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倾斜直线轨道倒立摆控制算法设计,倾斜,直线,轨道,倒立,控制,算法,设计
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本科毕业设计(论文)题目：倾斜直线轨道倒立摆控制算法设计倾斜直线轨道倒立摆控制算法设计摘 要倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合的非线性系统，是进行控制算法验证和比较的标准平台之一。根据牛顿-欧拉和拉格朗日建模方法，构建并推出了一级倒立摆系统的数学模型，得到了它的空间状态方程，同时，分析并证明了倒立摆系统的开环不稳定性，可控可观性，应用PID算法，LQR算法和仿人智能算法实验对一级直线倒立摆的稳摆控制进行了仿真控制。进一步利用运用仿人智能控制算法，完成对倒立摆系统的摆起控制。本文设计了倾斜直线轨道一级倒立摆本体部分的设计，通过计算合理设计和选择了动力原件，支撑方式，传动部分等。关键词：倒立摆本体，PID控制，仿人智能控制，LQR控制。IDesign on Inclined Straight Track Inverted PendulumAbstractInverted pendulum is a nonlinear system who has robot technology, control theory, computer control other fields, and the combination of multiple techniques. It is one of the standard platform for control algorithm validation and more. I design a sloping straight line rail level inverted pendulum body section in this paper .Through calculating , I design and choice the original power support way, transmission parts and so on. According to the Newton - Euler and Lagrangian modeling method, I set up a primary mathematical model of inverted pendulum system and get the space state equation. At the same time, I analysis and prove that the instability of inverted pendulum system, also know that controllable is considerable or not. Using PID algorithm, the LQR algorithm and intelligent algorithm to control the level of stability of linear inverted pendulum swing are simulated and analysis.Using the human-simulated intelligent control, complete the swing-up control of inverted pendulum system.Keywords: Inverted Pendulum Ontology;PID control;LQR Control;Human-simulated Intelligent Control主要符号表u 列向量g 重力加速度 角度 导轨倾斜角度M 小车质量m 摆杆质量L 摆杆的长度B 小车摩擦系数l 摆杆惯量F 带轮对小车作用力X 小车位移G 小车重力N1 小车与摆杆竖直方向作用力F1 小车与摆杆水平方向作用力50目 录1 绪论11.1倒立摆系统的研究意义11.2倒立摆控制在国内外的研究情况11.3倒立摆系统的分类21.3.1直线倒立摆系列21.3.2环形倒立摆系列21.3.3平面倒立摆系列21.3.4复合倒立摆系列31.4倒立摆系统常见的控制方法31.4.1PID控制法41.4.2极点配置法41.4.3LQR控制法41.4.4模糊控制41.4.5神经网络控制41.4.6遗传算法41.4.7拟人智能控制51.5本文主要研究内容52 倒立摆系统建模与可控可观性分析62.1倒立摆的数学模型62.2系统的可控可观性分析112.3本章小结123 倒立摆系统稳定控制及其仿真133.1PID控制133.1.1PID控制理论133.1.2PID控制仿真143.2LQR控制算法173.3仿人智能控制203.3.1建立系统模型203.3.2控制器的设计213.4控制算法的分析比较243.5本章小结254 倒立摆的起摆控制及仿真264.1仿人智能控制起摆仿真264.2本章小结295 倒立摆机械系统设计方案305.1倒立摆机械系统方案设计305.1.1倒立摆系统组成305.1.2倒立摆本体总体方案的设计305.1.3倒立摆系统的工作原理315.1.4倒立摆系统总体方案的设计325.2倒立摆本体零件的设计与选型335.2.1摆杆的设计335.2.2电机的计算与选型335.2.3同步带的计算与选型365.2.4编码器的选型385.2.5轴承的选择385.2.6联轴器的选择395.2.7倒立摆本体装配图（见附录）405.3本章小结406 结论41参考文献42致谢44毕业设计（论文）知识产权声明45毕业设计（论文）独创性声明46附录471 绪论1.1倒立摆系统的研究意义在控制理论发展过程中，某一理论的正确性与否及其在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是一个这样的被控对象1。