2022年4与圆有关的计算教师2

1、毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 1 of 19 与圆有关的计算 2015 年中考解决方案学生姓名：上课时间：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 2 of 19 内容基本要求略高要求较高要求弧长了解圆与圆的位置关系会计算弧长圆锥会求圆锥的侧面

2、积和全面积一、弧长公式由于圆周角课看做360 的圆弧，而 360 的圆心角所对的弧长就是圆周长2cr， 所以在半径为r的圆中， n 的圆心角所对的弧长l 的计算公式：180n rl【注意】1.圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2.公式中的三个未知量ln r， ， 只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式为：180lnr二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度常见的多边形滚动问题有：1.正三角形沿水平线翻滚；2.正方形沿水平线翻滚；3.各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；4.各内角不相等的多边形沿水平线翻滚aab

3、cabc中考说明与圆有关的计算自检自查必考点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 3 of 19 aabcabc三、扇形1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形2.扇形的周长：在半径为r，圆心角的度数为n 的扇形中，周长的公式为：22180n

4、 rcrlr3.扇形面积的计算公式：2360n rs12slr（ l 为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算四、弓形面积的计算方法1.弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形2.弓形的面积计算： 弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算根据弧的情况不同，有以下三种情况：aboabooba当弓形所含的弧是劣弧时，abcsss弓形扇形当弓形所含的弧是优弧时，+abcsss弓形扇形当弓形所含的弧是半圆时，12ss弓形圆精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 -

5、- - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 4 of 19 五、圆锥1.圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形这条直线叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线2.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母

6、线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线l ，扇形的弧长就是圆锥的底面周长2r ，因此圆锥的侧面积公式为：srl3.圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积公式为：2srlr【注意】圆锥面积计算公式中的rl， 与扇形面积计算公式中的r l， 表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆4.推论：已知扇形的半径为r，圆心角为n， 扇形围成的圆锥的底面半径为r ，则可以三者之间的关系为：360nrr精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

7、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 5 of 19 模块一求弧长【例 1】圆心角为60 ，且半径为3 的扇形的弧长为（）a2bc32d3【答案】 b 【解析】本题考查了弧长公式：l=180nr，其中 n 为弧所对的圆心角的度数，r为圆的半径【例 2】在半径为3 的圆中， 150的圆心角所对的弧长为（）a154b152c54d52【答案】 d 【例 3】如图，papb是oe的切线，切点是ab、 ，已知60p，3oa，那么aob所对弧的长度为（

8、）pbaoa6b5c3d2【答案】 d 【例 4】如图，六边形abcdef是正六边形，曲线1234567fk k k k k k k 叫做 “ 正六边形的渐开线” ，其中?1fk ，?12k k ，?23k k ，?34k k，?45k k，?56k k， 的圆心依次按点abcdef， ， 循环，其弧长分别记为123456llllll，当1ab时，2011l等于（）k7k6k5k4k3k2k1fedcbaa20112b20113c20114d20116【答案】1l60118023260221803l中考必做题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

9、 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 6 of 19 360331803l460441803l按照这种规律可以得到：3nnl201120113l故选b【例 5】如图，abc 是正三角形，曲线cdef 叫做正三角形的渐开线，其中弧cd 、弧de、弧ef的圆心依次是abc、 、，如果1ab，那么曲线cdef 的长是 _【答案】4【解析】弧cd 的长是120 121

10、803，弧de的长是：120 241803，弧ef的长是：120 32180，则曲线 cdef 的长是：24 + +2 433+2 =4【例 6】75 的圆心角所对的弧长是2.5 cm ，则此弧所在圆的半径是_cm【答案】由题意得：圆的半径51802r756 cm【例 7】如图，已知rtabc中，90abc30bac，2 3abcm，将abc绕顶点c顺时针旋转至a b c的位置，且abc、三点在同一条直线上，则点a过的最短路线的长度是（）cmbacbaa8 b 4 3c323d83【答案】弧长 =120481803故选d精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

11、 - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 7 of 19 【例 8】如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）a 2 cmb 4 cmc 8 cmd16 cm【答案】 b 【解析】圆心移动的距离等于圆的周长【例 9】在rtabc中，90c，4bccm，3accm把abc绕点a顺时针旋转90后，得到11ab c，如图所示，

12、则点b所走过的路径长为（）a 5 2b54cm c52cm d5cm 【答案】在rtabc中，2222435abbcac，?2259053603602rnabcm 故点 b 所经过的路程为52cm 故选c【例 10】 如图，把rtabc的斜边ab放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次， 使它转到a b c的位置 若13bcac，则顶点a运动到点a的位置时， 点a两次运动所经过的路程（计算结果不取近似值）【答案】在rtabc中，13bcac，260abcba，?120241803aa，?90331802a a点 a 经过的路线的长是4332【例 11】 矩形 abcd 的边86abad，现将

