机械振动基础课件

1、NCEPU2021-11-22机械振动基础1第第13章章 机械振动基础机械振动基础13-1 机械振动及其描述机械振动及其描述13-2 单自由度系统振动单自由度系统振动13-3 两自由度系统振动两自由度系统振动13-4 机械振动的工程应用机械振动的工程应用2021-11-22机械振动基础2 13.1.1机械振动现象 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。研究振动的目的研究振动

2、的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 振动的利弊振动的利弊：所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。13-1 机械振动及其描述2021-11-22机械振动基础3振动系统模型振动系统模型1. 力学模型力学模型连续系统连续系统实际工程结构的物理参数，例如板壳、梁、轴等的质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点抽象出的模型中的系统称为连续系统连续系统或分布参数系统分布参数系统。离散系统离散系统绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，需要通过适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统离散系统。 2021

3、-11-22机械振动基础42. 自由度自由度自由度数自由度数是指完全描述该系统一切部位在任何瞬时的位置所需要的独立坐标独立坐标的数目。力学模型力学模型离散系统离散系统连续系统连续系统自由度数自由度数多自由度系统多自由度系统无限自由度系统无限自由度系统参数特征参数特征集中参数系统集中参数系统分布参数系统分布参数系统数学工具数学工具常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程最简模型最简模型单自由度系统单自由度系统一维振动一维振动2021-11-22机械振动基础53. 振动系统：振动系统：按运动微分方程的形式分振动振动/ /系统分类系统分类运动方程运动方程线性叠加原理线性叠加原理线性振动线性振动/ /

4、系统系统线性微分方程成立非线性振动非线性振动/ /系统系统 非线性微分方程不成立2021-11-22机械振动基础64. 振动分类振动分类 按激励的有无和性质分振动分类振动分类定义定义特点与例子特点与例子固有振动固有振动无激励时系统所有可能运动的无激励时系统所有可能运动的集合集合不是现实的振动，不是现实的振动，仅反映系统关于振动仅反映系统关于振动的固有属性。的固有属性。自由振动自由振动激励消失后系统所作的振动激励消失后系统所作的振动是现实的振动。是现实的振动。强迫振动强迫振动系统在外界激励下所作的振动系统在外界激励下所作的振动随机振动随机振动系统在非确定性的随机激励下系统在非确定性的随机激励下所

5、作的振动。所作的振动。包括物理参数具有随机性质的系统发生包括物理参数具有随机性质的系统发生的振动。行驶在公路上的汽车的振动。的振动。行驶在公路上的汽车的振动。自激振动自激振动系统受到由其自身运动诱发出系统受到由其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的来的激励作用而产生和维持的振动。振动。系统包含有补充能量的能源系统包含有补充能量的能源。演奏提琴。演奏提琴所发出的乐声所发出的乐声, , 是琴弦作自激振动所致。是琴弦作自激振动所致。车床切削加工时在某种切削用量下所发车床切削加工时在某种切削用量下所发生的激烈的高频振动生的激烈的高频振动, , 架空电缆在风作架空电缆在风作用下所发生的与风向垂直的上

6、下振动以用下所发生的与风向垂直的上下振动以及飞机机翼的颤振等。及飞机机翼的颤振等。参数振动参数振动激励因素以系统本身的参数随激励因素以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。时间变化的形式出现的振动。秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，的激励以摆长随时间变化的形式出现，摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。2021-11-22机械振动基础7(2)Af 振幅圆频率初相角13.1.2. 13.1.2. 简谐振动简谐振动 1. 表示 2. 三要素( )sin()x tAt2021-11-22机械振动基础

7、812Tf3. 周期与频率周期与频率周期 T 频率 f12fT单位单位：T：s(秒) f：Hz(赫兹) ：rad/s2021-11-22机械振动基础94. 位移、速度与加速度位移、速度与加速度位移 速度加速度( )sin()xx tAt( )cos()sin()2dx txAtdtAt&2222( )sin()sin()d x txAtdtAt & &2021-11-22机械振动基础105. 位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系(1) 位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。(2) 速度超前位移90，加速度超前位移180。(3) 加速度与位移关系： 加速度与位移

8、成正比加速度与位移成正比, 方向相反方向相反, 指向平衡位置。指向平衡位置。2xx & &2021-11-22机械振动基础11旋转矢量旋转矢量简谐振动表示简谐振动表示位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系xReImoMtMReImoAReImoAAA26. 旋转矢量表示旋转矢量表示( )sin()x tAt2021-11-22机械振动基础12()jtzAe( )Im( )sin()x tzAt( )jj tj tz tAeeAejAAe旋转矢量旋转矢量复振幅，包含振幅和相位信息复振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtjAt7.复数表示2021-11-22机械振动

9、基础13二. 简谐振动合成1. 两个同频率振动合成两个同频率振动合成111( )sin()x tAt12( )( )( )sin()x tx tx tAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222( )sin()x tAt同频振动合成ReIm x(t)oAA11A222021-11-22机械振动基础14111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数11221222mmnTmTnTn设12( )( )(

