河海大学理学院《高等数学》8-8二元函数的taylor公式ppt课件

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第九节 二元函数的Taylor公式 高等数学（下）高等数学（下） ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：问题：问题： 能否用多元多项式来逼近一个给定的能否用多元多项式来逼近一个给定的多元函数，并能详细地估算出误差的大小呢？多元函数，并能详细地估算出误差的大小呢？一、二元函数的泰勒公式 高等数学（下）高等数学（下）定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内

2、内连连续续 且且 有有 直直 到到1 n阶阶 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数 , , ),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有 余余项项 nR ) 10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn 高等数学（下）高等数学（下）其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx ),(002yxfykxh ),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 普通地普通地, ,记号记号

3、表表示示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxfkhC 高等数学（下）高等数学（下）(2)当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式成成为为 ),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. . 高等数学（下）高等数学（下）推推论论 如如果果函函数数),(yxf的的偏偏导导数数),(yxfx, ,),(yxfy 在在某某一一邻邻域域内内都都恒恒等等于于零零, ,则则函函数数),(yxf在在该该区区 域域内内恒恒为为常常数数. . )()0() 1 (证证引入函

4、数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 显然显然 高等数学（下）高等数学（下）),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5( 高等数学（下）高等数学（下）注注：若若二二元元函函数数 的的各各阶阶导导数数在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有界界M. .于于是是, ,有有下下面面的的误误差差估估计计式式: : ),(yxfz )3(,!12!1111nnnnMnkhnMR其中其中.22kh 由

5、由)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. . 高等数学（下）高等数学（下）例例1 1求求函函数数)1ln(),(yxyxf 的的三三阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .解解 3322322)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0(! 31)0 , 0()0 , 0(2)0 , 0(21)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(Rfyfxyyfxfxfyxyffxyfxffyxfyyyxyyxxyxxxyyxyxxyx 高等数学（下）高等数学（下）例例解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2y

6、xyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3,2,1 ,0( p,)1(!3444yxyxfpp ),4,3,2,1 ,0( p 高等数学（下）高等数学（下）,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 ,0()0 ,0(2)0 ,0()0 ,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 高等数学（下）高等数学（下）又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(2

7、1)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(!414443 yxyxyxfyyxxR 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解 22) 1)(1 , 0() 1() 1 , 0(2) 1 , 0(21) 1)(1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(),( yfyxfxfyfxffyxfyyxyxxyx 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解,cos1,sin1, 2) 1 , 0(22xyyfxyffyx ,221) 1 , 0(, 0) 1 , 0(, 2) 1 , 0( yyxyxxfff,21) 1 , 0(, 0) 1 , 0( yxff,

8、cos)1 (,sin1,cos123222xyfxyyfxyfyyxyxx ) 1(2212(21) 1(212),(22 yxyyxf 高等数学（下）高等数学（下）二、极值充分条件的证明定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 高等数学（下）高等

9、数学（下）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：（1 1）02 BAC时时有有极极值值， 当当0 A时时有有极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值；（2 2）02 BAC时时没没有有极极值值；（3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值. .证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对对于于任任一一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff 高等数学（下）高等数学（下）),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 设设02

10、BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数在在)(01PU内内连连续续, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在点点0P的的邻邻域域)()(0102PUPU , ,使使得得对对任任一一)(),(0200PUkyhx 有有 高等数学（下）高等数学（下） . 02 xyyyxxfff)8(注注: :将将),(yxfxx在在点点),(00kyhx 处处的的值值记记为为xxf, ,其其他他类类似似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200PUkyhx 时时, ,xxf及及yyf都都不不

11、等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 高等数学（下）高等数学（下） 当当kh、不不同同时时为为零零且且)(),(0200PUkyhx 时时, ,上上式式右右端端方方括括号号内内的的值值为为正正, ,所所以以f 异异于于零零且且与与xxf同同号号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号, ,因因此此f 与与A同同号号, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极小小值值, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值. .)2( 设设02 BAC, ,即

12、即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9( 高等数学（下）高等数学（下）先假定先假定, 0),(),(0000 yxfyxfyyxx则则. 0),(00 yxfxy分分别别令令hk 及及hk , ,则则由由)6(式式可可得得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 高等数学（下）高等数学（下） 当当0h时时, ,以以上上两两式式方方括括号号内内的的式式子子分分别别趋趋于于极极限限),(2

13、),(20000yxfyxfxyxy 及及 从从而而当当h充充分分接接近近零零时时, ,两两式式方方括括号号内内的的值值有有相相反反的的符符号号, ,因因此此f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,所所以以),(00yxf不不是是极极值值. . 再再证证),(),(0000yxfyxfyyxx与与不不同同时时为为零零的的情情形形. .不不妨妨. 0),(00 yxfxy先先取取0 k, ,于于是是由由)6(式式得得).,(21002yhxfhfxx 高等数学（下）高等数学（下）当当h充充分分接接近近零零时时, , f 与与),(00yxfxx同同号号. .但如果取但如果取 ,),(,),(0

14、000syxfksyxfhxxxy 其中其中s是异于零但充分接近于零的数是异于零但充分接近于零的数, ,则可发现则可发现, ,当当s充分小时充分小时, , f 与与),(00yxfxx异号异号. . 如如此此证证明明了了: :在在点点),(00yx的的任任意意邻邻近近, , f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是极极值值. .)3(调查函数调查函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 高等数学（下）高等数学（下）容容易易验验证证, ,这这两两个个函函数数都都以以)0 , 0(为为驻驻点点, ,且且在在点点)0 , 0(处处都都满满足足02 BAC

15、. .但但),(yxf在在点点)0 , 0(处处有有极极小小值值, ,而而),(yxg在在点点)0 , 0(处处却却没没有有极极值值. . 高等数学（下）高等数学（下）定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内连连续续 且且 有有 直直 到到1 n阶阶 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数 , , ),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有 余余项项 nR ) 10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn

16、高等数学（下）高等数学（下）证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定义及多元复合函数的求导法那么的定义及多元复合函数的求导法那么, ,可可得得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx 高等数学（下）高等数学（下）),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 高等数学（下）高等数学（下）利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0