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，因而，成为进行控制算法验证和比较的标准平台之一。对倒立摆系统的研究而言，不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题。 同时，倒立摆控制可以反映控制方法对高阶次、不稳定、非线性、强耦合系统的控制能力，所以很多控制方法的验证都是通过对倒立摆控制来实的。因而，倒立摆的稳定控制在实际中有很多用场，倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的价值2。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。1.2倒立摆控制在国内外的研究情况 倒立摆控制系统的研究始于20世纪50年代，当时主要集中在直线倒立摆上面。20世纪50年代以Furutaetc、Tsachouridisetc4、ltohamy5等人分别给出了三级倒立摆基于线性模型控制策略的实验结果。1966年，Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出6。自此，倒立摆就备受控制界关注。S.Morim8等人于1975年采用最优控制和状态重构的方法完成对一级倒立摆的稳定制。1976年，Morietc首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制9。国外在20世纪70年代就开始对二级以上倒立摆的研究。1972年Sturgen 等人采用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，其线性状态反馈采用极点配置的方法获得，并采用全维状态观测器来重构了状态。S.Mori等人在1978年和1980年完成了对二级倒立摆系统和倾斜导轨上的二级倒立摆系统的控制9。另外，80年代后期，在非线性分析的控制策略上也卓有成效。1993年，Wiklund 等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆10。在国内，对倒立摆系统的研究虽然起步比较晚，但是随着用于倒立摆系统的控制理论和方法的广泛应用，国内很多大学和科研机构都在倒立摆控制上取得卓越成绩。1994年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制。2002年8月，李洪兴教授应用变论域自适应模糊控制算法成功地实现了全球首例“四级倒立摆实物系统控制”；自此之后，2003年4月，李洪兴教授领导的“复杂系统智能控制实验室”应用具有了高维PID调节功能的变论域自适应控制理论成功的实现了对平面运动二级倒立摆实物系统的稳定控制，并于2003年10月第一个成功的实现了平面三级倒立摆实物系统的控制11。张乃尧等用双闭环模糊控制方法对倒立摆进行了控制。李祖枢等人利用仿人智能控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题12。2005年，罗成等人实现了五级倒立摆的控制13。1.3倒立摆系统的分类最早的倒立摆仅仅只是单级直线型的。随着科技的进步和控制理论的展， 人们在此基础上又进行了拓展。现在的倒立摆系统已经由传统的直线一级倒立摆发展成很多种不同的倒立摆系统。由此，本文将从倒立摆系统结构方面介绍倒立摆系列。1.3.1直线倒立摆系列直线倒立摆是在沿直线导轨运动的小车上，装有一端固定于小车且可以绕转轴旋转的摆体组件的模型，小车只能沿导轨做水平运动。根据小车上装有摆杆的数目，可分为一级、二级甚至多级摆。根据有无缓冲装置，其有直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆之分。二级直线倒立摆如图1.1所示。1.3.2环形倒立摆系列环形倒立摆是在只能绕轴做圆周运动模块上装有摆体组件，其一级环形倒立摆如图1.2所示，根据摆体组件的级数和连接的方式，可以组成很多形式的倒立摆。1.3.3平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，如图1.3所示，摆杆的底端可以在平面内自由移动，并且摆杆可以沿平面内的任意轴线转动。根据倒立摆摆杆底端运动平台装置的不同，驱动的数目可能各不相同，但是至少需要两个电机驱动。平面运动模块主要有XY运动平台和两自由度SCARA机械臂两大类，依据摆杆也可以分成一级、二级、三级等不同倒立摆。1.3.4复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是1.2.2中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆3。其结构如图1.4所示。