(白)第14章振动

1、1大大 学学 物物 理理 I I哈尔滨工业大学理学院物理系哈尔滨工业大学理学院物理系主讲：黄喜强主讲：黄喜强E-mail: Tel: 86418420214.114.1 简谐振动简谐振动14.1.1简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程xkf0dd222xtx固有角频率固有角频率mk(4)( 弧度弧度/秒秒)(2)fv0f22ddtxmmaf0f0cos()xAt简谐运动表达式简谐运动表达式:v平衡位置0dd22xmktxf0v0vf0v(1)(3)(5)弹簧振子视频第第1414章章 振振 动动314.1.2谐振动的特征量谐振动的特征量1、振幅振幅 A2、固有周期固有周期 T3、固有频率固有

2、频率 Tv1Tv224、相位、相位0()t22020vxA1000vtgx0t时时00t为初相位为初相位)cos(0tAx由初始条件由初始条件00vx 和00cosxA00sinA 解方程组可得解方程组可得xO)sin(dd0tAtxt+T状态不变状态不变)(cos0TtA)(sin0TtA2T/2T4相位概念：相位概念：1.描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量的物理量)(0txv02223A00A0A0-A0A2.描述振动系统状态的变化趋势描述振动系统状态的变化趋势3.描述频率相同的两振动系统的描述频率相同的两振动系统的振动步调振动步调（或两物理量）（或两物理量）相位超前相位超前

3、相位落後相位落後)cos(0tAx)sin(dd0tAtx514.1.3 简谐振动的速度、加速度及简谐振动曲线简谐振动的速度、加速度及简谐振动曲线22ddtxa txddv)sin(0tA)2cos(0tA)cos(02tA)cos(02tA)cos(0tAxAmv2Aam速度超前位移速度超前位移/2相位相位加速度超前位移加速度超前位移相位相位6)cos(tAxt)0( tAr14.1.4 14.1.4 简谐振动的相量图法简谐振动的相量图法-旋转矢量法旋转矢量法AA)(tArxxO。 。 。7例、例、 一个质量为一个质量为0.01kg的物体做简谐振动，其振幅为的物体做简谐振动，其振幅为0.08

4、m，周，周期为期为4s，起始时刻物体在，起始时刻物体在x=0.04m处，向处，向ox轴负方向运动，如图轴负方向运动，如图,试求：（试求：（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；（时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起）由起始位置运动到始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。Ox/m0.04-0.04解：首先要求出简谐运动方程。由题意：s4TmA08. 02(/ )2rad sT所以，将初始条件代入简谐运动方程中：0cos()0;0.04xAttxm初 始 条 件 ：00.040.08cos8所以01cos203 03即：由题意，物体向由题意，物体向ox轴负

5、方向运动轴负方向运动，得到简谐运动方程为：0.08cos()23xt9（1）要求t=1.0s，物体所处的位置和所受的力，0.08cos()0.08cos(*1.0)0.0692323xtm *0.069fkxk km物体所受的力为：因为:223*0.069*0.069() *0.01*0.0691.7*102fkmN力的方向沿着x轴的正方向，指向平衡位置。10（2）假设物体从起始位置运动到x=-0.04m处所需要的时间为t，则：0.040.08cos()23t2arccos( 1/ 2)3330.6722ts所以所以旋转矢量法求解：旋转矢量法求解：11 简谐振动实例简谐振动实例1、水平弹簧振子

6、、水平弹簧振子0dd222xtxmk2、单摆的运动、单摆的运动 很小时很小时222ddsintmlmgl0dd22lgtlg)cos(t令令解得解得)cos(tAx-AAkmT22固有周期固有周期glT2sinmgcosmgmgmT12sinmglM- 谐振动谐振动3 3、复摆、复摆 很小时很小时力矩力矩0dd222tJmgl22ddtJmglM令令C 质心质心gmsinl0轴轴Ml 周期周期mglJT2134 4 竖直弹簧振子竖直弹簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xxkmgmafmgxxkfmakx 由以上三式可得由以上三式可得即即220d xkxdtm与水平弹簧振子相同，只改变平衡