13、矩形abcd放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111a b c d时(如图所示)，则顶点a所经过的路线长是_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 8 of 19 【答案】12【例 12】 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置

14、，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 米，半圆的直径为4 米，则圆心o 所经过的路线长是_米【答案】2 +50【解析】解：由图形可知，圆心先向前走12o o的长度即14圆的周长，然后沿着弧23o o旋转14圆的周长，最后向右平移50 米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，设半圆形的弧长为l，则半圆形的弧长(9090) 2=2180l，故圆心 o 所经过的路线长2 50（） 米【例 13】 如图，正六边形硬纸片abcdef 在桌面上由图1 的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后到图

15、2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心o 运动的路程为 _cm【答案】4【解析】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60 ，正六边形的中心o 运动的路程正六边形的边长为2cm，运动的路径为：60 22=1803；从图 1 运动到图2 共重复进行了六次上述的移动，正六边形的中心o 运动的路程26 =43cm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共

16、19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 9 of 19 模块二：求面积【例 14】 如 图 ， 点 abc、 、在 直 径 为2 3的oe上 ，45bac， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于_（结果中保留 ）ocbaocba【答案】连接oboc，45bac，90boc，oe的直径为2 3，3boco，290331333360422obcobcss扇形，33=42obcobcsss阴影扇形【例 15】 钟面上的分针的长为1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是（）a12b14c18d【答案】

17、a 【例 16】 如图，在等腰直角三角形abc中，90c，点d为ab的中点，已知扇形ead和扇形fbd的圆心分别为点a、点b，且2ac，则图中阴影部分的面积为_（结果不取近似值）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 10 of 19 febdac【答案】 902bcaccac

18、，2 2ab，点d为ab的中点，2adbd，=abcfbdsss阴影扇形24521222236022故答案为：22【例 17】 如图，等腰rtabc的直角边长为4，以a为圆心，直角边ab为半径作弧bc1，交斜边ac于点1c，11c bab于点1b，设弧1bc，11c b，1b b围成的阴影部分的面积为1s，然后以a为圆心，1ab为半径作弧22b c，交斜边ac于点2c，22c bab于点2b，设弧122221b cc bb b，围成的阴影部分的面积为2s，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积3s =_s3s2s1c3c2c1b3b2b1bca【答案】根据题意，得14acab2122acab

19、322acab32ab阴影部分的面积345412136022s【例 18】 如图，在半径为5 ，圆心角等于45的扇形aob内部作一个正方形cdef，使点c在oa上，点de、在ob上，点f在 ?ab上，则阴影部分的面积为_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 11 of 1

20、9 ofedcba【答案】5382【解析】连结of，由勾股定理可计算得正方形cdef的边长为1，则正方形cdef的面积为1，等腰直角三角形cod的面积为12，扇形aob的面积为215588，所以阴影部分的面积为5382【例19】 将abc绕 点b逆 时 针 旋 转 到a bc使abc、 、在 同 一 直 线 上 ， 若90bca，4cm30abbac，则图中阴影部分面积为_cm2acbca【答案】3【解析】此题需要把bc所在的圆补充完整，设它与线段ab的交点为d，与a b的交点为e从而看出整个阴影部分可以割补成扇形aba的面积 -扇形bde的面积即221(42 )34【例 20】 如图，正方形

21、abcd 中，分别以bd、为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）a ab 2 ac12ad 3a【答案】 a 【例 21】 如图，一根5m 长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊a（羊只能在草地上活动），那么小羊a在草地上的最大活动区域面积是？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - -

22、 - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 12 of 19 =【答案】27712m【解析】解：大扇形的圆心角是90 度，半径是5，所以面积290 25253604sm；小扇形的圆心角是18012060 ，半径是1m，则面积2601 m3606s，小羊a在草地上的最大活动区域面积27712m模块三：与圆锥有关的计算【例 22】 如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为_cm2（结果保留 ）【答案】纸杯的侧面积为515=75cm2故答案为75 【例 23】 一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开

23、后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于_cm2（结果保留 ）【答案】圆锥的侧面积=45=20cm2【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积= 底面半径 母线长，把相应数值代入即可求解【例 24】 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高ao=8 米，底面半径ob=6 米，则圆锥的侧面积是 _平方米（结果保留 ）abo精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

24、 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 13 of 19 【解析】根据勾股定理求得bo，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法12slr ，求得答案即可【答案】 8ao米，6ob米， 10ab米，圆锥的底面周长=2612米，11=12106022slr扇形（平方米）故答案为：60【例 25】 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1则这个圆锥形零件的全面积是_ 【答案】 底面半径为1圆锥的底面面积为 ，侧面积为rl= 14=4，全面积为+4=5，全面积为5 故答案为： 5 【例 26