图1.1 二级直线倒立摆 图1.2 一级环形倒立摆图1.3 平面倒立摆 图1.4 复合倒立摆1.4倒立摆系统常见的控制方法控制器设计是倒立摆系统的核心内容。因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为了实现倒立摆稳定性控制，并且可以承受一定的干扰，就必须选择行之有效的控制方法。以下是现阶段运用较广的控制方法：1.4.1PID控制法PID控制依据牛顿一欧拉方法建立动力学模型，建立倒立摆的运动方程，并在平衡点处进行线性化得到系统的状态空间方程和传递函数，从而设计出PID控制器实现控制。PID通过调节比例Kp、积分Ki、微分Kd系数来实现倒立摆的稳定控制。1.4.2极点配置法极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置14。通过选择适当的状态反馈矩阵，使闭环系统的极点位置在所期望的位置，这就使得状态反馈的技术实现往往比输出反馈复杂。1.4.3LQR控制法LQR最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小，易于构成闭环最优控制。在倒立摆系统中，根据期望性能指标选取Q和R，得到与状态量相关的、用来平衡状态量权重的反馈矩阵，通过改变Q得到不同反馈矩阵的值，以达到对摆稳定控制的目的。1.4.4模糊控制模糊控制是基于模糊逻辑的描述一个过程的控制算法，主要嵌入操作人员的经验和直觉知识。模糊控制可以用于倒立摆的起摆和稳摆控制。模糊控制可通过建立输入量和输出量的隶属函数，采用设定的模糊控制表，建立输入与输出的关系，以得到模糊控制器。通过模糊控制器来控制倒立摆。1.4.5神经网络控制神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，它能够学习和适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息按等势分布储存与网络内的神经元，有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制15。1.4.6遗传算法遗传算法的思想是基于达尔文的进化论和蒙德尔的遗传学原理，并且是一种模拟自然选择和遗传机制的寻优程序，主要实现将3个Pm参数串接在一起构成一个完整的染色体，从而构成遗传空间中的个体，通过繁殖交叉和变异遗传操作生成新一代群体，经过多次搜索获得最大适应度值的个体即所求。尤其适合于复杂问题的求解。1.4.7拟人智能控制拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。拟人智能控制研究的是控制器本身不是被控对象，凭借人的知识与直觉经验并借助计算机快速模拟控制经验，把人的思维中的定性分析与控制理论中的定量计算相互结合，从而实现拟人智能控制。1.5本文主要研究内容本文设计出倾斜轨道一级倒立摆系统基本构造，并对倒立摆系统进行建模分析，验证系统的可控性和可观性。在此基础上，设计相关控制算法，用MATLAB中的Simulink对一级倒立摆稳定控制进行仿真，验证设计的可行性，分析和比较三种算法。具体内容如下：a.对倒立摆系统的研究意义和发展状况，根据结构进行了分类，不同控制理论的特点及应用场合进行了总结。b.根据成型的倒立摆系统，掌握其基本构造和控制工作原理。通过类比，设计倒立摆系统，绘制其装配图。c.建立了倾斜直线轨道一级倒立摆的数学模型，推导出微分方程，以及线性化后的状态方程。根据状态方程，证明了倒立摆系统的可控性和可观性。d.利用PID法，LQR法和仿人智能控制对倾斜直线轨道一级倒立摆进行了稳摆仿真控制。改变对应参数后运行仿真模型查看各参数对控制效果产生的影响的规律。然后，对三种算法进行比较。e.利用仿人智能控制和LQR算法，采用仿人智能控制对倾斜直线轨道一级倒立摆进行起摆控制，设计起摆控制器。 2 倒立摆系统建模与可控可观性分析系统建模可以分机理建模和实验建模两种方法。实验建模是根据确定的输入信号和可以检测出来的输出，建立起系统的输入一输出关系。机理建模就是在研究对象的运动规律基础上，通过一些手段建立起系统内部的输入一输出关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自非线性系统，且存在不稳定性，实验建模存在一定的困难。在忽略一些次要因素的条件下，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程16。此时， 可以采用牛顿一欧拉方法，也可以采用拉格朗日方法建模。本文采用牛顿一欧拉 的方法，建立倒立摆的数学模型。其思路是求出小车在X方向和摆杆在x、y方向的运动方程和力矩方程得到倒立摆系统的数学模型。最后对倒立摆进行可控性可观性分析。2.1倒立摆的数学模型假设倒立摆系统中，小车的质量为M，摆杆长度为L，摆杆质心到旋转点的距离为A摆杆与竖直方向的夹角为。以水平方向和竖直方向作为建模的x、y方向，对其进行受力分析，得出运动方程。其系统模型和受力分析分别如图2.1和图2.2所示：图2.1 倒立摆系统模型图a 小车受力分析图图b 摆杆受力分析图图2.2 小车和摆杆的受力分析根据图2.2中小车受力分析图，可以得到以下方程。