7、位置与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置f14x (cm)0.25-0.50 t (s)2求：振动方程求：振动方程（振动表达式）（振动表达式）解解：由图可知由图可知cm5 .0As2T)s1 (2T初始条件：初始条件：)cm(25. 0cos5 . 0cos000Ax5 . 0cos030)3cos(5 . 0tx对吗？对吗？初始条件初始条件v000sin0A0sin030)3cos(5 . 0tx练习题练习题(cm)0 xAA/2/3-/3Av015 例例 一质点沿一质点沿 X 轴做谐振动，振动方程为轴做谐振动，振动方程为).SI)(32cos(1042tx从从 t=0 时刻起，到质点位置在时

8、刻起，到质点位置在 x = -2cm 处，且向处，且向 X 轴正方向轴正方向运动的最短时间间隔为运动的最短时间间隔为(A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s 解法（解法（1）: 解析法解析法.将将 x = -2 cm 代入振动方程，得代入振动方程，得).SI)(32cos(10410222t21)32cos(t考虑到振子此时向考虑到振子此时向 X 轴正方向运动，轴正方向运动，v 0 , 故取故取34)32(t. s21t16解法（解法（2）：旋转矢量法）：旋转矢量法.).SI)(32cos(1042tx，时时300tXOp3Q, ,1024轴正方向运动时轴

9、正方向运动时且向且向Xx,2而而) s (21t17系统机械能守恒系统机械能守恒222121xkmEEEPKv2020)cos(21)sin(21tAktAm2222121kAAm)(mk14.1.5 谐振动的能量谐振动的能量)sin(dd0tAtx)cos(0tAx18简谐振动的判据简谐振动的判据1. 动力学判据动力学判据受正比而反向的恢复力作用受正比而反向的恢复力作用xkf即即0dd22xmktx2. 能量判据能量判据振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒0ddxmktv0ddddxmktxxv0ddxkxvmv积分积分恒量222121xkmv3. 运动学判据运动学判据)cos(tAx相对平

10、衡位置的位移随时间按正、余弦相对平衡位置的位移随时间按正、余弦规律变化规律变化（一次积分）（一次积分）（二次积分）（二次积分）19无阻尼自由振荡，电容板上电量为q， 振荡电流i，总能量常量222121Licq0ddddtiLitqcq22dddd,ddtqtitqi01dd22qLctq-谐振动微分方程求导由于LC+_iq例：20频率频率电磁振荡：电磁振荡：tqtqitqqsinddcos00LC11）发射高电磁能）发射高电磁能-使电路开放使电路开放2）能量）能量 4 减小减小 L和和C，提高，提高 电路变化如图电路变化如图 所示所示从振荡电路过渡到振荡偶极子从振荡电路过渡到振荡偶极子LC+(

11、a)_(b)LC+_(c)LC+_+qql(d)21例、两个劲度系数分别为例、两个劲度系数分别为k k1 1和和k k2 2的轻质弹簧，按照图中的轻质弹簧，按照图中a a、b b、c c所示的方式连接，求其振动系统的谐振频率。所示的方式连接，求其振动系统的谐振频率。k1k2m（a）k1k2m（b）k1k2m（c）解（解（1 1）图（）图（a a）的情形。设底面）的情形。设底面光滑，当物体由平衡位置拉开一光滑，当物体由平衡位置拉开一小位移小位移x x时，有：时，有：2122()d xmkkxdt 212kkm令则方程可以写成：则方程可以写成：2220d xmxdt所以其谐振频率为：所以其谐振频率

