全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第四讲常见的初等函数二次函数

1、百度文库-让每个人平等地提升自我兰州一中数学组/ 第四讲常见的初等函数、二次函数、知识、方法、技能常函数y=c,备函数y=x (a C Q),指数函数y=ax,对数函数 y=logax,三角函数(y=sinx, y=cosx , y=tanx 等), 反三角函数 ( y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等) 是数学中最为基本的 函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性 质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问

2、题的结果绘制帚函数y=xa=, m、n是互质的整数)草图的n(1)根据指数E的大小判断函数图象在A象限的情形如图图I141(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况一般步骤是：I-1-4-1.叫11.产V0)>""*0 1Mm,n均为奇数时，y=x"为奇函数，图:m为偶数，n为奇数时Y=x "为偶函2 m为奇数，n为偶数时，y=x。既不/ 图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有B称之为初等函数.其中二次函数和形如象在一、三象限内关于原点中心对称取,图象在一、二象限内关于y轴对称.?奇函数也不是偶函数，函尹i第一象限有艮次加减乘除运算或

3、复合而得到的，我们k y=x+ 的分式函数在高考和竞赛中具有尤为 x9重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方/k法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数 y=x+ 的性质求x出一些分式函数的值域./赛题精讲135例1 3个哥函数y=x2,y x”Dy= x6的图象如图I 1 42：试写出各个函数的图用I -142【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了 .只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取 x=2试一试.135【略解】当x=2时，3个函数值分别为22,24,26 .因为y= 2t为

4、增函数，13 5 ,所以22 24 26.而图中，x=2时，图象的对应点纵坐标最大，图象的对应24 61 35点纵坐标最小，所以y= x2,y x4和y x6对应的图象依次为，.【评述】一般地，当“越大大时，哥函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象2(3.14)与(4) log23 与.2)3;例2 比较下列各题中两个值的大小: 33(1)(匹 5 与(<3) 5 ；2 43y x 5的两(1与()5【思路分析】(1)中两数有相同的指数一3-,故可将这两者看做同一函数5个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小【略解】（1

5、）因为yx 5是（一8, 0）上的减函数，又 <2%；3,所以3(-2) 5因为3、3) 52x3(,0）上的减函数又3.142，所以（3.14户2尸;(3)因为y=）上的增函数，又（2 243,2 ，所以(35(4)因为y=iog2x 是(0,+ °°）上的增函数，又3<,所以 10g23V.例3求下列函数的定义域:(1) ylog a log a log ax(a 0,a 1);(2) y39 (1)xlog0.13x 232x 1(1)据题意有 logalogax>0.a>1时，上式等价于logax>1,即x>a.0<a<

6、;1时，上式等价于 0<logax<1,即1>x>a .所以，当a>1时，函数定义域为（a,+8）；而当0<a<1时，函数定义域为a,1).3 9,1.x()0,(1)x3即33x 2 八3xlog0.10.0 一（2）据题意有1932x1.(1)x 33x 22x 13x 22(养0,2x 11 0.解得x232或x312,3.所以函数定义域为（1 ,3.x 3.【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数 对数符号后不等号是否改向例4解方程：a与1的大小，从而确定去掉指数、(1) (3 2j2)x (3 2y2)x 34;x6(2) xx144.(

7、x 0)【略解】(1)因为(3 242)(3 2<2)1,所以原方程等价于1X(3 2.2)x 34.(3 2,2)x令(3 2松* t,则t 1 34. t 17 12/2.x 2.6666xx 144(xx)6 1446即产1446(x6)x1212令y=x6，显然y>1,则f(x)=y y是y的增函数所以yy=1212只有惟一解y=12.即原方程有解x V12.例5比较下列各组数的大小(1) sin48° , cos313° ;(2) cos96° , sin96° , tan69°【思路分析】比较两数大小的一种方法是将两数看

8、成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量(如 0, 1)等.【略解】(1) cos313° =cos(360 ° 47° )=cos47 ° =sin43 ° <sin48 °所以 cos313° <sin48 °(2)因为钝角的余弦小于0,正弦大于0,所以cos96° <0, 0<sin96 ° <1.又 tan69° >tan45 ° =1 所以 cos96° <sin96 °

