第七章无穷级数习题课一

1、第七章第七章 无穷级数习题课无穷级数习题课 (一一)常数项级数常数项级数 一、定义及性质一、定义及性质 2敛散性定义敛散性定义 3性质性质 必要性必要性: 线性运算性质线性运算性质: 则级数收敛，否则级数发散。则级数收敛，否则级数发散。 lim0.nna设级数设级数 为常数为常数 11,nnnnusv 则则 1()nnnuvs 设设 ，如果，如果 存在，存在， 1nnnksa limnnss 级数级数 收敛收敛 1nna 1常数项级数常数项级数 1nna 4常数项级数类型常数项级数类型 正项级数正项级数交错级数交错级数任意项级数任意项级数常数项级数常数项级数 1nna 0na ( 1),0nn

2、nnau u nar 二、判别常数项级数收敛的解题方法二、判别常数项级数收敛的解题方法 若成立，则需作进一步的判别。若成立，则需作进一步的判别。 判别常数项级数判别常数项级数 1nna 的敛散性，应先考察是否有的敛散性，应先考察是否有 成立。若不成立，则可判定级数发散；成立。若不成立，则可判定级数发散；lim0nna 此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。 对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；二方法失效，则可利用比较

3、法（或定义）作进一步判别； 若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛；别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛； 对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。性质等判别。 解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图如下图所示。 对于任意项级数，一般应先考虑正项级数对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛； 1nna 解题方法流程图解

4、题方法流程图 yes判断判断 的敛散性的敛散性1nna 比值法比值法根值法根值法比较法比较法 1 找正项收敛找正项收敛级数级数1nnb 找正项发散找正项发散级数级数1nnc 用其它方用其它方法证明法证明0na lim0nna no 1|nna 1limnnnaa limnnna 1 1 ( 1)nnnau 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 nnab yesnononoyesnoyesnoyes 为正项级数为正项级数1nna 为任意项级数为任意项级数1nna 发散发散1nna 收敛收敛1nna 收敛收敛1nna 发散发散1nna 条件收敛条件收敛1nna 绝对收敛绝对收敛1nna 为交错级数为交错级

5、数1nna 收敛收敛1|nna 且且 lim0nnu 1,nnuu nnca 三、典型例题三、典型例题 ，由定义，由定义 2231223341(1)()()()3333333nnnnns 113nn 1limlim(1)13nnnnnss 所以原级数收敛，且和为所以原级数收敛，且和为1。【例【例1】判别级数】判别级数 的收敛性，并求级数的和。的收敛性，并求级数的和。1213nnn 分析：此级数为正项级数，由于分析：此级数为正项级数，由于12131133333nnnnnnnnnnna 因此可利用定义求。因此可利用定义求。解：解： 由于由于12131133333nnnnnnnnnnna 11lim

6、limnxnxnx 01e11lnlimlnlimxxxxxxee1lim01xxeelim10nna由级数收敛的必要条件，原级数发散。由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例【例2】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。111()nnnnnnn 分析：此级数为正项级数，因为分析：此级数为正项级数，因为 分别求分分别求分11211()(1)nnnnnnnnnannn 子、分母的极限不为子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。，由级数收敛的必要条件，原级数发散。解：解： 因为因为11211()(1)nnnnnnnnnannn 而而212211lim(1)lim(1) nnnnnn

7、n00型型6175limlim165( )1( )77nnnnnnn 故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。 【例【例3】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。1675nnnn 分析：此级数为正项级数，根据分析：此级数为正项级数，根据 的形式，可用的形式，可用 675nnnna 比较审敛法，也可采用比值审敛法。比较审敛法，也可采用比值审敛法。解法解法1：此级数为正项级数，：此级数为正项级数，675nnnna 而级数而级数 为等比级数收敛，为等比级数收敛， 16( )7nn 解法解法2：由比值审敛法：由比值审敛法1111675limlim675nnnnnn

8、nnnnaa 116(75 )lim75nnnnn 156(1( ) )67lim1571( )7nnn 故由比值审敛法知原级数收敛。故由比值审敛法知原级数收敛。,由于由于 1111 2( 1)limlim32( 1)nnnnnnanan 故转到应用比较判别法。由于故转到应用比较判别法。由于 【例【例4】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。12( 1) 3nnnn 而而112( 1)lim1,lim2( 1)nnnnnn 不存在不存在 ，所以，所以 不存在。不存在。 1limnnnaa 2( 1) 3nnnna 分析：此级数为正项级数，设分析：此级数为正项级数，设 12( 1) 21 =

9、333nnnnnnnnnab 而级数而级数 收敛，从而级数收敛，从而级数 收敛；收敛；1nnb 1nna 或将或将 拆成两个级数，拆成两个级数， 分别判定级数的收敛性。分别判定级数的收敛性。na2( 1) 33nnnnnna 同理同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，limnnna ,由于由于 12( 1) 33nnnnnnnab 解法解法1：设：设2( 1) (1,2,)3nnnnan 而由比值法而由比值法 11113limlim133nnxxnnnbnb 易知级数易知级数 收敛收敛,1113nnnnnb 故由级数的比较判别法知，级数故由级