分析水平方向上的力，可以得到下面方程： (2.1)分析竖直方向上的力，可以得到下面方程：（2.2）由（3.1）和（3.2）两式可以得到下面方程：（2.3）从摆杆水平方向的受力分析可以得到下面的方程：（2.4）（2.5）对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（2.6）计算得： （2.7）将式（2.5）和（2.7）代入式（2.3）可得:（2.8）对于摆杆，力矩平衡方程有： （2.9）将式（2.7）和（2.5）代入式（2.9）中可以得到下面方程： （2.10）为便于控制器的设计，需要将系统在工作点进行线性化处理。可以进行近似处理有: ,经过线性化处理后得到的方程有： （2.11）对（2.7）中的方程组计算可得：（2.12） 对于式（2. 12）所示的状态方程，取状态变量，可以将直线一级倒立摆系统的状态方程写成矩阵形式，如 （2.13）实际系统的模型参数如下： 小车质量 摆杆质量 摆杆长度 摆杆质心到旋转点的距离 小车摩擦系数 摆杆惯量 倾斜角度 由此可以得出，当时，系统的状态空间方程为: （2.14）将式（2.11）进行拉普拉斯变换可以得到： （2.15）则有： （2.16）令时，式（3.16）可以化为： （2.17） 由于所设计的摆杆为均匀质体，有转动惯量，代入式2.11中： （2.18） （2.19）设，此时倒立摆系统的状态空间方程为： （2.20）2.2系统的可控可观性分析若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点（平衡工作点），则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。对于所控制的系统是连续时间性的，其状态空间方程为：系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B,ABAn-1B是线性无关的，或维矩阵BABAn-1B的秩为n。系统的输出可控性的条件为：当且仅当矩阵CBCABCA2BC An-1BD的秩等于输出向量y的维数。应用以上原理对设计的倒立摆系统进行可控性分析: 在MATLAB中代入上面的矩阵，运用附录1的程序运算，得出的结果为：ans=4 ans=2从结果可以看出，计算出来矩阵A的秩为4，与矩阵A的维数相同，故A 矩阵是线性无关的，则系统状态完全可控。同时，cona2的秩与系统输出向量的秩相同，故系统的输出可控。根据上面的矩阵，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中运行附录1的程序，可以得到系统阶跃响应图2.3。图2.3 倒立摆单位阶跃响应从图2.3可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。2.3本章小结本章运用了牛顿一欧拉的方法建立了直线一级倒立摆的数学模型，并对推导出的运动方程进行线性化处理，由此得到了系统的空间状态方程，以及角度与位移的传递函数。运用MATLAB对倒立摆系统进行可观性和可控性分析，从结果可知系统是可控、可观的。同时，空间状态方程的建立也为后面进行稳摆控制做了铺垫。3 倒立摆系统稳定控制及其仿真3.1PID控制3.1.1PID控制理论在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制。PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。PID控制的基本思想是：通过测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定。PID是以它的三种纠正算法而命名的。这三种算法都是用加法调整被控制的数，其输入为误差值（设定值减去测量值后的结果）或是由误差值衍生的信号。这三种算法是：a.比例比例来控制当前，误差值和一个正值的常数KP（表示比例）相乘。KP只是在控制器的输出和系统的误差成比例的时候成立。b.积分积分来控制过去，将误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数KI。KI从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差，可以用来消除系统静态误差。c.微分微分来控制将来，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数KD相乘。这个导数的控制会对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。根据PID控制原理建立倒立摆控制器。倒立摆系统中，在输出量为摆杆的角度情况下，倒立摆稳摆时它的平衡位置为垂直向上。系统控制结构框图如图3.1 所示。其中G（s）为摆杆的传递函数：图3.1 系统控制结构图在输入r（s）=0的情况下，系统控制结构图可以变换成下面的形式:图3.2 系统控制结构图3.1.2PID控制仿真根据前面PID控制原理，设计出倒立摆的控制系统仿真图，用Simulink建立仿真模型如图3.3所示：图3.3 PID仿真模型先设置PID控制算法为P控制算法，令, , ,得到以下仿真结果见图3.4：图3.4 直线一级倾斜直线轨道倒立摆P控制仿真结果图（Kp=9）从图中可以看出，控制曲线不收敛，因此增大控制量,得到以下仿真结果见图3.5：图3.5 直线一级倾斜直线轨道倒立摆P控制仿真结果图（Kp40）从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。