12、为：1212kkm补充：补充：22（2 2）图（）图（b b）的情形，当物体由平衡位置拉开一小位移）的情形，当物体由平衡位置拉开一小位移x时，有：时，有：212122()d xmk xk xkkxdt 1212kkm12xxx所以，同上其振动频率为：所以，同上其振动频率为：（3 3）图（）图（c c）的情形。当物体由平衡位置拉开一小位移）的情形。当物体由平衡位置拉开一小位移x时，时，设两弹簧伸长量分别为设两弹簧伸长量分别为x1和和x2，显然有：，显然有：并且：并且：1 122kxk xk x所以有：所以有：12111kkkk1k2m（b）k1k2m（c）23所以其谐振频率为：所以其谐振频率为：

13、12121122()k kkmkk m12kkk结论结论 ：（1 1）图（图（a a）和图（）和图（b b）属于弹簧并联使用：）属于弹簧并联使用：（2 2）图（）图（c c）属于弹簧串联使用：）属于弹簧串联使用：12111kkk24 例例 一劲度系数为一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为将它们并联在一起，下面挂一质量为 m 的物体，则振动系统的的物体，则振动系统的频率为频率为.221)(.321)(.621)(.21)(mkDmkCmkBmkA解解: 设每一等分弹簧的劲度系数为设每一等分弹簧的劲度系数为 k0

14、 ，因此由弹簧串联关系，有因此由弹簧串联关系，有,3,3100kkkk两个同样的弹簧并联，有两个同样的弹簧并联，有kkk620振动频率为振动频率为mkmk621212答案：答案：( B)25例、一个质量为例、一个质量为m m的小球在一个光滑的半径为的小球在一个光滑的半径为R R的球形碗底作微小的球形碗底作微小振动，如图所示。设振动，如图所示。设t=0=0时，时，=0=0，小球的速度为，小球的速度为v0 0，向右运动。，向右运动。试求在振幅很小情况下，小球的振动方程。试求在振幅很小情况下，小球的振动方程。ROPPNmg解：以小球为研究对象。设逆时针解：以小球为研究对象。设逆时针方向的角位移为正，

15、方向的角位移为正，t t时刻小球位于时刻小球位于P P点，角位移为点，角位移为，受力情况如图所，受力情况如图所示。根据牛顿运动定律，在轨迹的示。根据牛顿运动定律，在轨迹的切线方向有：切线方向有：sinmgmasin0agaRR亦即：亦即：其中其中a at t为切向加速度为切向加速度当振幅很小时，有当振幅很小时，有sin26代入上面有：代入上面有：0Rg20 gR即：即：其中，角频率为其中，角频率为求解该微分方程可以得到：求解该微分方程可以得到：0cos()t式中的振幅和初相可以由初始条件确定。式中的振幅和初相可以由初始条件确定。当当t=0t=0时，时，00,vR则有：则有：000cos0,si

16、nvR可以得到：可以得到：00;2vR 所以，小球的振动方程为：所以，小球的振动方程为：0cos()2vgtRR27例、质量为例、质量为m m，长度为，长度为l的匀质细杆，上端可以无摩擦地绕悬挂轴的匀质细杆，上端可以无摩擦地绕悬挂轴转动，下端与一劲度系数为转动，下端与一劲度系数为k k的轻弹簧相连，如图所示，细杆处的轻弹簧相连，如图所示，细杆处于铅直位置时，弹簧处于不变形状态。试求细杆做微振动时的频于铅直位置时，弹簧处于不变形状态。试求细杆做微振动时的频率。率。Ok解：由杆、弹簧、地球所构成的系统，没有外力和耗散力作功，解：由杆、弹簧、地球所构成的系统，没有外力和耗散力作功，系统的机械能守恒。

17、取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一系统的机械能守恒。取平衡位置系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统的机械能为：任意位置时，系统的机械能为：2211(1 cos )222lEJkxmgC其中，其中，J为杆绕为杆绕O O轴的转动惯量，轴的转动惯量，x为弹为弹簧的伸长量，在杆作微小振动时，簧的伸长量，在杆作微小振动时，xl代入上面式子，并且两边对时间求一次导代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：数，有：2821sin02dddJklmgldtdtdt.21,3ddJmldtdtsin式中，式中，在杆作微小振动时，在杆作微小振动时，代入后，可以得到：代入后，可以得到：6302klmgml

