大学数学：ch4-4（2） Fourier级数

1、2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数Fourier级数级数函数项级数函数项级数(傅傅里叶里叶级数级数或傅氏级数或傅氏级数)2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系2傅里叶傅里叶 (Fourier, 1768 1830)法国数学家法国数学家. 他的著作他的著作热的解析热的解析 理论理论(1822) 是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分

2、三角积分, 他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献, 他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响. 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数项级数常数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数2009年3

3、月23日南京航空航天大学 理学院 数学系4讨论另一类特殊重要的函数项级数：讨论另一类特殊重要的函数项级数：研究研究: : 怎样将一个函数用三角级数表示？怎样将一个函数用三角级数表示？第第4 4节节 Fourier级数级数由三角函数组成的函数项级数由三角函数组成的函数项级数-三角级数三角级数即即 如何将一个函数展成三角级数？如何将一个函数展成三角级数？2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系5第第4 4节节 Fourier级数级数4.1 周期函数与三角级数周期函数与三角级数4.2 三角函数系的正交性与三角函数系的正交性与Fourier级数级数4.3 周期函数的周期函数的Fourier

4、展开展开4.4 0, l上函数的上函数的Fourier级数级数4.5 Fourier级数的复数形式级数的复数形式2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系64.4 0, 4.4 0, l 上函数的上函数的FourierFourier级数级数( )0, ,( )?f xlf x若仅在上有定义且满足狄氏条件若仅在上有定义且满足狄氏条件怎样展成傅立叶级数怎样展成傅立叶级数问题问题( )0, ,2( ).f xlF x 设定义在上 延拓成以为周期的函数设定义在上 延拓成以为周期的函数( ) 0( ),( )0f xxlF xg xlx 令令),()2(xFxF 且且通常取两种情况通常取两种情

5、况. 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓(P321)2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系7奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0ll ( )f x 的正弦级数的正弦级数1( )sinnnn xf xbl (0)x (2 )( ),F xlF x且且0(0,1,2,)02(1,2,( ) in)snlnan xbf xdxlnnl 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系8偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf01( )cos2nnan xf xal )0( xxy0ll

6、 ),()2(xFxF 且且0(0,1,2,)(12(,0)cos2,lnnnn xaf xdxllbn 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系9例例1. 把展开成展开成( )(02 )f xxx(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 则有则有2oyx0 (0 , 1 , 2 ,)nan2022nbx sind2n xx 22022cossin22nxnxxnn4cosnn 14( 1)(1 , 2 ,)nnn 14( )nf x 1( 1)sin2nn xn (02)x在在 x = 2 k 处级处级数收

7、敛于何值数收敛于何值?2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系102oyx(2) 将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022nax cosd2n xx 22022sincos22nxnxxnn 224( 1)1nn ( )f xx2002d2axx 2 0 ,2nk 228,(21)k (1 , 2 ,)k 则有则有22181(21)1cos(21)2kkxk ( 02 )x21nk2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系11时，时，当当证明：证明：624cos2212 xxnnxxn例例2 2证证,24)(2xxxf 设设上展开成余弦级数：

8、上展开成余弦级数：在在将将, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,32 02cos)24(2nxdxxxan2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系12sin)22(sin)24(2002nxdxxnxxxn nxdxncos)22(202 222 n.12n )0(cos6241222 xnnxxxn故故624cos2212 xxnnxn2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系134.5 Fourier4.5 Fourier级数的复数形式级数的复数形式以以2l 为周期的函数的傅里叶级数为为周期的函数的傅里叶级数为),sincos(2)(10lx

9、nblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1 ndxlxnxflalln ), 3 , 2 , 1(sin)(1 ndxlxnxflblln 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系14代入欧拉公式代入欧拉公式(P308),2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系15), 3 , 2 , 1( n 10nlxninlxnine

10、CeCC ,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC (,)n xilnnf xC e 于是有于是有1( )(0, 1, 2,)22n xlinnlnlaibCf x edxnl 傅里叶系数的复数形式傅里叶系数的复数形式傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式(P324)2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系16解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexin coscos1121122 nenenin , 1sinh11)1(22 ninn .1sinh11)1()(22xinnneninxf ), 2, 1, 0, 12( kkx2009年3月23

