留数及留数定理课件

1、留数及留数定理PPT课件1用用Laurent级数的展开式计算积分级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 1( )2Cf z dzic 1.1.分析分析f(z)f(z)的解析性，确定解析环域；的解析性，确定解析环域；2.2.在包含积分路径在包含积分路径C C的解析环域里将函数的解析环域里将函数展成展成LaurentLaurent级数级数13.求求c因此，我们可以根据求出系数因此，我们可以根据求出系数c-1-1 的值来计算积分。的值来计算积分。11( )2Cf z dzci 即即 留数及留数定理PPT课件2 留数和留数定理留数和留数定理一一、

2、留数的定义和计算、留数的定义和计算二、二、 留数定理留数定理三三* *、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数留数及留数定理PPT课件3C0z)(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;0z.的某去心邻的某去心邻域域0zRzz 00包含包含0z的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C.一一 、留数的定义和计算、留数的定义和计算定义定义 0Res ( ),.f zz记记 Czzfd)(12i( )f z0z在在的的留数留数(Residue),为为0000若若f(z)f(z)在在z z 的的去去心心邻邻域域0|z-z | R0|z-z | R内内解解析析则则称称留数及留数定理PPT课件

3、401010)()()(czzczzczfnn 内的内的Laurent级数级数:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(001C0z.1( )d2Cf zzi ：计算留数计算留数留数及留数定理PPT课件512 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(积分积分0(高阶导数公式高阶导数公式)i 2110()czz Laurent级级数数中中负负幂幂项项的的系系数数0 ( (柯西积分定理柯西积分定理) )留数及留数定理PPT课件6),(Res0zzf )125( 11( )d2Cf zzci 即即110()c

4、zz 在在为中心的圆环为中心的圆环的的留数留数为为的系数。的系数。( )f z0z( )f z在在0z注注域内的域内的Laurent级数中负幂项级数中负幂项留数及留数定理PPT课件7计算留数的一般公式计算留数的一般公式（1 1）若）若z0为函数为函数f(z)的可去奇点，则它在点的可去奇点，则它在点z0的留的留数为零数为零。 当当z0 0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若的孤立奇点时，若g()为偶函为偶函数，则数，则f(z)在点在点z0的去心邻域内的去心邻域内Laurent级数只含级数只含 z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知，从而得知 0),(Re

5、0 zzfs 成成Laurent级数求级数求.1 c(2)(2)如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, , )(zf)(zf展开展开则需将则需将留数及留数定理PPT课件8规则规则1 1o o 若若z0为为f(z)的一阶极点，则有的一阶极点，则有 )()(lim),(Re000zfzzzzfszz (3)(3)如果如果0z为为的极点的极点, , 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf 规则规则2o 若若z0为为f(z) 的的n阶极点，则对任意整数阶极点，则对任意整数 有有mn0m-1m00m-1zz1dRes f(z),z=lim(z-z ) f(z)(m-1)!dz0( )()nzzz1(n

6、-100)0nC(z )Res f(z), (z)=dz2i(z - zz=(n-1)! 由由于于f(z)=f(z)=，由由高高阶阶导导数数定定理理可可得得留数及留数定理PPT课件9规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP设设,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf 且有且有.)()(),(Res000zQzPzzf )425( 留数及留数定理PPT课件100z所所以以为为 的一级极点的一级极点,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0zzzQz

7、QzPzz .)()(00zQzP 0z所所以以的一级零点的一级零点,为为)(zQ)(1zQ0z的一级极点的一级极点，为为0)(0 zP证证0)(,0)(00 zQzQ因因为为留数及留数定理PPT课件11 典型例题典型例题例例1 求求nzzezf )(在在0 z的留数（的留数（n为正整数）。为正整数）。解解阶阶极极点点，的的是是因因为为nzfz)(0 0 ,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(1zne(0)1Res,0=z(n-1)!(n-1)!或或 留数及留数定理PPT课件12例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留

8、数的留数.分析分析,0)0()0()0( PPP.0)0( P0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点由规则由规则2得得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦.留数及留数定理PPT课件13如果利用如果利用Laurent展开式求系数展开式求系数c-1较方便：较方便： ! 5! 31sin5366zzzzzzzz.! 510 ,sinRes16 czzz,!5!313 zz解解留数及留数定理PPT课件14说明说明: : 0z如如 为为m级极点，当级极点，当m 较大而导数又难以计算时较大而导数又