10、)x tx tx t12112212()()()()()( )( )( )x tTx tTx tTx tmTx tnTx tx tx t2021-11-22机械振动基础15111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数T为x1(t)和x2(t)合成之周期。结论结论： 两不同频振动合成不再为简谐振动。但频率比为有理数时，可合成为周期振动。合成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。2021-11-22机械振动基础16( )2cossin2( )sinx tAttA tt1212AAA

11、若，设(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数结论:无公共周期，合成振动为非周期振动。无公共周期，合成振动为非周期振动。111222( )sin( )sinx tAtx tAt21212 cossin22Att121122( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt21212令：，( )2 cos2A tAt2021-11-22机械振动基础17(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数“拍拍”: 频率为频率为的变幅振动，振幅在的变幅振动，振幅在02A之间之间缓慢周期变化。包络线为缓慢周期变化。包络线为A(t)，拍频为，拍频为 。2A124212tx(t)o2021-11-22机械

12、振动基础18x(t)stl0kABxomgFm 物块质量 k 弹簧刚度l0 弹簧自然长度st弹簧静变形静止时0,0stXmgk运动时0,()stXmgkxmx& &0mxkx& &20nxx常系数二阶齐次微分方程& &13.2.1 单自由度系统自由振动 1.1.单自由度弹簧质量系统模型单自由度弹簧质量系统模型13-2 单自由度系统振动固有圆频率式中mkn2021-11-22机械振动基础192.单自由度固有振动方程求解2200100( )sin()nnnxAxx tAtxtgx&20nxx& &振动方程：00cossinnn

13、nxxxtt&解0102nxCxC&000,txxxx&初始条件：积分常数、通解：2121,sincosCCtCtCxnn无阻尼自由振动周期kmTn22固有频率mkTfnn2121nnf22021-11-22机械振动基础203.单自由度系统自由振动初始条件：( )( )txxxx&时， 初始位移：初始速度：( )cos()sin(),nnnxx txttt&时刻后自由振动解：对于t=0初始条件：000(0)(0)txxxx&，00( )cossin,0nnnxx txtt t&2210000nnxxAxtgx&，2021-11-2

14、2机械振动基础214.固有频率计算 静变形法stmgkQstngmk2021-11-22机械振动基础2213.2.213.2.2计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法: :原理与方法原理与方法对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。方法方法设系统任一瞬时的动能及势能分别为设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及及U，由机械能守恒，由机械能守恒有有0)(UTdtd将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，将系统能量的具体

15、表达式代入，便可导出自由振动微分方程，并求出系统固有频率。并求出系统固有频率。原理原理2021-11-22机械振动基础23例例1 1 弹簧质点系统弹簧质点系统 212Tmx&2021kxkxdxUx动能动能势能势能2211()()022()0ddTUmxkxdtdtmxkx x& &0mxkx& &由于速度不可能恒为零由于速度不可能恒为零k2021-11-22机械振动基础242maxmax12Tmx&2maxmax21kxU在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在最大位移处，系统动能为零，势能最大在最大位移处，系

16、统动能为零，势能最大maxmaxUTmaxmaxnxx&固有圆频率mkn能量守恒能量守恒考虑两个特殊位置上系统能量：考虑两个特殊位置上系统能量： 由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振动，所以最大速度与最大位移有关系：动，所以最大速度与最大位移有关系：2021-11-22机械振动基础25例例2 位移计位移计k2 BWk1bcO质量块重质量块重W,摇臂摇臂AB绕支点绕支点O的转动惯量为的转动惯量为I,两弹两弹簧刚度为簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。求系统固有频率。解22max11()22mmxWTxIgb&2221ma

17、x)(2121mmxbckxkU最大动能最大动能最大势能最大势能maxmaxUT22221/)/(bIgWkbckn能量守恒能量守恒22221)(21mxkbck 222)(21nmxbIgW设质块最大速度和最大位移为mmxx&，2/mmxbkcxb摇臂最大角速度弹簧最大伸长量&2021-11-22机械振动基础26例3 圆柱体微振动圆柱体微振动重重W半径半径r的圆柱体在半径为的圆柱体在半径为R圆柱面内作无圆柱面内作无滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微振动的微分方程和固有频率。振动的微分方程和固有频率。解 设角坐标，系统势能为2/)()cos

18、1)(2rRWrRWUA为瞬心，质心线速度为设圆柱体转动角速度为&()() /cvRrrRrr&系统动能222222121 1()()2 23()4ATIWWRrrrggrWRrg&23()()02203()23()nWRrW RrggRrgRr& & &2021-11-22机械振动基础27弹簧串并联1.并联弹簧变形相等21kkKe等效弹簧刚度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212021-11-22机械振动基础282.串联弹簧受力相等2121kkkkKe等效弹簧刚度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF2021-11-22机械振动基础29 13.2.4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H力幅； 激振力的圆频率