11、日南京航空航天大学 理学院 数学系171. 什么叫做正交函数系？什么叫做正交函数系？2. 设设f(x+2 )=f(x),且且01( )(cossin)(1)2kkkaf xakxbkx 能能()nN 1( )cosnaf xnxdx ()nN 1( )sinnbf xnxdx 其中其中则三角级数（则三角级数（1）称为）称为f(x)的的 级数级数,其系数称为其系数称为 系数，系数公式称为系数，系数公式称为 公式公式小结小结2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系185. 什么是正弦级数和余弦级数？什么是正弦级数和余弦级数？6. 非周期函数能展开成非周期函数能展开成Fourier级数？

12、级数？4. 叙述叙述 Dirichlet 收敛定理，什么是收敛定理，什么是Dirichlet条件？条件？3. 函数函数f 满足什么条件就存在满足什么条件就存在Fourier级数？级数？ f的的Fourier级数一定收敛吗？级数一定收敛吗？ 若收敛，一定收敛于若收敛，一定收敛于 f本身吗？本身吗？7. 定义在定义在-l, l和和0, l上的函数怎样展开成上的函数怎样展开成展开成展开成Fourier级数？级数？8. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近(P318)2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系19需澄清的几个问题需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况

13、正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2, 0.的傅氏级数唯一的傅氏级数唯一展成周期为展成周期为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系20cos0222xxx将在内展开成以为周期将在内展开成以为周期的正弦级数并在写出该级数的和的正弦级数并在写出该级数的和函数，同时画出它的图形函数，同时画出它的图形1 解解 作奇延拓作奇延拓 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn)1(

14、n, 0 na2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系21 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系22 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上上级级数数的的和和函函数数为为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系23和函数的图形为和函数的图形为xyo 2

15、22009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系242. 设)(xf是以是以 2 为周期的函数为周期的函数 ,其傅氏系数为其傅氏系数为,na则则() ()f xhh 为常数为常数的傅氏系数的傅氏系数. , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1cosnnh asinnnh btxh令ttntfnhdcos)(cos1cossinnnanhbnh cossinnnbnhanh hh 利用周期函数性质利用周期函数性质,nb( )f x是以是以 2 为周期的函数为周期的函数 ,证明：证明：022(1)()( ) ,

16、( )0,0(1,2,.);kkf xf xf xaabk 如果则的傅立叶系数如果则的傅立叶系数3.3.设设2121(2)()( ) ,( )0(1,2,.).kkf xf xf xabk 如果则的傅立叶系数如果则的傅立叶系数1( )cosnaf xnxdx xt 令令 解（）解（） 012()cos () df tn tt 02 利用周期函数性质利用周期函数性质012( )( 1) cosdnf tntt 1( 1)( )cosdnf tntt 2nk 当时当时22kkaa 20ka0,1,2.k 同理可证，同理可证，20kb 类似地可证明（）类似地可证明（）2009年3月23日南京航空航天

17、大学 理学院 数学系26xoyEX.上的表达式为上的表达式为),0( )0 , 0 xxf xx 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解:01( )daf xx 01cosdxnxx 1( )cosdnaf xnx x 01dxx 0212x 2 021sincosxnxnxnn 21cosnn 2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系27(1, 2,)n 1( )sindnbf xnxx 1( 1)nn (1 , 2 ,)k 21nk0,2nk 01sindxnx x ( )f x

18、 4 cos x 2 sin x1sin22x cos3 sin3 xx223 311sin44x cos5 sin5 xx225 5121cosnnan 22(21),k (,(21),0 ,1 ,2 ,)xxkk 说明说明: 当当(21)xk 时时, 级数收敛于级数收敛于0()22 21( )2( 11)12nEXf xxxn 、将函数内展开成、将函数内展开成以为周期的付氏级数，并由此求级数的和以为周期的付氏级数，并由此求级数的和解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 2009年3月23日南京航空航天大学 理学院 数学系30狄利克雷狄利克雷 (18051859)德国数学家德国数学家.