为消除系统的振荡，增加微分控制参数，令,所得到的仿真结果如下图3.6：图3.6 直线一级倾斜直线轨道倒立摆PD控制仿真结果图（Kp40，Kd1）从图中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在三个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数，令，仿真得到的结果如图3.7：图3.7 直线一级倾斜直线轨道倒立摆PID控制仿真结果图（Kp40，Kd10）从上图可以看出，系统在1.5秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。为消除稳态误差，我们增加积分参数，令，得到以下仿真结果如图3.8：图3.8 直线一级倾斜直线轨道倒立摆PID控制仿真结果图（Kp40，Ki20，Kd4）从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。3.2LQR控制算法利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器。倒立摆LQR控制器的设计属于连续系统的二次型设计。假定线性连续定常系统的状态方程为： （3.1）寻求控制向量u*（t）使得二次型目标函数 （3.2）最小，根据极值原理可得到最优控制规律即 （3.3）其中K为最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提代数方程， 即： LQR算法中，Q和R两个参数分别体现控制过程中对动态跟踪误差和消耗总能量的要求。在倒立摆系统的控制过程中，我们的控制目标首先是要有良好的动态性能，其次才是对能量的消耗要求。LQR中，确定加权矩阵Q，R是很重要的工作，这两个参数在使性能指标函数最小的过程中使输入和系统的状态达到平衡。通常，令R=1，则参数的调节主要集中在Q矩阵上。最简单的情况是先假定：R=1，Q=CTC。其中，Q矩阵中Q11代表小车位置的敏感程度；Q33代表摆杆角度的敏感程度；R代表输入量的敏感程度。在Simulink中建立直线一级倒立摆的模型如下图3.10所示：图3.10 LQR仿真模型图3.11 小车位移曲线图3.12 小车速度曲线图3.13 摆杆的位置、角度、角速度曲线如图，经过对比仿真可见，加权矩阵Q取值不同，状态反馈矩阵K也会随之改变，用于倒立摆的稳定控制都能实现稳定控制，这说明LQR最优控制用于直线一级倒立摆的稳定控制是有效的，增益矩阵K起到了很好的稳定控制作用。令R=1，Q11=1，Q33=1，运行程序后可得到图3.14：图3.14 小车位置和摆杆角度仿真图由图3.14可得，小车的位置和摆杆角度随着时间的变化，摆杆角度逐渐稳定在平衡位置，而小车位置则稳定在距离平衡位置约0.2个单位位置处。3.3仿人智能控制仿人智能控制在控制过程中利用计算机模拟人的控制行为能力，最大限度的识别和利用控制系统动态过程所提供的特征信息进行启发和直觉推理，从而实现对缺乏精确数学模型的对象进行有效的控制。系统的传递函数是根据拉格朗日的方法建模。3.3.1建立系统模型采用拉格朗日的方法建立模型。建模时作如下假设：a.摆杆为均匀刚体质杆，其几何中心即为摆杆质心；b.小车与轨道之间的摩擦为面摩擦；c.摩擦系数为一恒定的值，不随环境状态而变化。一级倒立摆各个部件的动能与势能表达式：小车动能： （3.4）摆杆动能： （3.5）小车势能： （3.6）摆杆势能： （3.7）小车与轨道滑动摩擦的耗散能： （3.8）摆杆绕小车转动摩擦的耗散能： （3.9）构建拉格朗日方程： （3.10）其中为选定的广义坐标向量,为系统在广义坐标上所受驱动力；将（3.10）式所表示的微分方程组式化简为如下形式: （3.11）其中：（3.12）由此可知，一级倒立摆系统是典型的单输入多输出的非线性多变量系统，令，由微分方程组（3.11）可以得到建立倒立摆系统的状态方程： （3.13）3.3.2控制器的设计在摆起倒立过程中，采用了控制转换的方法，即将控制过程分为激振、摆起 和倒立稳摆三个阶段。激振阶段是使具有一定的能量，即给摆杆一个绕轴顺时针 旋转的激振，摆起阶段是让摆杆旋转到水平线以上，为稳摆阶段做准备。稳摆阶 段是实现倒立稳定控制。其初始激振阶段的控制规律： （3.14）a.起摆控制阶段通过激振阶段摆杆不断的获得能量，当能量达到足够值时，小车拉动摆杆迅速摆起到水平面以上，此时在施加一个方向相反的磅-磅控制，推动摆杆继续向稳摆区域旋转摆杆在小车的作用下被抓举起来。控制函数为： （3.15）b.稳摆控制阶段通过上式的计算判断过程，当小车带动摆杆摆动到稳摆的区域范围内时，通过和摆杆连接的编码器将数据信号反馈给控制器，经过计算，控制器进行从摆起到稳定过程的转化，再将相应的信号传送给电机驱动器，进而控制电机。稳定控制函数： （3.16）其中，即小车和摆杆的比例与微分系数，e则为小车位移误差、摆杆角度误差、小车速度误差、摆杆角速度误差所组成的列向量。仿真系统由被控对象、动画模块、感知模块等模块构成。其仿真图如图3.15 所示：图3.15仿人智能模型其中，控制器如图3.16所示：图3.16 控制器仿人智能控制的仿真如图所示：图3.17 小车位移曲线图3.18 小车速度曲线图3.19 摆杆角度曲线由上图可知，小车从平衡位置开始运动，速度从反方向开始逐渐增大，后大约在2.4s做加速度为零的匀速运动，而小车从平衡位置起先向正方向运动至3s左右，后又向反方向运动，最终回到平衡位置。