全国初中数学联赛试题及答案

1、设关于X的二防程(尸-6k + 8* + (2F - 64* + *二4的两根都 是整数，求漪足条件的所有实数上的值.第一试试题答案一,(C)； 2% (A) ; 3、 (C) j 4> (D) ? 5、 (D) j 6、 (5)。二 1s 20； 2% 150； 3、4e 4、,亚第二试部分试题答案I左= 6,3,当二、 3 D2 0 0 6年全国初中将联赛决赛试卷2 0 0 7年全国初中数学联赛决赛试卷200七全国初中数学联合竞赛第一试答案选择题L答案；E提不；3 一、已知1+/ = 1，对于满足条件0M无£1的一切实数 不等式2. D.提不工AA以（1 一 »（

2、1- 丁一白灯一方式方一 xbx） > 0恒成立.当乘积加>取最小值时，求43的值.第二试（A）3. C提小：卡片二、如图, 件的有4x2=8种_AB = BC.4. B»提不工卜Bt5.B,提示：将价6. D,提小；y,/同理1圆。与圆0相交于月田两点，3c为圆O的切续，点C在ISO上，且（1）证明：点。在圆Q的圆周上.（2）设的面积为求同口的的半径r的最小 «八三、设Q为质数，3为正整数，且 JVV/ / 9（21+占尸=509（41+ 51话）求白，8的值. |/K - V = 4/B二，填空题L -2,提示：附：一,（B、c卷）已知/ +*二11对于满足

3、条件x+y =5 ,a_2. 一，提不：2不等式？-他=。恒成立.当乘积鼻3取最小值时，3.提示：囱三（C卷）设s为质数，由为正整数，且满足1»30的一切实数对（x,y）, 求凡方的值.4. L tl<5i _'1b-c = 2 的有6个，依此：L 夕200七全国初中数学联合竞赛第二试答案2009年全国初中数学联合竞赛试题 第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设2 =万-1 ,贝U 3a3+I2a2-6a -12 =（）求以© +（:）的值.A. 24B. 25C. 4" + 10D. 4"+122 .在AABC中，最大角/

4、 A是最小角/ C的两倍，且 AB = 7, AC = 8,则BC = （ ）A, 772B. 10 C. 7105D, 7733 .用x表示不大于x的最大整数，则方程x2-2x-3=0的解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（A-134C-25.如图，在矩形 ABCD中，AB=3, BC = 2, 自点A作半圆的切线 AE,则sin/CBE=（）D.47BC为直径在矩形内作半圆,A-TB-3D-噜D6.设n是大于1909的正整数，使得.1909为完全平方数的n的

5、个数是（）2009- nA. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1 =0的两个非负实根,则（a2 -1）（b2 -1）的最小值是:2. 设D是 ABC的边AB上的一点，作 DE/BC交AC于点E,作DF/AC交BC于 点F,已知 ADE、 DBF的面积分别为 m和n ,则四边形 DECF的面积为_3.如果实数a、b 满足条件 a2 +b2 =1 , |1 -2a +b | +2a +1 = b2 -a2 ,则 a + b =4.已知a、b是正整数，且满足2（J15+J£）是整数，则这样的有

6、序数对（a, b）共有对.第二试 （A）（本题满分20分）已知二次函数y = x2+bx + c （c<0）的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设4ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：。P与y轴的另一个交点为定点. 如果AB恰好为。P的直径且Saabc=2 ,求b和c的化Ii、I2分别是ADC、4BDC 的内心，AC = 3, BC=4,求 IiL.（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件a+b+c = 32b c-a c a-b a b-c 1 心+=一bc ca ab 4证明：以.a,、b,

7、、c为三边长可构成一个直角三角形.第二试 （B）（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.（本题满分 25分）已知 ABC中，/ACB = 90°, AB边上的高线 CH与4ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求M证：EF/AB.第一试:ACCBDB ;- 3, 2闹，-1, - 7第二试(A)三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题才 2009年全国初中数学联合竞赛试题 N、解：（1）易求得点 C 的坐标为（0,c）,设 A（X1,0）, B（X2,0）,则 XI+X2 = -b,设。P与y轴的另一个交点为D,由于AB

8、、CD是。P的两条相交弦，它们的交点为点O,所以 OAX OB=OCX OD,则 OD =OA>"OB ="x =W=1.OC|c| |c因为c<0,所以点C在y轴的负半轴上，从而点 D在y轴的正半轴上，所以点 D为定 点，它的坐标为（0, 1） .（2）因为AB LCD,如果AB恰好为。P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的 坐标为（0,-1）,即c = -1 .又 AB =反-x2 =（、+x2）2 -4x1x2 = "（-b）2 -4c = Jb2 +4 ,所以 Saabc =工 AB OC = Ijb2 +4 1=2,解得 b =垃M .2

9、2、解：作 IiELAB 于 E, LFAB 于 F.B又 CDXAB,由射影定理可得2AD"5'故BD = AB-AD=,在直角三角形 ABC 中，AC = 3, BC = 4, AB = JAC2+BC2cd = Jac2_ad2 =12 .513因为IiE为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以Ii E =-(AD + CD-AC)=-.连接DIi、D" 则DIi、DI2分别是/ ADC和/BDC的平分线，所以/ IDC = /Ii DA = / IzDC=/ IzDB = 45° ,故/ 1。2 = 903_所以 IiDLD, DI1IE53.2si

10、n . ADI i - sin 45 - 5同理，可求得 I2F = 4, DI2=42.所以 Ii I2 = JDI2 + DI 2 =V2 .55三、证法 i 将两式相乘，得 (ca +a-b +bc)(a + b + c) = 8, bc ca ab222222即(b c) -a (c a) -b (a b) -c = 8bccaab'222222即(b/c) -a _4 + (C/a) -b _4 + (a+b) -c =0 ,bccaab'即(b-c)2 -a2 , (c-a)2 -b2 . (a b)2-c2 = 0bccaab'(b c a)(b-c -a

11、) (c -a b)(c a b) (a b c)(a b c)g |j 十O = 0 ,bccaab即(b_c_a!a(b -c-a) - b(c - a +b) +c(a +b+c) =0 ,abc即(b-c'a)2aba2 -b2 +c2=0,即(上一c+a)c2 (a b)2 = 0,abcabc即(b_c_a!(c + a -b)(c-a +b) =0 ,abc所以 b-c+a=0M£c+a-b = 0M£c-a + b = 0, 1Pb+a = cM£c + a = bM£c + b = a.因此，以.a-b-c为三边长可构成一个直角

12、三角形.证法2结合式，由式可得32二2£+32：也+32二2c =1, bc ca ab 4o o o 1变形，得 1024-2(a2 +b2 +c2) = abc4又由式得(a+b+c)2 =1024 ,即 a2+b2 +c2 =1024 -2(ab+bc+ca),1 一代入式，得 1024210242(ab+bc+ ca) = abc ,即 abc =16(ab+ bc + ca)4096 . 4=-4096 +256x32-163 = 0 ,所以 a =16 或 b =16 或 c =16.结合式可得 b+a = cM£c+a=bM£c + b = a.因此，以、.a,、b-c为三边长可构成一个直角三角形.第二试 (B)一、解答与(A)卷第一题相同.二、解：因为BN是/ABC的平分线，所以/ ABN =/CBN .又因为CHXAB,所以 NCQN =NB