18、所以，杆的微小振动是简谐运动，振动的频率为：所以，杆的微小振动是简谐运动，振动的频率为：16322klmgml2914.2 14.2 阻尼振动阻尼振动二、阻尼振动二、阻尼振动粘性阻力粘性阻力vfv22ddddtxmtxkx0dddd22xmktmxtx或或有有0dd2dd2022xtxtxtxe02202特征方程特征方程将试探将试探 解解代入上式代入上式令令mk /0m/2一、无阻尼振动一、无阻尼振动例：水平弹簧谐振子例：水平弹簧谐振子0dd2022xtxmk0)cos(00tAx300dd2dd2022xtxtxtxe022022020/202) 1(0)cos(e)(00tAtxt220特

19、征方程特征方程特征根特征根试探试探 解解阻尼度阻尼度 - 表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量1）当当时时,方程的解为方程的解为式中式中mk /0m/2vfv阻尼振荡（阻尼小）阻尼振荡（阻尼小）阻尼系数阻尼系数tx阻尼振荡阻尼振荡220isincoseiisincoseiicos2eeii312）过阻尼运动（阻尼较大）过阻尼运动（阻尼较大）当当解为解为无周期，非振动。无周期，非振动。3）临界阻尼运动）临界阻尼运动当当在在振幅衰减到原来的振幅衰减到原来的2021ttcctx)(2)(1202202ee)(2021ttcctxe)()(211%37e1或或图图 时间时间,tx临界阻尼临界阻尼过阻尼

20、过阻尼阻尼振荡阻尼振荡32定态解定态解暂态解暂态解周期性驱动力周期性驱动力式中式中tffdddcos0220ddcosddtxmtftxkxddtxtxtxdcosdd2dd2022m2mk0mfd0)cos()cos(e)(00ddttBtAtx14.3 14.3 受迫振动受迫振动 共振共振一、受迫振动一、受迫振动33得定态解振幅得定态解振幅:相位相位:2222204)(ddxB2202arctgddd)( ie)(ddtBtx令定态解令定态解定态解定态解暂态解暂态解txtxtxdcosdd2dd2022)cos()cos(e)(00ddttBtAtx代入原方程代入原方程与初始条件无关dB和

21、tddtiecostdddtxi220e2i)()(34二二 共振共振当当由由时时, B 达最大达最大, 称位移共振称位移共振rd0dddB2202d振幅振幅:相位相位:2222204)(ddxB2202arctgddd)( ie)(ddtBtx定态解定态解2202B1）位移共振位移共振)(00rd时35在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象称为位移共振称为位移共振, 简称共振简称共振 r称为共振的角频率称为共振的角频率2）共振峰的宽度或共振宽度）共振峰的宽度或共振宽度在欠阻尼情况下，共振宽度为在欠阻尼情况下，共振宽度为3）振动系统的品质因数）振动系统的品质因

22、数220QB2B202202B共振共振:Bo2202d36速度共振速度共振能量共振转移能量共振转移37试推导关于受迫振动的相位和振幅表达式。试推导关于受迫振动的相位和振幅表达式。22022cos(1)d xdxxhtdtdt2202arctan12222220()4hA 解：设方程（解：设方程（1 1）的稳态解为）的稳态解为cos()xAt则有：则有：2sin()cos()(2)xAtxAt 将（将（2 2）代回到方程（）代回到方程（1 1）中，可以得到：）中，可以得到：220cos() 2 sin()cos()cos(3)AtAtAtht38220cos()2 sin()cos()cos(3