3.4控制算法的分析比较从三种控制算法的仿真图可知，三种控制算法均可实现对倒立摆系统的稳定控制。PID控制算法中的比例、微分、积分系数都能比较好的控制系统，改变系数Kp，Ki，Kd可调节系统的响应时间、超调量和静态差，让摆杆快速趋于稳定，只是系数不好选定，要慢慢选取出来；LQR算法通过反馈矩阵控制系统的变化，仿真结果比较符合实际值。增大矩阵Q中参数的值，可以明显的看到超调量发生改变，振荡有所加剧，但系统趋于稳定所需的时间明显减少，这时如果再增大Q，系统的响应还会有所改善，但是在保证Q足够小并兼顾其它响应指标时，系统响应已经能够满足要求了。增大Qn值，摆杆的角速度明显改变，小车的速度改变不明显，由此可知，LQR控制中可以比较好地控制住摆杆，但是对小车的控制效果却稍差些。仿人智能控制模拟人的感应，其控制效果好，改变控制系统参数，系统动态响应曲线有明显变化。从控制算法的复杂程度来看，PID控制最为简单，只需改变系统的三个系数，就可以调节系统状态。LQR要根据所建立的状态方程和加权矩阵Q，R得到反馈矩阵，具有一定的计算量。仿人智能控制需建立感应模块，在此基础上实现对倒立摆的控制。3.5本章小结本小结主要将PID控制，LQR控制和仿人智能控制用于倒立摆稳定控制，改变各自的参数，观察其对系统响应曲线的影响，最后得知三种算法均可实现对倒立摆的稳定控制，且控制效果较好。另外，对三种控制算法做了分析比较。4 倒立摆的起摆控制及仿真倒立摆系统的起摆控制就是在给摆杆施加力的作用力的条件下，让摆杆从静止下垂状态旋转到竖直向上的状态。在摆起的过程中，既要求摆杆起摆速，又不能过于超调15。目前，比较常见倒立摆的起摆控制有能量反馈、时间最优控制、仿人智能控制、变结构控制等方法。4.1仿人智能控制起摆仿真根据前面设计出的仿人智能控制器，其可以实现起摆和稳摆两种控制，以其为基础建立的系统模型为图4.1：图4.1 仿人智能控制模型运行程序后，仿真波形如下图所示：图4.2 小车位移图4.3 小车速度图4.4 摆杆速度图4.5 摆杆角速度图4.6 小车所受作用力通过上面图可以看出，仿人智能控制对倒立摆的起摆控制是有效的。在初始激振阶段小车来回运动，然后在较大的一拉一推的作用下摆杆甩起到水平线上方，随后，进入稳摆控制阶段并很快趋于稳定。4.2本章小结本章运用仿人智能控制实现了倒立摆的摆起控制。较前几种控制方法相比，仿人智能控制是最复杂的，但效果还是可以的。5 倒立摆机械系统设计方案5.1倒立摆机械系统方案设计5.1.1倒立摆系统组成倒立摆系统由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统，倒立摆本体由被控对象、传感器和执行机构等组成。其结构如图5.1所示。5.1 倒立摆系统框图其中，被控对象由小车和摆杆组成，摆杆连接在小车上，并可以围绕连接轴自由旋转，通过给小车施加适当的力可以将摆杆直立起来并保持稳定的状态；执行机构为电机和与之连接的皮带轮，电机的转矩和速度通过皮带轮传动到小车上，从而带动小车来回运动。电机驱动由其配套的伺服驱动器提供。电机编码器和角编码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置。5.1.2倒立摆本体总体方案的设计设计的倾斜直线轨道倒立摆本体的结构如图5.2所示。其设计是先设计出水平直线一级倒立摆的本体结构，再此基础上用支架将其支撑，并用用螺钉将其固定，使倒立摆和桌面有个倾斜角度，从而达到设计的目的。图5.2 倒立摆本体结构这样设计出来的倒立摆本体比直接设计出倾斜轨道倒立摆要简单的多，省去了一些不必要的部件，更加方便，而且也可用于其他方面的研究。5.1.3倒立摆系统的工作原理直线一级倒立摆的工作原理框图如图5.3所示。图中光电码盘1在电机上，用来获得小车的位移和速度信号。测量装置用来测量小车上摆杆的旋转角度和角速度。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制策略，并发送给运动控制卡。运动控制卡经过DSP内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，使摆杆摆起来。图5.3 倒立摆系统工作原理图5.1.4倒立摆系统总体方案的设计倒立摆系统由计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体等几大部分组成。现要对倒立摆本体中一些重要部分进行设计和选型，如对电机部分、光电码盘的选择以及传动部分的设计等。同时，也要对倒立摆系统其他重要部分进行设计。根据自己所了解的内容，利用形态学矩阵选出适合倒立摆系统的方案。方案选用如表5.1所示。表5.1倒立摆系统形态学矩阵1234电机步进电机直流伺服电机交流伺服电机一般电机测量装置光电式编码器接触式编码器增量式光电编码器传动方式同步带传动齿轮齿条传动普通V带链传动控制系统单片机DSP嵌入式系统PLC由列出的倒立摆系统矩阵能够得知，可以采用的方案个数:N=4x3x4x4=192。从这些方案中挑选出最佳的方案。首先从电机各自的特点中进行筛选，步进电机功率小，输出力矩小，惯量和体积小，安装方便，但存在失步; 直流伺服电机精确的速度控制，转矩速度特性很好，可控性好，稳定性高，无自转现象，但存在机械换向器，需要较多的维护；交流伺服电机具有良好的速度控制特性，在整个速度区内可实现平滑控制，高速控制，高精确位置，同时，控制结构简单，坚固耐用，体积小，质量轻，没有机械换向，无需多少维护。