2022年2021-高中数学必备知识点高中数学集合教案

1、2019-2020 年高中数学必备知识点高中数学集合教案1、 集合的概念和性质. 2、 集合的元素特征. 3、 有关数的集合 . 教学难、重点1、 集合 . 的概念 . 2、 集合 . 元素的三个特征. 教学过程 复习回顾回顾初中代数中涉及“集合”的提法. 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集 . 不等式的解集中涉及到“集合”. 新课讲授实例数组 1 ， 3，5，7. 到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 满足的全体实数3x-2 x+3. 所有直角三角形. 高一（ 3）班全体男同学. 所有绝对值等于6 的数的集合 . 所有绝对值小于3 的

2、整数的集合. 中国足球男队的队员. 参加 xx 年奥运会的中国代表团成员. 参与中国加入wto 谈判的中方成员. 通过以上实例. 教师指出：1、定义一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）. 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 上述集合的元素是什么？例的元素为1，3，5，7. 例的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 例的元素为满足不等式3x-2 x+3的实数 x. 例的元素为所有直角三角形. 例的元素为高一（3）班全体男同学. 例的元素为-6，6. 例的元素为-2，-1 ，0，1，2. 例的元素为中国足球男队的队员. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

3、 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -例的元素为参加xx 年奥运会的中国代表团成员. 例的元素为参与wto 谈判的中方成员. 请同学们举出三个例子，并指出其元素. 一般地来讲，用大括号表示集合. 例1， 3，5，7. 例到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 例3x -2 x+3的实解 . 例直角三角形 . 例高一（ 3）班全体男同学. 例-6，6. 例-2，-1 ，0，1，2. 例中国足球男队的

4、队员. 例参加 xx 年奥运会的中国代表团成员. 例参与中国加入wto 谈判的中方成员. 2、集合元素的三个特征问题及解释a=1， 3 问 3，5 哪个是 a的元素？a=所有素质好的人能否表示为集合？a=2， 2，4 表示是否准确？a=太平洋，大西洋，b=大西洋，太平洋 是否表示为同一集合？教师指导例3 是集合 a的元素， 5 不是集合a的元素 . 例由于素质好的人标准不可量化，故a不能表示为集合 . 例的表示不准确，应表示为a=2，4. 例的 a与 b表示同一集合，因其元素相同 . 由此可知，集合元素具有以下三个特征：确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义

5、是明确的. 互异性集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 无序性集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的 . 如上例元素与集合的关系有“属于”及“不属于”（也可表示为）两种. 如 a=2， 4，8，16 4a8a32a.请同学们考虑：a=2，4 ，b=1 ， 2，2 ，3，2 ，4 ，3 ，5. a与 b的关系如何？虽然 a本身是一个集合. 但相对 b来讲， a是 b的一个元素 . 故 ab.3、常见数集的专用符号n：非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）精品学习资料 可选择p d f - - -

6、 - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - -n*或 n+ ：正整数集（非负整数集n内排除 0 的集合）z：整数集（全体整数的集合）q ：有理数集（全体有理数的集合）r：实数集（全体实数的集合）请同学们熟记上述符号及其意义. 课堂练习：课本p5 1、（口答）说出下面集合中的元素. 大于 3 小于 11 的偶数 其元素为4，6，8，10 平方等于1 的数 其元素为 -1 ， 1 15 的正约

7、数 其元素为1，3，5，15 2、用符号或填空1n0n - 3n0.5 n2n1z0z - 3z0.5 z2z1q0q - 3q0.5 q2q1r0r - 3r0.5 r2r 课时小结：1、 集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等 . 2、 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要熟练运用之. 高中数学集合部分知识点一集合知识1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算

8、律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - -结合律 : 分配律 :. 0-1 律：求补律： acua=acua=u cuu= cu=u cuu(cua)=a 反演律： cu(a b)= (cua)(cub)cu(a b)= (cua)(cub)6. 有限集的元素个数定义：有限集a的元素

9、的个数叫做集合a的基数，记为card( a)规定 card() =0. 基本公式：(3) card(cua)= card(u)- card(a) （4）设有限集合a, card(a)=n,则a 的子集个数为；a 的真子集个数为；a 的非空子集个数为；a的非空真子集个数为 . （5）设有限集合a、b、c， card(a)=n，card(b)=m,m0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式ax2+box0(a0) 解的讨论 . 2. 分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 0( 或 0) 在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或

10、者，我说在上，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程的 2 个根精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - -5、熟悉命题的几种形式、( )()().可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、 均为真pqpq若为真，当且仅当、 至少有一个为真pqpq若为真，当且仅当为假pp命题的四种形式及其相互关系是什么？

11、（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件；若；则是的既非充分又非必要条件； 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：ab，是否注意到a中元素的任意性和b 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许b中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合a 中有 m个元素，集合b中有 n 个元素，则从a到 b的映射个数有 nm个。如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的

12、图象与直线交点的个数为个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数kkxrx,2,且精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料

13、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - -余切函数反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是0, ，函数yarctgx的定义域是 r ，值域是 . ，函数 yarcctgx的定义域是 r ，值域是(0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaf(xf xfx( )

14、( )()0义域是 _。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x 的范围，即为的定义域。例若函数的定义域为，则的定义域为。分析： 由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知：解之，得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=-2x+5 ，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