25、】 将一块含30 角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3 3 ，则圆锥的侧面积是 _【答案】 圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30 的直角三角形中，底面半径是3，母线长是6，底面圆周长是6 ，圆锥的侧面积是166182故本题答案为：18 【例 27】 在 rt abc 中， c=90 ， ac=3 ，bc=4 ，将 abc 绕边 ac 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是_【答案】由已知得，母线长l=5，半径 r 为 4，圆锥的侧面积是5420slr故答案为20 【例 28】 如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个

26、圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_cm【答案】 把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，扇形的弧长为：1283r扇形的弧长等于圆锥的底面周长，2r=8，解得： r=4cm，故答案为： 4 【例 29】 若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6 的扇形，则这个圆锥的底面半经是_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - -

27、 -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 14 of 19 【答案】 16=2r解得 r=8故答案为： 8【例 30】 若用半径为12，圆心角为120 的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长 _【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长【答案】设这个圆锥的底面半径是r，则有122120180r解得： r=4故答案为： 4【例 31】 将一个半径为6cm，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 _度【答案】 将一个半径为6cm，母线长为15c

28、m 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，圆锥侧面积公式为：s=rl= 615=90cm2，扇形面积为21590360n，解得：144n，侧面展开图的圆心角是144故答案为： 144【例 32】 一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是_度【答案】设母线长为r，底面半径为r，底面周长 =2r，底面面积 =r2 ，侧面面积 =rr ，侧面积是底面积的2 倍，r=2r，设圆心角为n，有2180n rrr ，n=180 【例 33】 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_度【答案】圆锥的底面周长=4 ，=4 ，解得 n=120 【例 34】 将一

29、个底面半径为5cm，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是_度【答案】圆锥的底面周长=25=10，=10 ，n=150 【例 35】 用半径为 9cm，圆心角为120 的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为_cm【答案】扇形弧长为：l=1209180=6 cm ，设圆锥底面半径为r，则： 2r=6，所以， r=3cm，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

30、 14 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 15 of 19 因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，设圆锥高为h，所以2229hr，即：2h =72， h=6 2 cm，所以圆锥的高为6 2 cm故答案为：6 2 cm【例 36】 问题探究：（1）如图所示是一个半径为32，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，ab是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从a点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达b点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线ab剪开， 它的侧面展开图如图中的矩形abb a，则蚂蚁爬行的最短路程即

31、为线段ab的长）；（2）如图所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，pa是它的一条母线，一只蚂蚁从a点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到a点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从a点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线pa上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程【答案】解：（1）3232bb，5ab即蚂蚁爬行的最短路程为5（2）连接aa，则aa的长为蚂蚁爬行的最短路程，设1r为圆锥底面半径，2r为侧面展开图（扇形）的半径，则12234rr，由题意得：212180n rr60n，paa是等边三角形，最短路程为4aapa（3）如图 所示是圆锥的侧面展开图，过a作 acpa

32、 于点 c，则线段 ac 的长就是蚂蚁爬行的最短路程精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 16 of 19 3?46042 32acpa sinapasin，蚂蚁爬行的最短距离为2 3 【例 37】 铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方

33、形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二 （两个方案的图中， 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由【答案】解：连接ace，为两圆的切点，（1）理由如下：扇形的弧长116 82l，圆锥底面周长2 r，圆的半径14o ecm过1o作1o fcd，1co f为等腰直角三角形，111224

34、 2o co fo ecm ，又16aeabcm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为111644 22042aeeoo ccm204216 2，方案一不可行；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 17 of 19 （2）方案二可行求解过程如下：设圆锥底面圆的

35、半径为rcm，圆锥的母线长为rcm，在一块边长为16cm 的正方形纸片上，正方形对角线长为16 2 cm，故所求圆锥的母线长为320 212823cm，底面圆的半径为80 23223cm【题 1】如图，有一长为4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向 )，木板上的顶点 a 的位置变化为aa1 a2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿a2c 与桌面成 30 角，则点a 翻滚到 a2位置时，共走过的路径长为( ) a10cm b3. 5 cm c4. 5 cm d2. 5 cm a1a2abc【答案】 b 【解析】a点走过的路径长要归结到a点在两次旋转过程中

36、所走过的路线aa1可看做是a点绕着点b顺时针旋转90得到，此段弧长即为半径为5cm 的圆周长的14，而 a1a2的路线可看做是a1点绕着点 c 顺时针旋转60得到， 此时弧长即为半径为3cm 的圆周长的16两段弧长加在一起即为本题最终答案【题 2】如图，在rtabc中，90baco，6bc，点d为bc中点，将abd绕点a按逆时针方向旋转 120o得到ab d，则点d在旋转过程中所经过的路程为_(结果保留) 【答案】2【解析】根据题意在图中标注已知条件，点d在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧这条弧所在的圆的半径为ad12bc =3，圆心角 =旋转度数 =120，带入公式180nlr ，即可得出结果2【题 3】一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120 ，则扇形的面积是_cm2【答案】3b a c d db课后作业精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版page 18 of 19