故优先选择交流伺服电机。在测量装置方面，光电式编码器和增量式光电编码器均为非接触式的，因而无磨损，使用寿命长，可靠性高。增量式编码器是将位移转换成周期性的电信号，再把这个电信号转变成计数脉冲，用脉冲的个数表示位移的大小。绝对式编码器的每一个位置对应一个确定的数字码，因此它的示值只与测量的起始和终止位置有关，而与测量的中间过程无关。相比之下，光电式编码器具有抗干扰强、无需掉电记忆的优点。但两种编码器均可用于倒立摆系统，从经济方面考虑，选用增量式光电编码器。在传动方式上，普通V带最为简单，能实现传动功能，但容易出现打滑现象；齿轮与齿条传动效率和传动精度虽高，而且存在磨损，噪音大；链条传动成本低，但其瞬时传动比不确定，传动链传动存在链节易磨损而使链条伸长，从而造成跳齿，甚至脱链，工作时有燥音；同步带传动过程中无相对滑动，可保持恒定的传动比，传动精度高，工作平稳，噪音小。由于链传动和齿轮传动均存在磨损，影响传动精度，故同步带更适合于倒立摆系统传动。在控制系统上，单片机系统能够实现一些简单的运算和控制；PLC是在单片机的基础上加了输入输出的驱动能力，其抗干扰能力增强；DSP具有更快的CPU，更大容量的存储器，能够同时存取程序和数据，内置高速的硬件乘法器，具有高速的数据运算能力。在倒立摆系统中，需要进行计算和存取数据，故选择DSP系统更好。经过以上分析，确定了倒立摆系统的总体方案为：交流伺服电机+同步带+增量式光电编码器+DSP系统特点：高响应，高精度，良好的伺服特性，不失步，可靠性高5.2倒立摆本体零件的设计与选型5.2.1摆杆的设计参考固高科技直线一级倒立摆的模型，先初步确定摆杆的长度为L=60cm，直径d=10mm。在满足要求的情况下，尽可能选取密度小的材料，现选择型号为 LD30的铝合金，其材料的密度=2.75kg/cm3。摆杆的一端有螺纹孔，通过螺钉与小车上的轴相连，使其固定在小车上，其形状如图5.4所示：5.4 摆杆外形图5.2.2电机的计算与选型电机作为倒立摆系统中唯一的动力原件，对系统起着十分重要的作用。交流伺服电机选择日本松下品牌的，其特点有：采用松下公司独特算法，使速度频率响应提高2倍，达到500HZ；定位超调整定时间缩短为以往产品的1/4；具有共振抑制和控制功能；具有全闭环控制功能；环境适应性强，配有多种编码器，适合各种用户。由于小车的运行速度不是很快，故选择小功率的电机即可。现初步选定电机的功率为200w，其型号为MSMA012A1C。a.电机启动加速力矩由电机手册可查的电机启动加速力矩： （5.1）式中：Ma电机启动加速力矩（），Jm,Jt 电机自身惯量与负载惯量（）， n电机所需达到的转速（），T电机升速时间（s）初选定带轮的直径d=40mm，由于设定的主动轮和从动轮相同，其传动比为1，由机电一体化查得钢带传动: ,则小车折合到电机的转动惯量： （5.2）在忽略齿轮和摆杆惯性力的情况下，小车折合到电机上的负载惯量： （5.3）查电机手册可以得知，电机自身惯量，则惯量比为： （5.4）由于选择电机要参考转速，转矩，惯量和惯性比，所以该电机不能满足要求，定位精度受到影响。现选功率为400w的伺服电机，则有： （5.5）明显，功率为400W的电机的惯性能够满足要求，定位精度要高得多。则该电机启动转矩： （5.6）b.摩擦负载力矩查阅相关资料后可以得知摩擦负载力矩： （5.7）导轨摩擦折算至电机的转矩；摩擦系数；传递效率；r与同步带相啮合的齿轮半径；则系统摩擦负载力矩： （5.8）由计算公式可知， （5.9）由计算公式可知， （5.10）经过分析和计算，最终选定功率为400W的伺服电机。其型号为MSMA042A1G。该交流伺服电动机是一款小惯量、额定输出400W、驱动电压200V、带有增量式旋转编码器、有键槽、无制动器、有油封的交流伺服电动机。其基本参数为：驱动电压：U=0-100V额定功率：PN=400W定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=0.37X10-4kg m2额定转矩：TN=1.3N m最大转矩：TM=3.8N m基本尺寸为：LL=138. 5mm， LR=30mm，LF=7mm，LE=3mm，LC=60mm，LW=25/22， KW=59mm，基本构造如图5. 5所示。图5.5 电机基本尺寸5.2.3同步带的计算与选型同步带传动是带传动中特殊的一种。它综合了带传动、链传动和齿轮传动各自的优点。同步带作为倒立摆系统的传动部分，带动小车在导轨上来回运动，当同步带轮转动时，通过带齿与轮的齿槽相啮合来传递动力，由于带与带轮之间没有相对滑动，从而保证了同步传动。对同步带设计如下：a.计算设计功率根据前面计算出的功率，初步确定伺服电机的功率为60w，由工作情况查机械设计手册表13-1-68得工作情况系数为1.2，查表13-1-67可知功率计算公式则有： （5.11）b.选定带型和节距由选取的电机可以得知，主动轮的最高转速为3000r/min，查机械设计手册图13-1-7和13-1-8可得，选取带型为XXL，节距Pb=3.175mm。c.选择主动轮齿数由主动轮的转速，查机械设计手册表13-1-69得知主动轮的最少齿数为16，现选取主动轮的齿数为Z=40。d.主动轮节圆直径确定由机械设计手册查表13-1-67可知公式则有节圆直径: （5.12）e.从动轮相关参数确定由于系统传动比为1:1，所以从动轮相关参数数据与主动轮完全相同。齿数 Z2=40，节距 Pb=3.175mm，d2=40.45mm。