142三角函数的周期性50710

1、4 xyo1-1-2 - 2 3 蓦然回首蓦然回首cos(+2)=sincossin(+2)=sin(+)=-sin-coscos(+)= (口答口答)下列公下列公式的右边是什么？式的右边是什么？蓦然回首蓦然回首yxo1-1-2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x-11y y=cosx y=sinx分别画出分别画出y=y=sinxsinx与与y=y=cosxcosx 的图象的图象. .即对于函数即对于函数 f (x)sin x，任意，任意xr，都有都有 f ( x +2 ) = f (x) 思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？rxxx，诱导公式：s

2、in2sin 记为：则上述诱导公式，可另若记,sin xxf rxxfxf,2 又如，现在是五月份，一又如，现在是五月份，一年以后仍然是五月份。年以后仍然是五月份。 比如，太阳总是每天从东比如，太阳总是每天从东方升起从西方落下；方升起从西方落下； 通俗的讲，它是一种周而通俗的讲，它是一种周而复始、重复出现的现象。复始、重复出现的现象。 什么叫周期性什么叫周期性? ?蓦然回首蓦然回首自由想象自由想象一年四季一年四季: :“春、夏、秋、冬春、夏、秋、冬”, ,每隔每隔 1 1 年重复出现年重复出现. . 请列举几个请列举几个“周而复始周而复始”的客观实例的客观实例. . 一星期七天一星期七天: :

3、“星期日、星期一、星期日、星期一、星期星期二、二、 、星期六、星期六”, , 每隔每隔 7 7 天重复出现天重复出现. .若今天是星期六，那若今天是星期六，那100100天以后是星期几呢？天以后是星期几呢？ 钟表钟表“分针分针”走动走动, , 每每 1 1 小时走一圈小时走一圈. . 公园里公园里“过山车过山车” 运动周而复运动周而复始始. .幽处探秘幽处探秘 请列举几个请列举几个“周而复周而复始始”的函数图象的函数图象. .幽处探秘幽处探秘请列举几个请列举几个“周而复始周而复始”的函数图象的函数图象. .xyo1-1-2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x-11y y=sinx y=c

4、osx幽处探秘幽处探秘xyo1-1-2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x-11y请列举几个请列举几个“周而复始周而复始”的函数图象的函数图象. . y=sinx y=cosx幽处探秘幽处探秘xyo1-1-2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x-11y函数函数 请列举几个请列举几个“周而复周而复始始”的函数图象的函数图象. . y=sinx y=cosxsin(2)sinxxcos(2)cosxx幽处探秘幽处探秘本节课本节课重点研究重点研究 你能给周期函数下个定义吗？你能给周期函数下个定义吗？芬芳满枝芬芳满枝对于函数对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在一个_使得当使得当

5、x x取定义域内的取定义域内的_ _ 时时, , 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做_非零常数非零常数t t叫做这个函数的叫做这个函数的_非零的常数非零的常数t,t,每一个值每一个值 都有都有 f(x+t)=f(x)_芬芳满枝芬芳满枝 非零的常数非零的常数t t 每一个每一个x x的值的值 f(x+t)=f(x)芬芳满枝芬芳满枝 非零的常数非零的常数t t 每一个每一个x x的值的值 f(x+t)=f(x),xr 函函数数f(x)=5(f(x)=5(它它是是 周周期期函函数数吗吗? ? 周周期期t t是是多多少少？ 有有最最小小正正周周期期吗吗? ?0t 是是 周期函数不一定有最小正

6、周期周期函数不一定有最小正周期 ! 如果不加特别说明如果不加特别说明, ,以后讲周期即指最小正周期以后讲周期即指最小正周期. .无无芬芳满枝芬芳满枝sin()sin,424sin2x 由由 能能说说是是y=y=的的周周期期吗吗？:sin(0)sin02 例例如如不能不能 ! 非零的常数非零的常数t t 每一个每一个x x的值的值 f(x+t)=f(x)芬芳满枝芬芳满枝sin()sin ,sinxxx 由由能能说说 是是y=y=的的周周期期吗吗？不能不能 ! 非零的常数非零的常数t t 每一个每一个x x的值的值 f(x+t)=f(x)芬芳满枝芬芳满枝2tkk为非零整数2t是是 1. 设设t是是

7、f(x) 的周期，的周期， 则则_ (n为非零整数为非零整数) 也是也是f(x)的周期，的周期， 即即 f(x+nt)=_。芬芳满枝芬芳满枝nt f(x) 例如例如, , 已知已知f(x)f(x)的周期为的周期为2,f(1)=1.2,f(1)=1. 则则f(-3)f(-3)_f(-3)=f(-3+2f(-3)=f(-3+22)2)=f(1)=1=f(1)=11 1芬芳满枝芬芳满枝 cos(32 )cos3xx2 cos3cos33xx2 +( )3fxf x即2( )3f x所以, 的周期为任我采撷任我采撷 求下列函数的周期求下列函数的周期 ：1(3)2sin(),26yxxr (2) y=s

8、in2x, xrr; ;t = 2t = t = 4(1) y=3cosx, xrr; ;芬芳满枝芬芳满枝 2 2. . a a, , , ,常常, , 且且 a a 0 0, , 0 0, , 函函 y y = = a as si in n( ( x x + +) )+ + b b, , x xr r y y = = a ac co os s( ( x x + +) )+ + b b, , x xr r的的 周周 期期设为数 则数为 t =都都/2.2._以后直接套公式以后直接套公式欣然品尝欣然品尝()(),( )3232fff x(1) (1) 因因为为所所以以的的周周期期是是()(),(

9、 )3232fff x(2) (2) 因因为为所所以以的的周周期期不不是是 判断下列语句的正确性判断下列语句的正确性. . 练习练习1 1 欣然品尝欣然品尝判断下列函数的周期性判断下列函数的周期性, ,并求周期并求周期. .xyo12-2 - 2 3 4 yo12-2 - 2 3 4 是是, ,t=2t=2不是不是 练习练习2 2 欣然品尝欣然品尝sin()32yx 求求 的周期的周期t = 4 练习练习3 3 欣然品尝欣然品尝 练习练习4 444f(x)=sin x+cos x2求证: 为的一个周期.欣然品尝欣然品尝 练习练习4 444f(x)=sin x+cos x2求证: 为的一个周期.

10、44: f(x+)=sin ()cos ()222xx证明44(cos )( sin )xx 44cossin( )xxf x44f(x)=sin x+cos x2所以, 为的一个周期.完美终结完美终结 1.1.周期函数的定义周期函数的定义 3 3. .周期的求法：周期的求法：ntnt 2 2. .设设t t是是f(x) f(x) 的周期，则的周期，则_ (n_ (n为非为非 零整数零整数) )也是也是f(x)f(x)的周期的周期. . 我们应着重掌握我们应着重掌握( )5f x 1.下面函数是周期函数吗？如果是周下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？期函数，你能找出最小正周期吗？2.已知函数已知函数f(x)对定义域中的每个自对定义域中的每个自变量都有变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？数吗？如果是，它的周期是