2022年平面向量四心问题(最全).

1、学习必备欢迎下载近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，特别是和平面对量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的学问预备充分，就能应对自如. 下面就平面对量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上 .例 1已知 o是平面上一定点， a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满意：，就 p 的轨迹肯定通过 abc的（）外心内心c重心d垂心解析：如图 1，以 ab， ac为邻边构造平行四边形abcd， e 为对角线的交点，依据向量平行四边形法就，由于，所以，上式可化为， e 在直线 ap上，由于 ae为的

2、中线， 所以选 c.点评：此题在解题的过程中将平面对量的有关运算与平行四边形的对角线相互平分及三角形重心性质等相关学问奇妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例 2p 是 abc所在平面上一点，如，就 p 是 abc的（） .a外心b 内心c 重心d 垂心解析: 由.即.就，所以 p 为的垂心 .应选 d.点评：此题考查平面对量有关运算，及“数量积为零，就两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关学问. 将三角形垂心的定义与平面对量有关运算及“数量积为零，就两向量所在直线垂直” 等相关学问奇妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交

3、点，所以“内心”就在内角平分线线上.例 3已知 p 是 abc所在平面内的一动点，且点p 满意，就动点 p 肯定过 abc的.a、重心b 、垂心c 、外心d 、内心解析：如图 2 所示，由于 是向量 的单位向量设 与 方向上的单位向量分别为 ， 又，就原式可化为，由菱形的基本性质知 ap平分 ，那么在 中， ap平分 ，就知选 b.点评：这道题给人的印象当然是“新奇、生疏”，第一是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必需是简洁的基本学问，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等， 如非常熟识， 又能快速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、

4、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上 .例 4 已知 o是 abc内的一点，如，就 o是 abc的.a重心b. 垂心c. 外心d.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等. 故是的外心，选 c.点评：此题将平面对量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关学问奇妙结合三角形的“四心”与平面 向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法， 易于数形结合， 而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、 新特点， 因此可称为高中数学的一个交汇点； 三角形的“四心” （外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特别点，各自有一些特殊

5、的性质；在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查；这就需要我们在熟识向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义；与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设0,，就向量 ababacac设0,，就向量 abacabac 必平分 bac，该向量必通过 abc的内心 ; 必平分 bac的邻补角 设0,，就向量abac 必垂直于边 bc，该向量必通过 abcab cosbac cosc的垂心 abc中 abac 肯定过 bc 的中点，通过 abc的重心 点 o是 abc的外心222oaoboc 点 o是 abc的重心oaoboc0 点 o是 abc的垂心oa obob o

6、coc oa 点 o是 abc的内心a oab obc oc0 其中 a、b、c 为 abc三边 abc的外心 o 、重心 g 、垂心 h 共线，即 og oh 设 o为 abc所在平面内任意一点，g为 abc的重心， i 为 abc的内心，就有 og1 oa3oboc oiaoaabob bcocc并且重心 g（xa+xb+xc3，ya+yb+yc3）内心 i （axa+ bx b+ cx ca+b+c，aya+ by b+ cy ca+b+c）例 1：（ 2003 年全国高考题）o 是平面上肯定点，a、b、c 是平面上不共线的三点，动点 p 满意 opoa ab abac ，ac0,，就动

7、点 p 的轨迹肯定通过abc的（）（ a）外心（ b）内心af（ c）重心（ d）垂心ec事实上如图设 aeab , af abact都是单位向量acb易知四边形 aetf是菱形应选答案 b例 2 ：（ 2005年北京市东城区高三模拟题）o 为 abc 所在平面内一点，假如oa obob ococoa ，就 o必为 abc的（）（ a）外心（ b）内心（ c）重心（ d）垂心事 实 上oa obob ocoaoc ob0ca ob0ob ca应选答案 d例 3：已知 o 为三角形 abc 所在平面内一点，且满意22oabc22obca2ocab2，就点 o 是三角形 abc 的（）（ a）外心

8、（ b）内心（ c）重心（ d）垂心事实上由条件可推出oa obob ococoa应选答案 d例 4：设 o 是平面上肯定点，a、b、c是平面上不共线的三点，ab动点 p 满意 opoaac ，0,，就动点 p 的轨迹肯定通ab cos bac cosc过 abc的（）（ a）外心（ b）内心（ c）重心（ d）垂心事实上abacbcbcbc0应选答案 dab cos bac cosc例 5 、 已 知 向 量op1,op2, op3满 足 条 件o 1po2po30 p，| op1 | | op2| |op3 | 1 ，求证： p1p2p3 是正三角形分析 对于此题中的条件 | op1 |