10、数的比较判别法知，级数 收敛。收敛。1nna 解法解法2：因为：因为2( 1)33nnnnnna 所以，分别考虑所以，分别考虑 和和 的敛散性。的敛散性。123nnn 1( 1)3nnnn 对于对于11( 1)33nnnnnnn 由比值法由比值法 11113limlim133nnxxnnnbnb 知知 收敛，所以，收敛，所以， 绝对收敛；绝对收敛； 1( 1)3nnnn 1( 1)3nnnn 同理得同理得 收敛，可知原级数收敛。收敛，可知原级数收敛。 123nnn 111 211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn 12nnn 收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。收敛，故由比较审

11、敛法，原级数收敛。【例【例5】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。21cos32nnnn 分析：此级数为正项级数分析：此级数为正项级数, 由由 的形式，利用比值的形式，利用比值2cos32nnnna 法和根值法均不合适，由于法和根值法均不合适，由于 , 可采用比较法。可采用比较法。 2cos322nnnnnna 解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数， 2cos322nnnnnna 2nnnv 令令 注：应用比较法判断一个正项级数注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键的敛散性，最关键1nna 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，问题是熟练掌握一批已知正项级数的

12、敛散性（如几何级数， p 级数等），然后根据级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。的特点，进行有针对性的放缩。na【例【例6】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。1!nnna nn 分析：此级数为正项级数，分析：此级数为正项级数， ，由于，由于 中含有中含有!nnna nun nu，可用比值审敛法。，可用比值审敛法。 ,!,nnann解：令解：令 !nnna nun 111(1)nnnueun 1lim0nnnnuuu 所以，原级数发散。所以，原级数发散。 由比值审敛法，当由比值审敛法，当 时，原级数收敛；时，原级数收敛； ae 当当 时，原级数发散。时，原级数发散。 ae 当当

13、 时，时， 比值审敛法失效，注意到比值审敛法失效，注意到 ae 1lim1nnnaa 注：在级数一般项注：在级数一般项 中，若含有形如中，若含有形如 的因子时，的因子时， nu, !,knnn an n适于使用比值审敛法。适于使用比值审敛法。 111(1)!(1)limlim!nnnnnnnnanuna nun limlim11(1)nnnnnaaanen nnn11limlimlim01ln(1)ln(1)nnnnunn故由根值审敛法，原级数收敛故由根值审敛法，原级数收敛。【例【例7】判断级数】判断级数 的敛散性的敛散性. 1)1ln(1nnn分析：此级数为正项级数分析：此级数为正项级数 ,

14、 由于由于 中中 1)1ln(1nnnnunu解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数， 1)1ln(1nnnnu注：在级数一般项注：在级数一般项 中中,若含有若含有 次方时次方时,适于使用根值适于使用根值 审敛法。审敛法。 nun含有含有 次方，可用根值审敛法。次方，可用根值审敛法。n【例【例8】判断级数】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？还是绝对收敛？ 1( 1)lnnnnn 分析：本题中，分析：本题中， 为交错级数，可采用莱布尼兹为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。定理判别法。( 1)lnnnann 解：此级数为交错级数，因为解：此级数为交

15、错级数，因为 , 而而 发散发散,11lnnnn 11nn 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛. 因为因为 为交错级数为交错级数, 由莱布尼玆定理由莱布尼玆定理1( 1)lnnnnn 由比较审敛法知由比较审敛法知 发散发散11( 1)1lnlnnnnnnnn 1( )10 (1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。 所以所以 在在 上单增，即上单增，即 单减单减 ，( )f x(1,)1lnxx 故当故当 时，时， 单减，单减，1n 1lnnn lnln1limlimlim0nxxnxnxx

16、11limlimlnln1nnnnnnn 0 ( )ln(0)f xxxx令令即原级数非绝对收敛。即原级数非绝对收敛。 【例【例9】* 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。1ln( 1) nnnn 分析：本题中，分析：本题中， 为交错级数，可采用莱布为交错级数，可采用莱布11lnnnnnan 尼兹定理判别法。尼兹定理判别法。 解：先考虑级数解：先考虑级数 的敛散性。的敛散性。 11lnnnnnan 由于当由于当 时，时， 3n ln1,nnann 而级数而级数 发散，故级数发散，故级数 发散，发散， 31nn 33lnnnnnan 即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。即原级数为交错

17、级数，故应用莱布尼兹判别法判别。 lnlimlim0nnnnun2ln1ln( )()0 xxfxxx 从而原级数条件收敛。从而原级数条件收敛。 注：在运用莱布尼玆定理判别注：在运用莱布尼玆定理判别 时，可引入函数，时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。利用函数的导数，判别单调性。1nnuu 因为因为 ,其中其中ln( 1)( 1)nnnnnaun lnnnun 所以所以 在在 内单调递减，得内单调递减，得 ( )f x1,) 1nnuu 于是由莱布尼兹判别法可得级数于是由莱布尼兹判别法可得级数 收敛，收敛， 3ln( 1)nnnn ln( )xf xx 令令证明：设级数证明：设级数 和和 的部分和分别为的部分和分别为 和和)1(11 nnnnaan 1nnan ns则则122311(2)(32)(1)2nnnnnaaaananasna 【例【例10】 若若 , 级数级数 收敛收敛, 证明证明0lim nnna)1(11 nnnnaan级数级数 收敛收敛. 1nna没有具体表达式，只能将没有具体表达式，只能将 看成任意项级数看成任意项级数, 所以，所以，考虑级数收敛定义。考虑级数收敛