9、难以计算时, 可直接展开可直接展开Laurent级数求级数求c-1来计算留数。来计算留数。 66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.! 51 2. 在在应用应用规则规则2 2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高能够使得计算方便级数高能够使得计算方便. 6 m 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般要将为了计算方便一般要将m因为有时把因为有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取留数及留数定理PPT课件15例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1)(1) , ;, ;51

10、)1()(zezfz 00 z解解： 是函数是函数 的一级零点的一级零点, ,00 z1 ze 又是函数又是函数 的五级零点的五级零点. .5z于是它是于是它是 的四级极点的四级极点, ,)(1zf 2! 41)1(lim! 410),(Res4401 zzedzdzf可用规则可用规则 计算其留数计算其留数, ,其中其中n=4, ,为了计算简便应为了计算简便应当取其中当取其中m=5, ,这时有这时有 留数及留数定理PPT课件16另解另解： 在点在点 的去心邻域的去心邻域 内的内的Laurent级数为级数为 )(1zf00 z z0! 410),(Res11 czf例例3 3求下列函数在指定点处

11、的留数求下列函数在指定点处的留数(1)(1) , ;51)1()(zezfz 00 z 1! 6! 5! 4! 3! 21116543255zzzzzzzzez,! 6! 51! 41! 31! 211234 zzzzz其中其中n=4的项的系数为的项的系数为c-1=1/4!, , 从而也有从而也有 留数及留数定理PPT课件17(2)(2) , ; )1sin()(4zzf 00 z解解： 在点在点 的去心邻域的去心邻域 内的内的Laurent级数为级数为 00 z)(4zf z0 012)!12()1(1sinnnnnzz显然显然 为它的本性奇点为它的本性奇点, ,其中其中 的项的系的项的系数

12、为数为 , ,于是得于是得00 z0 n11 c10 ,1sinRes1 cz留数及留数定理PPT课件18注注留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C 积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数. .留数定理留数定理点点的一条正向简单闭曲线的一条正向简单闭曲线, . ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf奇点奇点z1,z2,zn外处处解析外处处解析, , 函数函数 f(z) 在区域在区域 D 内除内除有限有限个孤立个孤立C 是是D 内包围诸奇内包围诸奇那末那末二、留数定理二、留数定理留数及留数定理PPT课件19证明证明 首先在首先在C的内

13、部，环绕的内部，环绕f(z)的每个奇点的每个奇点zk作互作互不相交且互不包含的正向小圆周不相交且互不包含的正向小圆周Ck 根据积分路径的复闭路定理得根据积分路径的复闭路定理得 CnkCkdzzfdzzf1)()(由定义由定义1， 12kCf z dzi Re( ),ks f zz 所证等式成立。所证等式成立。留数及留数定理PPT课件20例例1 1 计算积分计算积分,d)1(2zzzeCz C为正向圆周为正向圆周:. 2 z解解0z2z=0eRes f(z),=(z -1)=1 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz被积函数被积函数 的奇点的奇点 （一（一级极点

14、）级极点）和和 （二级极点）都在圆（二级极点）都在圆 的的内部内部, ,并且并且2( ) (1) zf zez z 0 z1 z2 z留数及留数定理PPT课件21 zezzzddlim121)1(limzzezz , 0 zzzeCzd)1(2 所所以以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 留数及留数定理PPT课件22例例2 2. . 计算积分计算积分sin222I(1)zzedzzz 解解： 在圆在圆 的内部有一的内部有一个二级极点个二级极点 和两个一级极点和两个一级极点 , )1()(22sin2 zzezfz2 z0 ziz 于是利用留数的计算规则于是利用留

15、数的计算规则 和和 得得 2 11)12(cos1lim )1(lim0),(Res22sin02sin02 zzzzezezfzzzz 2i)1() i(lim i),(Res1ish22sini2ezzezzfzz 留数及留数定理PPT课件231ish-sin(-i)2sini22sini22i -2i1)(lim )1() i(lim i),(Reseeizzezzezzfzzzz 最后由留数定理得其积分值为最后由留数定理得其积分值为ish1-ish11I21()2i 21sin(sh1)ieei 留数及留数定理PPT课件24例例3 3 计算积分计算积分 Czzz,d14C为正向圆周为正