9、; <tan69 ° .例 6 已知 xC 0,比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小.【略解】cos(sin x)sin( sin x) 2当 x 0,时，2 1一 sin x , 1 cosx 1.22又因为sin x cosx<2 3,且ysintM1,万上的增函数,所以 cosx sinx. 2所 以 sin(cosx) sin( sinx) 即 sin(cosx) cos(sinx).解0一0 sin2cos 1.又 0 b 1,42log b sinlog b cos 0logb sin(sin )log b cos(sin )例7已知0 b 1

10、,0一，比较下列三数的大小:4. sin10g b(sin ), y(cos)log b cos , z (sin)log b cos即x z.log b cos0,又 sin cos . 即 z y.x zf(t)t10gbe0s是(0,)上的增函数y.(sin )logbcos (cos )logbcos例8求下列函数的最小正周期:(1) y=tanx cotx;(2) y=sin(cosx);(3) y=cos(sinx).【略解】(1)因为tanxcot x一一 22sin x cos xcos2x2ctg 2x，sin x cosx1 sin 2x2所以函数y=tanxcotx的最小

11、正周期 T=2(2)因为sin(cos(x+2兀)=sin(cosx),所以2兀是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T,若 0<T<2 兀，贝U sincos(x+T)=sin(cosx)特别地，令 x=0, sin(cosT)=sinl.而另一方面，0<T<2兀，1 w cosT<1,由正弦函数的单调性和sin(cosT)<sinl ,与 sin(cosT)=sinl矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx)的最小正周期为 27t.(3)因为 cos(sin(兀+x)=cos( sinx)=cos(sinx),所以兀是函数 y=c

12、os(sinx)的周期，仿(2) 可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为兀./【评述】(1)求函数最小正周期时，应尽量将函数化简 .(2)对于由两个函数f(x)和g(x) 复合而成的函数f(g(x)，如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为 那么，f(g(x)也是周期 函数，且仍是f(g(x)的一个周期，但未必是它的最小正周期 ./例9判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期(1) y=2sin 5x+3cos6x；/2(2) y=sin 兀 x+cos2x .5/44【略解】(1) y=2sin x和y=3cos6x的最小正周期分别是 和一，因此 ，一的最25353小公倍

13、数4兀是y=2sin 5x+3cos6x的周期.可以证明4兀也是它的最小正周期.2(2) y=sin兀x和cox2x的周期分别为2和兀，因为 -不是有理数，所以 2和兀没有最 小公倍数(此处倍数应为整数倍)，可以证明y=sin兀x+cos2x不是周期函数.【证明】假设 T是函数y=sin兀x+cos2x的周期.则sin 兀(x+T)+cos2(x+T)=sin 兀 x+cos2x.sin 兀(x+T) sin 兀 x=cos2x cos2(x+T),2sin Tcos(兀 x+ 3T)=2sinTsin(2x+T), (*)令 x=0,得 2cosTsin T=2sin2T.即 sin yTc

14、os T=sin 2T而令 x=-2,化简彳导sin Tcos T=sinTsin(T+4).令 x= 2,得 sinTcosT=sinTsin(T -4)由一得 sinTsin(T+4) sinTsin(T 4)=0,即 2sinTcosTsin4=0, sin2T=0,kT=，k Z 2但显然不适合，矛盾，所以假设不成立.函数y=sin兀x+cos2x不是周期函数.【评述】一般地，周期函数f(x)和g(x)的最小正周期分别为Ti和丁2,若T1/T2 0 ,则函数f(x)+g(x)不是周期函数，若 Ti/T2 c 0 ,则f(x)+g(x)是周期函数.针对性训练题/1 .已知 f (x) a

15、sin x bVx4,(a,b R)且 f(lglog 310)=5,则 f(lglg3)的值是2 .设 a、b 满足 2a2+6b2=3,证明函数 f(x)=ax+b 在1, 1上的满足 |f(x)| < 2 2 .3,已知方程x2+2mx+2m23=0，有一根比2大，另一根比2小，求m的取值范围.4.关于x的实系数二次方程 x2+ax+b=0有两个实数根a、3,证明：(1)如果 | a |<2, | 3 |<2,那么 2|a|<4+b,且|b|<4. /(2)如果 21a |<4+b,且|b|<4,那么 |a |<2, | 3 |<2.4 _1115 .若a<0,求证：方程2 0x x a x a(1)有两个异号实根；(2)正根必小于2a,负根必大于2 a2.336 .已知f(x)=|1 2x|, xC0,