9、| op2 | | op3 | 1 ，简洁想到，点o 是 p1p2p3 的外心，而另一个条件op1op2op30 说明，点 o 是 p1p2p3 的重心故此题可描述为，如存在一个点既是三角形的重心也是外心，就该三角形肯定是正三角形在 1951 年高考中有一道考题，原题是：如一三角形的重心与外接圆圆心重合，就此三角形为何种三角形？与此题实质是相同的明显，此题中的条件|op1 | |op2 | | op3 | 1 可改为 | op1| | op2| | op3 | 高考原题例 6、o 是平面上一 定点， a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足o po a a ba c 0 ,就. p 的

10、轨迹肯定通过 abc 的（）| a b | a c |a外心b内心c重心d垂心分析已知等式即 ap abac ，设 aeab , afac ，明显| ab | ac | ab | ac |ae,af 都是单位向量， 以二者为邻边构造平行四边形， 就结果为菱形， 故 ap 为abc 的平分线，选 b 例 7 、 abc 的 外 接圆 的圆 心为 o ， 两 条边 上的 高的 交点 为 h ，ohmoaoboc ，就实数 m =分析：此题除了利用特别三角形求解外， 纯粹利用向量学问推导就比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式ah bc0 ，将其中的向量分解，向已知等式形

11、式靠拢，有ohoa ocob0 ，将已知代入，有 moaoboc oa ocob0，即2moc2ob m1oa bc0 ，由o 是外心，得 m1oa bc0 ，由于 abc是任意三角形，就 oa bc 不恒为，故只有 m1恒成立或者，过点 o 作ombc 与m ，就 m 是bc 的中点，有om1 oboc ；2h 是 垂 心 ， 就 ahbc ， 故 ah与 om共 线 ， 设 ahkom， 就ohoaahoak oboc 2， 又 ohmoaoboc ， 故 可 得m1oam k ob mk oc，有 m0 1mk0，得 m1222依据已知式子 ohmoaoboc 中的oaoboc 部分，很

12、简洁想到三角形的重心坐标公式， 设三角形的重心为 g ，o 是平面内a任一点，均有 ogoaoboc 3，由题意，题目明显叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，o由图上观看，很简洁猜想到 hg2go ，至少有两个产生tf猜想的诱因，其一是， bf , ot 均与三角形的边 ac 垂直，g就 bf / ot ；其二，点 g 是三角形的中线 bt 的三等分hcbed图点 此 时， 会先猜想bhg tog， 但 现在缺少一个关键的 条件， 即bh2 ot，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相像当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何学问进行证明此题结论是关于

13、三角形的欧拉定理，即设o、g、h 分别是 abc的外心、重心和垂心，就 o、g、h三点共线，且 oggh12，利用向量表示就是 oh3og 例 8、点 o是三角形 abc 所在平面内的一点， 满意oa obob ococ oa ， 就点 o 是 abc 的（）a三个内角的角平分线的交点b三条边的垂直平分线的交点c三条中线的交点d三条高的交点分 析移项 后不难得出 ，ob caoc aboa cb选 d 3推广应用题a0 ，点 o 是 abc 的垂心，pbc图例 9在abc内求一点 p ，使ap 2bp2cp 2 最小分析如图，构造向量解决取caa,cbb 为基向量，设 cpx ，有apxa,b

14、pxb于是，ap2bp2cp2xa2 xb2x 3x1 ab 2a221 ab2 b33当 x1 ab 时，3ap2bp 2cp 2 最小，此时，即 op1 oaoboc ，3就点 p 为abc的重心例10已 知 o为 abc 所 在 平 面 内 一 点 ， 满 足| oa |2| bc |2|ob |2| ca |2| oc |2| ab |2 ，就 o 为abc的心分析将| bc |2ocob222ocob2oc ob ， | ca |2,|ab |2 也类似展开代入，已知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，o为垂心例11已 知o为abc的 外心，求证 ：oa sinbocob

15、 sinaococ sin aob0 分析 构造坐标系证明如图，以 a 为坐标原 点 ， b 在 x 轴 的 正 半 轴 ， c 在 x 轴 的 上yc x3, y3 方 s aob1 x y202， 直 线 bc的 方 程 是ox0, y0 y3 x 2x3xy2 x 3，0y由于点 a 与点 o 必在直abx2 ,y2 x线 bc的 同 侧 ， 且x2 y30， 因 此 有图x0y3x3y0x2y00 x，2 得ys boc1 x yx yx yx y 230230320直线 ac 的方程是y3xx3 y0 ，由于点 1,0 与点 o 必在直线 ac 的同侧，且y 1x00 ，因此有 x

16、yx y0 ，得 s1 x yx y 330330 aoc03302于 是 ， 容 易 验 证 ，oasbocobs aococs aob0， 又|1s boc2o b| |o c| s i，nb o cs boa1 |ob |oa | sin aob ，s aoc21 | oa|oc | sin aoc ，又| oa | ob | oc |，2就所证成立总结：学问综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）依据概念，可知各心的特点条件比如：重心将中线长度分成2： 1；垂线与对应边的向量积为