23、)AtAtAtht220coscossinsin 2sincoscossin coscossinsin cos(4)AttAttAttht 220cos2sincosAAAh 将（将（3 3）用三角函数展开，得到：）用三角函数展开，得到：该方程为恒等式，所以两边该方程为恒等式，所以两边sinsint t、coscost t的系数应该相等，的系数应该相等，于是可以得到：于是可以得到：即：即：220()cos2sin(5)AAh 220sin2cossin0AAA 同理，同理，sinsint t的系数：的系数：即：即：220()sin2cos0(6)AA 39220220()cos2sin(5)(

24、)sin2cos0(6)AAhAA2202tan() 2202arctan()由（由（6 6）可以得到：）可以得到：所以所以将（将（5 5）（）（6 6）两边平方相加，可以得到：）两边平方相加，可以得到：2222220()4(7)Ah 所以可以得到振幅：所以可以得到振幅：12222220()4hA 40 x1A2AA12O1x2x14.4 简谐振动的合成简谐振动的合成1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAtx22121220102cos()AAAA A1102200110220sinsintgcoscosAAAA14.4.1 同方向、同频率两个简谐振动的合成同

25、方向、同频率两个简谐振动的合成 412)(2010k) 12()(2010k2121AAAAA21AAA21AAA其它值)(2010)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA( 同相同相 )( 反相反相 )同一直线上的同一直线上的n个个同频率的简谐振动的合成同频率的简谐振动的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAx42)2sin(2nRA)2sin(2Ra两式相除两式相除)2sin()2sin(naA)cos(tAxaRACOxPM)(21nCOM)(21COP21nCOMCOP43例、若一个质点同时参与两个同方

26、向同频率的简谐运动。已知一例、若一个质点同时参与两个同方向同频率的简谐运动。已知一个分振动的表达式为：个分振动的表达式为：x1 1= =Acoscos( (t+5+5/6)/6)，而合振动的表达式，而合振动的表达式为：为：x= =Acoscos( (t+/2)/2)。试求另一分振动的表达式。试求另一分振动的表达式。解法一、（解析法）解法一、（解析法）因为某时刻合振动的位移等于该时刻两个分振动位移之和。因为某时刻合振动的位移等于该时刻两个分振动位移之和。即：即：12xxx所以：所以：215cos()cos()2622 sin()sin()362sin()cos()36xxxAtAtAtAtAt

27、44解法二、（旋转矢量法）解法二、（旋转矢量法）AA1A25/620画出画出t=0t=0时刻合振动的振幅矢量时刻合振动的振幅矢量A A和分振和分振动的振幅矢量动的振幅矢量A A1 1，如图所示。由矢量运，如图所示。由矢量运算法则可以得到另外一个分振动的振幅算法则可以得到另外一个分振动的振幅矢量矢量A A2 2。因为：因为：1AAA2AA2 06所以得到：所以得到：由图可以得到：由图可以得到：所以可以写出另外一个振动的表达式：所以可以写出另外一个振动的表达式：2cos()6xAt45例、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：例、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：12320

28、.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt试求合振动方程。试求合振动方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋转矢量法）解：方法一（旋转矢量法）取坐标取坐标OxOx，每一振动相位差为，每一振动相位差为/3/3，三，三个分振动以及合振动的旋转矢量位置，个分振动以及合振动的旋转矢量位置，如图可以表示出来。如图可以表示出来。由图可以求出合振动的振幅为：由图可以求出合振动的振幅为：22112233112233221(coscoscos)(sinsinsin)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA46合振动的初始位相为：合振动的初始位相为：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAAcoA coA co0.1cos()3xt所以，合振动的振动方程为：所以，合振动的振动方程为：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函数的计算，可以求出合振动方程为：直接利用三角函数的计算，可以求出合振动方程为：12320.05cos()0.05cos()0.05cos()330.05cos()0.1cos()cos()3330.05cos()0.05cos()330.1cos()3xxxxtttttttt47tAx11costAx22cos2