f.带速V的确定由机械设计手册查表13-1-67可得公式: ，。则有带速: （5.13）g.间距两带轮中心距为:a=908mmh.同步带带长确定由机械设计手册查表13-1-67可得，则有带长： （5.14）i.带宽的确定查机械设计手册表13-1-67得：则有带宽： （5.15）故选择带的宽度为10mm。j.带轮啮合齿数计算在本设计中传动比为1，所以啮合齿数为带轮齿数的一半，即Zm=20。根据所选的同步带的类型，可以得知同步带的基本尺寸为：齿型角 齿根厚s=1.73mm，齿高ht=0.76mm，带高hs=1.52mm，齿根圆角半径rr=0.20mm，齿顶圆角半径h=0.30mm，其基本尺寸如图5. 6所示。图5.6 同步带基本尺寸5.2.4编码器的选型编码器是将信号或数据进行编制、转换为可用以通讯、传输和存储的信号形式的设备。编码器将小车和摆杆的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制模块，计算机从运动控制模块中读实时数据，确定控制决策，即控制小车在导轨上的移动位移、移动速度、移动加速度及其方向，并由运动控制卡控制决策，产生相应的控制量，使电动机转动，带动小车在导轨上来回运动。检测小车位移的编码器由倒立摆系统中所选的伺服电机自带编码器。检测摆杆角度用以反馈给运动控制卡，实时控制决策的编码器为增量式光电编码器。增量式编码器转轴旋转时，有相应的脉冲输出，其旋转方向的判别和脉冲数量的增减借助后部的判向电路和计数器来实现。翻阅相关资料后，检测摆杆角度的编码器选用为欧姆龙 E6A2-CWZ3C 500P/R 0.5M型编码器。其基本性能参数为：电源电压DC5V-5% 12V+10%，消耗电流50mA以下，分辨率500脉冲/旋转，最高响应频率30kHz，起动转矩1Nm以下，惯性力矩以下，轴径向允许力10N，轴向允许力 5N，允许最高转速5000r/min，工作时-10+55C，保存时-25+80C，外壳材质为铝合金，本体金属部材质为铝，轴的材质为SUS420J2，其外形尺寸如下图 5. 7所示；图5.7 编码器基本尺寸5.2.5轴承的选择轴承是在机械传动过程中起固定和减小载荷摩擦系数的部件，用以支撑机械旋转体，降低设备在传动过程中的机械载荷摩擦系数。在倒立摆本体的一端需要轴承用以支撑从动轮，使其可以随主动轮旋转。由于装有从动轮的轴几乎不受轴向力，则选择深沟球轴承即可满足要求。现初步选定轴承型号为6000轴承。其参数为：内径10mm，外径26mm，厚度8mm，C额定动载荷4550N，Co额定静载荷1960N。a.计算轴向力和径向力轴向力: （5.16）查机械设计手册表13-1-67可得：轴承所受径向力 （5.17）b.计算载荷系数查机械设计第十三章可得： （5.18）固有载荷系数x=1，y=0c.计算当量动载荷由机械设计第十三章中表可知，取 （5.19）d.验算轴承的寿命由机械设计第十三章可知轴承寿命计算公式： （5.20），所以轴承的选择符合要求。5.2.6联轴器的选择 联轴器在倒立摆系统中，用以连接小车的轴和编码器。根据小车轴的尺寸，编码器的尺寸以及编码器需要用柔性联轴器相连，选取松铭RS锁紧式弹性联轴器。其基本尺寸为：D=15mm；L=20-30mm；d1=3-7mm；d2=3-7mm。5.2.7倒立摆本体装配图（见附录）5.3本章小结本章主要介绍了对倒立摆系统总体方案的设计，阐述了倒立摆系统的组成和工作原理。通过计算合理设计和选择了动力原件，支撑方式，传动部分等。 6 结论倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统， 因而，成为进行控制算法验证和比较的标准平台之一。对于倒立摆的研究除了稳摆的控制，另一个重要的方面就是研究起摆的控制以及起摆到稳摆过渡切换。本文围绕一级倒立摆系统，利用模糊控制理论与其它控制算法对它的起摆以及稳摆控制做了仿真。主要完成了以下工作：a. 介绍了研究倒立摆的意义，现有的倒立摆种类，倒立摆的发展过程，并做了倾斜直线轨道一级倒立摆本体部分的设计，通过计算合理设计和选择了动力原件，支撑方式，传动部分等。b. 根据牛顿一欧拉建模方法，构建并推到了一级倒立摆系统的数学模型并最终得到了它的空间状态模型。c. 论文先后应用PID控制算法，LQR控制算法和仿人智能控制对一级直线倒立摆系统进行仿真实验，在仿真的过程中对影响响应曲线特性的各个参数做了不同程度的变动，并作出了曲线的仿真图形，每次针对参数单变量数据进行分析和实验，得出了这些参数在仿真过程中对曲线动态特性的性能指标。对比不同控制算法得到的状态图，进行了以上三种控制算法的控制效果比较。d.运用仿人智能控制实现了倒立摆的摆起控制。改变稳摆的控制参数为LQR反馈矩阵的参数，同样实现了对倒立摆的摆起控制。由于本论文是第一次对倒立摆系统进行理论研究，有较多方面做得不是尽善尽美。论文所选方案仍需进一步改进和完善，在今后的工作中还需要深入研究的方面主要有：a. 在课题的数学模型的建立过程中，对控制对象进行了部分理想化处理,所以控制对象的建模问题上，有待于进一步提高精度。b.本文所有的仿真均是建立在MATLABSimulink软件下的，没有进行倒立摆实物实验，因此所得出的结论还没等到实例的验证。参考文献1 程会锋.倒立摆系统自动摆起控制的研究D.大连：大连理工大学，2009.2 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