15、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1

16、x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=，的值域。222110112sin11|sin| | 1,1sin22sin12sin1(1cos )1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=

17、（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - -函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题

18、目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 p（x.y ）在圆 x2+y2=1 上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,r为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxr dxbyxbr例求函数 y=+的值域。解：原函数可化简得：y=x-2 +x+8 上式可以看成数轴上点p（x）到定点 a（2）， b（-8 ）间的距离之和。由上图可知：当点p在线段 ab上时，y=x-2 +x+8=ab =10 当点 p在线段 ab的延长线或反向延长线上时，y=x-2

19、 +x+8 ab =10 故所求函数的值域为：10 ，+）例求函数 y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成 x 轴上的点 p（x，0）到两定点 a（3，2），b（-2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点p为线段与x 轴的交点时，y=ab = = ，故所求函数的值域为 ，+）。例求函数 y= - 的值域解：将函数变形为：y= - 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共

20、23 页 - - - - - - - - -上式可看成定点a（3，2）到点 p （x，0 ）的距离与定点b（-2 ，1）到点 p（x，0）的距离之差。即：y=ap -bp由图可知：（1） 当点 p在 x 轴上且不是直线ab与 x 轴的交点时，如点p1，则构成 abp1，根据三角形两边之差小于第三边，有 ap 1- bp 1 ab = = 即：- y（2）当点 p 恰好为直线 ab与 x 轴的交点时，有 ap -bp= ab = 。综上所述，可知函数的值域为：（- ，-）。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使a，b 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点a，b在 x 轴的同侧。9

21、、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x (3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=的值域2320121112202222012时，时， =00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘

22、积变成常数）xxxxxxabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注

23、意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexf xx1( ).f xexxx( )21210 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(xx. 全国理 ) 函数的反函数是（ b ） ay=x22x+2(x1) by=x22x+2(x1) cy=x22x (x=1. 排除选项 c,d.现在看值域。

24、原函数至于为 y=1, 则反函数定义域为x=1, 答案为 b. 我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y，x）关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 2

25、3 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - -设的定义域为，值域为，则yf(x)acaabcf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解_.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y, 不就是原函数的x 吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵

26、。自己想想，不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2) 之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1 的关系(2) 参照图象：若函数 f(x)的图象关于点 (a ，b) 对称，函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线xa 对称，则函数f(x) 在关于点 (a ，0) 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数 ) 是同向变化的函

27、数 f(x)与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。如果函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与在 f(x)的同号区间里反向变化。若函数 u(x) ，x ， 与函数yf(u) ，u ()，() 或u (), () 同向变化，则在 ， 上复合函数yf(x) 是递增的；若函数u(x

28、),x， 与函数yf(u) ，u ()，() 或u ()，() 反向变化，则在 ， 上复合函数yf(x ) 是递减的。（同增异减）若函数 yf(x)是严格单调的，则其反函数xf1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都 是 正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

29、- - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - -（设，由则uxxux22002且，如图：log12211uuxu o 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x()( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013( )值是（） a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 （令 fxxaxaxa( )333302由已知在，上为增函数，则

30、，即f xaa( )1313a 的最大值为3）17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

31、- - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - -（ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221（为奇函数，又，f xxrrf( )( )000即，）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx( )()()( )1101241求在，上的解析式。f x( )11（令，则，xxfxxx1001241()又为奇函数，f xf xxxxx( )( )241214又，）ff xxxxxxxx( )( )()0024110024101判断函数奇偶性的方法一、 定

32、义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件 . 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. . 二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性 . 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、 复合函数奇偶性f(g) g(x) fg(xf(x)+g(xf(x)*g(x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页

33、- - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - -18. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期ttf xtf xf x0( )( )函数， t 是一个周期。）如：若，则f xaf x( )（答：是周期函数，为的一个周期）f xtaf x( )( )2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfx

34、tfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如， f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令

35、则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？) ) ) 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - -f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y ）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联

36、想点（ x,y ）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1联想点（ x,y ）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于直线对称2联想点（ x,y ）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y ）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最

37、多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：( )|( ) |x( )(|)yf xfxf xfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x o 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - -

38、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - -(k0) y=b o (a,b)o x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 ) （ ）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxako ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxa

39、bcxxxxxxaaa根的关系：2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxx xf xa xxxxhx h xh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m ，n上的最值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

40、- - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - -2max(),min( )2max( ),min()2224min,maxmax(),( )4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大(只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程

41、的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0) o k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )00mn22()0( )0mn() ( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有 根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19

42、页，共 23 页 - - - - - - - - -y o x kky y=ax(a1) (0a1) 1 o 1 x (0a0 且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（）f（x）f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x）tgx-f（xy）f（x）cotx-f（xy）例 1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0 ，f( 1) 2 求f(x) 在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数f（x）在 r上是增函数（注意到f（x2）f （x2x1）x1 f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域. 例 2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）

43、 2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5 ，求不等式f（a22a2）0,xn；f（ab）f（a）f（b），a、bn；f（2）4. 同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由 . 分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明. 例 6设f（x）是定义在 （0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围 . 分析：（ 1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7设函数yf（x）的反函数是yg（x）. 如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n） . 例 8 已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2） ；f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）；当 0 x2a时，f（x） 0. 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（ 0，4a）上，f