16、向圆周: :.2 z解解 被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2 z的内部的内部 , , 所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3 3 ,414)()(23zzzzQzP 留数及留数定理PPT课件25 Czzzd14.0414141412 i例例4 4 计算积分计算积分 Cdzzzzz,)3)(1(23C 为正向圆周为正向圆周 :.2 z解解 除除, 0 z)3)(1(2)(3 zzzzzf被积函数被积函数点外无其他奇点点外无其他奇点，3,13 z在圆外在圆外。留数及留数

17、定理PPT课件261),(Res0),(Res2zfzfi 所以所以 Cdzzzzz)3)(1(23)3)(1(2)1(lim1),(Res31 zzzzzzfz21 )3)(1(2lim210),(Res0 zzzzfz3111lim410 zzz)3(1)1(1lim21330 zzz2714 iidzzzzzC27)212714(2)3)(1(23 留数及留数定理PPT课件27 )(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;的某去心邻的某去心邻域域 rz内的任一条正向简单闭曲线内的任一条正向简单闭曲线C:一一 、函数在无穷远点的留数及计算、函数在无穷远点的留数及计算定义定义 Res (

18、),.f z记记( )dCf zz12i( )f z 在在的的留数留数(Residue)为为若若f f( (z z) )在在 的的去去心心邻邻域域r r | |z z| | r-1= -C留数及留数定理PPT课件280n nk kk=1k=1Resf(z),z +Resf(z),Resf(z),z +Resf(z), 函数函数 f(z) 在扩充复平面上在扩充复平面上 只有只有有限有限个孤立个孤立 推广的留数定理推广的留数定理奇点，设为奇点，设为，那末，那末12nz ,z ,z , 留数及留数定理PPT课件29定理定理 若函数若函数f(z)在环域在环域 内解析，则对包内解析，则对包含圆含圆|z|

19、=R的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C有有 2111Re( ),( )Re( ),02Cs f zf z dzsfi zR证明证明： 设设f(z)在所给环域在所给环域 内的内的Laurent级数级数为为 由由Laurent级数展开定理，则有级数展开定理，则有 Cdzzfic)(211 zR zcczczczczf10112233)(留数及留数定理PPT课件30定理定理 若函数若函数f(z)在环域在环域 内解析，则对包内解析，则对包含圆含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C有有211( )2Re( ),0Cf z dzisf zR作变换作变换 ， 在点在点 的去

20、心邻域的去心邻域 内解析，且在该邻域内有内解析，且在该邻域内有z1 1f0 R10 110112233)1( cccccf20112321)1( ccccf 0 ,11Re22)(21 fsiicdzzfC留数及留数定理PPT课件31例例5 5 计算下列积分计算下列积分, ,其中积分闭路取正向其中积分闭路取正向. .(1)(1) 265111cosIzdzzzz解解：被积函数：被积函数 在环域在环域 内解析内解析, ,它的它的7 7个个奇点都在圆周奇点都在圆周 的内部的内部, ,用用定理定理1 1计算非常困难计算非常困难, ,可是该积分满足定理可是该积分满足定理2 2的条件的条件, ,利用利用

21、定理定理2 2得得)(1zf z12 z i21coslimi2 ,0)1(cosiRes2 ,01)1(iRes2)(I60622111 zfdzzf留数及留数定理PPT课件32例例5 5 计算下列积分计算下列积分, ,其中积分闭路取正向其中积分闭路取正向. .(2)(2) 1221sinIzzzdz解：被积函数解：被积函数 在环域内在环域内 解析解析, ,其奇其奇点为点为 , , ,其中其中 , ,显然这些奇显然这些奇点有无穷多个点有无穷多个, ,它们都在圆周它们都在圆周 的内部的内部, ,不能用定不能用定理理1 1计算其积分值计算其积分值; ;可是该积分函数满足定理可是该积分函数满足定理2 2条件条件, ,于是由定理于是由定理2 2得得)(2zf z 100 z)(1 kzk , 2, 1 k1 zi2cos0i2,0sin1iRes2 ,01)1(iRes2)(I12222 zfdzzf留数及留数定理PPT课件331 1 若若z0为函数为函数f(z) 的可去奇点（负幂项的项数为零的可去奇点（负幂项的项数为零个）个）, 则它在点则它在点z0的留数为零。的留数为零。 0),(Re0 zzfs留数的计算留数的计算3 若若z0为为f(z) 的一级极点，则有的一级极点，则有 )()(lim),(Re000zfzzzzfszz 4 若若