这里，闭合这里，闭合曲线曲线l 为积分面积为积分面积S 的的边界线。边界线。SlddSflf结论：结论：P(x,y,z)P(