三角函数资料总结(详细版)

1、正害U: secr , r,x k , k Z y三角函数1.任意角的三角函数在角 的终边上任取 一点P(x,y),记: r OP &y2 ,如图1-8所示正弦：sin,x Rr余弦：cosx,x Rr正切：tan±x k-,k Zx2x余切：cot ,x k ,k Zyr . 一 一，一,x k 一, k Z 余割：cscx2以上六种函数都称为三角函数，其中正弦、余弦、正切、余切曲线如图1-9所示:10图1-9显然正弦、余弦函数的最小正周期是2 ,正切、余切函数的最小正周期是2同角三角函数的基本关系式1, tan cot 1。倒数关系：sin csc 1, cos secc

2、ossin平方关系：22sin2cos222221,1 tansec , 1 cotcsc商数关系：tansincotcos3、诱导公式 2k (k Z)、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 前面加33 一 、一 、的三角函数值，等于的异名函数值,2222上一个把看成锐角时原函数值的符号。 4、和角公式和差角公式coscossinsin()sinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintan()tantan1 tan tantan()tantan1 tan tan5、二倍角公式sin2 2si

3、n cos 2. 222cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ()2 tantan 221 tan6、万能公式22 tan1 tan2 tansin 2cos2 2, tan 22-1 tan1 tan1 tan万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 7、和差化积公式sin sin 2sincos22sin sin 2cossin22coscos2 coscos 228、积化和差公式1 ./一 sin()sin()sincos2cossin1 sin(2)sin()coscos1,一 cos(2)cos()sinsin1,一 cos( 2)cos()我们可以

4、把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。cos cos2sinsin9、辅助角公式asinx bcosx一a2 b2 sin(x )其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同,- bsin ,a2b2cosa,a2b2tan反三角函数前面所讲三角函数在其定义域内都是周期函数，并不是单值函数，其映射不是单射，因数，这样就存在反函数。例如限制 x 此在其定义域内不存在反函数。但我们可以限制自变量取值，使其在一定范围内成为单值函2,-2,函数y sinx为单值函数，y 1,1,存在唯一确定x 一,一|,使得y sin x,这时的反函数记为 y arcsinx,x 一,一2 22 2类似可

5、定义其他三角函数的反函数，各种反三角函数见下表1-1 ：表1-1名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx（x6-, _的反函数，叫做反正弦 函数，记作x=arsinyy=cosx（x C 0, 兀）的反函数，叫 做反余弦函数，记 作 x=arccosyy=tgx（x （- _ ,一）的反函数，叫2做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx（x 6 （0, 兀）的反函数， 叫做反余切函 数，记作 x=arcctgy理解arcsinx 表示属于-,一且正弦值等于x的角arccosx WtkWT0,兀,且余弦值等于x的角arctgx 表示属于（ - , 一 ）,且正切值等于x

6、的角arcctgxWtk 属于（0 ,兀）且余切 值等于x的角性 质定义域-1 ,1】-1 , 1(-巴 +OO)(-8, +OO)值域-,一10,兀(-,)（0,兀）单调性在-1 , 1上是 增函数在-1 ,1上是减 函数在（-OO, +OO）上是增 数在（-OO , +OO ）上 是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arc sinxarccos(-x)=兀-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=兀-arcctgx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x( x C -1 , 1 )arcsin(sinx )=x(x£-,)cos(ar

7、ccosx)=x(x C -1,1)arccos(cosx)=x(x e 0,兀1)tg(arctgx)=x(xCR)arctg(tgx)=x(x。(- -2 , -2 )ctg(arcctg x)=x(x C R) arcctg(ctgx)=x (xC(0,兀)互余恒等式arcsinx+arccosx= (x C -1,1 )arctgx+arcctgx= (X C R)注记：根据原函数和反函数的图形关于直线 y x对称，自己画出反三角函数的大致的图形双曲函数：双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切：thxshxchxxxe exxe e如图所示双曲函数公式sh(xy) shxchychxshy ；ch(xy) chxchyshxshy ；,2ch x,2sh x 1 ；sh2x2shxchxch2x=ch 2x反双曲正弦：y反双曲余弦：y反双曲正切：y arthxy= arthx= 1In1x21-x反双曲函数 双曲函数y shx, y chx (x 0), y thx的反函数依次为 arshx ; y = arshx = ln(x+ x2+1)archx ； y = archx = ln(x+ ,x2-1)反双曲曲线如图1-1