第二十二讲：平面向量的数量积及应用

1、平面向量的数量积及应用(高三)1. 平面向量的数量积己知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,则数量|a|/7|cos 0叫作a和方的数量积(或内积)，记作a b = |a|z>|cos 0.规定：零向量与任一向量的数量积为_!_两个非零向量a与方垂直的充要条件是ab=o,两个非零向量a与方平行的充要条件是ab=±ab.2. 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与方在a的方向上的投影0|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的重要性质()e-a=a-e=acos 0；(2)非零向量 a, b, a丄bu(vb=o；(3) 当 a 与 b 同向时，a-b=ab；当

2、 a与方反向时，a-b= abf a-a=a1, a=ycra；(4) cos(5)血方| w |a|b|.4. 平面向量数量积满足的运算律(l) a=a佼换律)；(加)力=久(刊)=a(肋)(2为实数)；(3)(a+b)c=ac+方c.5. 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向£a=(xi，pi), b=(x2,力)，贝0 a-b=xx1+v.yz 由此得到(1)若 a=(x,尹)，则a1=x2+y2 i&a=lx2+y2.设观可，必)，3(x2,力)，则力、3两点间的距离ab = ab =yl(xi-x2)2+l-y2)2.(3)设两个补冬向量a, b, a=(x,尹i)

3、, b=(x2,力)，则a丄boxpr? +比吃=06. 向量在平面几何中的应用平面向量在平面儿何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面儿何中的平行、垂直、平 移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1) 证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a畑比一劲=0.(2) 证明垂宜问题，常用数址积的运算性质(i _l b-d*b=+卩丄卩2=0 (3) 求夹角问题，利用夹角公式cos &=錯=岸眾二(9为a 9 b的夹角).防范与方法1(1)0与实数0的区别:0a = oho ,a +( -a) = oho , a-0 = oho ； (2)0的方向是任意的，并非没有方向， 0与任

4、何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2a b = 0不能推出a二0或b二0 ,因为a b二0时，有可能a±b.3 a-b = a-c(ao)不能推出b = c ,即消去律不成立求向量模的常用方法：利用公式二/ ,将模的运算转化为向量的数量积的运算.4利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧题型一平面向量的数量积的运算例 1 在 rtzxmc 中，zc= 90°, ac=4,则ab ac于()a. -16b. -8c. 8d. 16(2) 若向量 a=(l,l),方=(2,5), c = (3, x),满足条件(8a“c=30,贝ij 兀

5、等于()a. 6b. 5c. 4d. 3思维启迪：由于zc = 90° ,因此选向量e ,励为基底(2)先算出sa-b ,再由向量的数量积列出方程，从而求出x.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件则庞西的值为；庞辰的最大值为变式训练1(2012北京)已知正方形abcd的边长为1,点e是肋边上的动点,题型二 向量的夹角与向量的模例 2 已知|4=4, b = 3, （2a 3方）（2a+方）=61,求a与方的夹角0；(2)求|a+州若鮎=a, bc=b,求厶abc的面积.思维启迪：运用数

6、量积的定义和阀二临.变式训练2已知向量满足|fl| = l, |*|=4,且ab=2,则a与方的夹角为()a6b4d-2(2)已知向量a=(l,萌)，方=(一1,0),贝血+2切等于()a. 1b.迈c. 2d. 4(3) 已知a=(2, 1), b=(l 3),若a与b的夹角为钝角，则2的取值范围是题型三向量数量积的综合应用例 3 已知 a=(cosa, sina),方=(cos0, sin(1) 求证：a+b与ab互相垂直；(2) 若ka+b与akb的模相等,求0_a.(其中&为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证.(2)

7、由模相等，列等式、化简探究提高(1)当向量a与方是坐标形式给出时，若证明a丄，则只需证明ab = oxx2 +yy2 = 0. 当向量a是非坐标形式时，要把a丿用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要 知道其模与夹角，从而进行运算证明a b = 0.(3)数量积的运算中= 丄b中，是对非零向量而言的，若a = 0 ,虽然有刊二0但不能说a丄b.题型四 平面向量与三角函数的交汇例 6 已知在锐角 abc 41,两向量"=(2 2sin/, cos/ + sin/), =(sin cos a, 1 +sin a)f 且p 与 g是共线向量.(1) 求/的大小；(2) 求函数y=2

8、sin2+cos取最大值时，b的大小.探究提高 向量与三角函数的结合往往是简单的组合如本题中的条件通过向量给出，根据向量的 平行得到一个等式向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单变式训练3厶abc的三个内角力，b, c所对的边长分别是a, b, c,设向量加= (d+b, sin c), n sin z?sin a),若 m/n,则角的大小为.题型五 利用平面向量解三角形典例7：已知角b, c是' abc的内角，a, b, c分別是其对边长，向量加=(2萌sin#, cos2), n = (cos 号，2j, md.n.(1)求角/的大小；(2)若q=2, co

9、s 3=专，求b的长.审题视角 先根据m±n ,利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后 利用正弦定理或余弦定理解题专项能力提升1. 在中，4b=2, mc=3, ab bc= 1,则 3c 等于a.v3b.a/7d.a/23其中d>0,点p在线段ab±,且2. 已知0为原点，有点a (d,0)、b (0, d),ap = tab （owtwl）,则的最大值为3. 设向量 a=（l,2加），/>=（?+1,1）, c=（2,加）.若（a+c）丄b,则|a|=4. 如图，在矩形/bcd屮，佃=也,bc=2,点e为bc的中点，点f在边cd上，若乔乔=&,则庞亦的值是5. 在矩形mcq中，边ab、血)的长分别为2、1,若m、n分别是边3c、cd上的点，月满足回址画，则加羸的取值范围是 彷6已知p是zx/bc所在平面内一点，若cbnpa+pb,其屮aer,一定在()a. n4bc的内部b. /c边所在直线上c.力3边所在总线上d. bc边所在直线上7. 已知点力(一2,0)、3(3,0),动点p(x,刃满足茹芮=/,则点"的轨迹是 ()a. |员1 b.椭圆c.双曲线d.抛物线答案d解析 p4