线面垂直与面面垂直典型例题

1、线面垂直及面面垂直8/11基础要点面向垂直线线垂直、若直线。及平面2/所成的角相等，则平面a及夕的位置关系是（B ）A、all/3 B、a不一定平行于2 C、a不平行于/ D、以上结论都不正确、在斜三棱柱A8C-A4G，N84C = 90 ,又BCJAC,过G作G“，底面，垂足为4，则，一定在（B ）A、直线上 B、直线上 C、直线上 D、的内部、如图示，平面a_L平面夕，及两平面a/所成的角分别为巳和工，过A. 6分别作两平面交线的垂线，垂足为 4640,则 A8:A8'= （ A ）/KA、2:1 B、3:1 C> 3:2 D、4:3、如图示，直三棱柱A8耳一。CG中，乙48

2、四=90AB = 4, 8c = 2,CG =1上有一动点P,则APG周长的最小值是一 5.己知长方体A8CO-A百GR中，AA = AB = 2,若棱上存在点P,使得O/_LPC,则棱长的取值范围是 o题型一：直线、平面垂直的应用1. (2014,江苏卷)如图，在三棱锥中，D, E, F分别为棱，的中点.已知R4_LAC,尸A = 6, BC = 8, DF = 5.求证： QA|平面£七尸；(2)平面3Z)E _L平面A3C .证明：(1)因为D, E分别为棱，的中点，所以.又因为Q平面， 平面，所以直线平面.(2)因为D, E, F分别为棱，的中点，=6, =8,所以，=1 =

3、3,=21=4. 2又因=5,故2 =42,所以N=90° ,即以又_L, ，所以_L.因为n=E, 平面，平面，所以_1_平面.又 平面，所以平面，平面.2. （2014,北京卷，文科）如图，在三棱柱ABC-A5G中, 侧棱垂直于底面，ABVBC. AAt=AC = 2, E、/分别为 A£、8c的中点.（1）求证：平面A8E_L平面48CG；（2）求证：G/平面A3石.证明：（1）在三棱柱A8C-AgG中，叫 _L 底面ABC,，1 AB, ：. AB _L BC,；. AB 1 平面与8CG，v AB u 平面A8E, 平面ABE _L 平面gBCG .（2）取的中点

4、G连接, ; E、尸分别为 A£、BC 的中点，.FG|AC,FG = i/lC, / AC 4G，AC = AG，/GII EG，FG = EG，则四边形 fgeg 为平行四边 形， . C/1| EG- EG u 平面 A8ECE u 平面C/ | 平面A5E .3 .如图，P是A43c所在平面外的一点，且PA_L平面ABC,平面尸AC_L 平面P8C.求证8C_LAC.分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线及该平面垂直，即从线 面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作力£>_LPC,交PC于D.

5、因为平面24C_L平面 PBC于PC, AOu平面PAC,且力。_LPC,所以AO_L平面P8C.又因为 8Cu平面尸8C,于是有AO_L3C.另夕卜尸A_L平面ABC, BCu平面A8C, 所以P4_L8C.由及AOC|PA = A,可知8C_L平面24c.因为ACu平 面尸AC,所以8C_LAC.说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系, 通过本题可以看到，面面垂直=线面垂直=>线线垂直.4 .过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC,如图，N8SC=90。,ZA5C=ZASB = 60°,若截取 SA = S3 = SC = 求证：平面A8C_L平面3

6、SC；求S到平面A8C的距离.分析：要证明平面46CJ.平面6SC,根据面面垂直的判定定理，须在平面48c或平面8SC内找到一条及另一个平面垂直的直线.(1)证明：V SA = SB = SC = af又 Z4SC=ZAS8 = 60。，AAS3和AASC都是等边三角形, AB = AC = a，取8C的中点，连结AH, /. AH LBC.在 A/ABSC 中，BS = CS=a, : SH LBC, BC =,：.AH2 = AC2-CH2 = a2a)2 =在 中，SA2 = a2：.SA2 =SH2+HA2 9 : AH 工 SH , AH，平面SBC.：AHu平面ABC,，平面ABC

7、 J.平面BSC.或：SA = AC=A3,工顶点4在平面BSC内的射影”为ABSC的外心,又WSC为Rd, 在斜边8c上，又MSC为等腰直角三角形，”为8C的中点，平面8SC. 人匚平面48。，平面A8C_L平面8SC.解：由前所证：SH_LAH, S_L3C, S”_L平面ABC,/. SH的长即为点S到平面48c的距离，.二点S到平面A8C的距离为.、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过力且垂直于的平面分别交、于A F、G,求证：±±6 .在四棱锥中，侧面是正三角形，且及底面垂直，已知底面是面积为2、6的菱形，ZADC= 60°, M是中点。(1)求证：1求

8、证：平面，平面7 .在多面体中，1, 2, 面求证：平面；求证：平面，平面题型二、空间角的问题1 .如图示，在正四棱柱ABC。-中，48 = 1,%=逐+1, E为网上使8避=1的点，平面AEC交。R于F,交AQ的延长线于G,求：（1）异面直线及GG所成的角的大小（2）二面角A-GG-4的正弦值2 .如图，点4在锐二面角。-MN-4的棱A/N上，在面a内引射线AP,使 AP及何N所成的角NPAM为45。，及面方所成的角大小为30。，求二面角 a MN一4的大小.分析：首先根据条件作出二面角的 平面角，然后将平面角放入一个可解 的三角形中（最好是直角三角形），通 过解三角形使问题得解.解：在射线

9、AP上取一点8,作3”_1.尸于“，连结A“，则A”为 射线AP及平面，所成的角，.N8AH = 30。.再作BQ_LMN,交MN于。， 连结"Q,则。为8。在平面月内的射影.由三垂线定理的逆定理， HQLMN , .NBQH为二面角2 /WN 户的平面角.设8。= ，在 R/ABAQ中，N8QA=90°,N8AM =45°,/.AB = VL，在山 BHQ 中,V2"2rh . "6ABHQ = 90。, 8。= a, BH =msin ABQH =一=三.N8QH是锐角，.N8Q" = 45。，即二面角 a MN 月等于45。.说

10、明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线及平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而 且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.3. 正方体的棱长为1,0是AO的中点.求二面角A - B"尸的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取 了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因及其他条件没 有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用.在 解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到A8垂直于平 面AR, 在平面AR上的射影就是AR .再过夕作4R的垂线夕。则 尸EJ

11、.而A8R,过尸作的垂线/石，NP石尸即为所求二面角的平面角了.11 / 11解：过户作8a及的垂线，垂足分别是七、/，连结EA.从8_1面4。1,尸Fu面A。1，ABPF,又PE_LAA，尸产_1面八瓦小又PE_L8R, M_L8R, NPE/为所求二面角的平面角.:R2DD s "FA,，.而，DD = 1, AD、=叵,在 APB"中，.； PE 工 BD,.在RME3中，PeTpB=BE?=显,在RME/中，ZPEF=30°.4垂直于矩形所在平面，肌A N分别是、和的中点,(1 )求证：平面(2 )若二面角尸一一月为三，求证:平面_L平面45.已知正方体中ABC。-4用GA，E为棱CG上的动点，(1)求证：A|E_L (2)当E恰为棱CG的中点时，求证：平面_1平面E8O(3)在棱CG上是否存在一个点E,可以使二面角A-BO-E的大小为 45。？如果存在，试确定E在棱上的位置；如果不存在，请说明理