高考数学一轮复习课时过关检测（四十九）直线与椭圆的位置关系

1、1 / 8 课时过关检测（四十九）课时过关检测（四十九） 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 a 级级基础达标基础达标 1直线直线 ykxk1 与椭圆与椭圆x29y241 的位置关系为的位置关系为( ) a相交相交 b相切相切 c相离相离 d不确定不确定 解析：解析：选选 a 直线直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点恒过定点(1,1)，又点，又点(1,1)在椭圆内部，故在椭圆内部，故直线与椭圆相交直线与椭圆相交 2设直线设直线 ykx 与椭圆与椭圆x24y231 相交于相交于 a，b 两点，分别过两点，分别过 a，b 两点向两点向 x 轴作垂轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，线，若垂

2、足恰为椭圆的两个焦点，则则 k 等于等于( ) a32 b23 c12 d 2 解析：解析：选选 a 由题意可知，点由题意可知，点 a 与点与点 b 的横坐标即为焦点的横坐标，又的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当，当 k0时，不妨设时，不妨设 a，b 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得，代入椭圆方程得 y132，y232，解得，解得 k32；同理可得当；同理可得当 k0 时时 k32. 3斜率为斜率为 1 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆x24y21 相交相交于于 a，b 两点，则两点，则|ab|的最大值为的最大值为( ) a2 b4 55 c4 10

3、5 d8 105 解析：解析：选选 c 设设 a，b 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线，直线 l 的方程为的方程为 yxt， 由由 x24y24，yxt消去消去 y，得，得 5x28tx4(t21)0， 则则 x1x285t，x1x24( (t21) )5. |ab| 1k2|x1x2| 1k2 ( (x1x2) )24x1x2 2 85t244( (t21) )54 25 5t2， 当当 t0 时，时，|ab|max4 105. 4(2021 唐山模拟唐山模拟)直线直线 x 3y 30 经过椭圆经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点的左焦点 f，交，

4、交2 / 8 椭圆于椭圆于 a，b 两点，交两点，交 y 轴于轴于 c 点，若点，若 fc2 ca，则该椭圆的离心率是，则该椭圆的离心率是( ) a 31 b312 c2 22 d 21 解析：解析：选选 a 记椭圆的右焦点为记椭圆的右焦点为 f，由题意得，由题意得 f( 3，0)，c(0,1)，则，则 f( 3，0)由由 fc2 ca，可得，可得 a 32，32，则，则|af|3.连接连接 af(图略图略)，则，则|af| 3，所以，所以2a|af|af|3 3，所以，所以 a3 32，又，又 c 3，所以该椭圆的离心率，所以该椭圆的离心率 eca33 32 31，故选，故选 a 5直线直线

5、 yx2 与椭圆与椭圆x2my231 有两个公共点，则有两个公共点，则 m的取值范围是的取值范围是( ) a(1，) b(1,3)(3，) c(3，) d(0,3)(3，) 解析：解析：选选 b 由由 yx2，x2my231，得得(m3)x24mxm0.由由 0 且且 m3 及及 m0，得得 m1 且且 m3. 6(多选多选)设椭圆设椭圆x29y231 的右焦点为的右焦点为 f，直线，直线 ym(0m0，x1x28k24k21， 所以所以x1x224k24k2112，即，即 k214， 所以所以 k12. 答案：答案：12 8一个中心为原点，焦点为一个中心为原点，焦点为 f(0,5 2)的椭圆

6、，截直线的椭圆，截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标所得弦中点的横坐标为为12，则该椭圆的方程是，则该椭圆的方程是_ 解析：解析：由题设知由题设知 c5 2，设椭圆方程为，设椭圆方程为x2a250y2a21，联立方程，联立方程 x2a250y2a21，y3x2，消去消去 y，整理得，整理得 (10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0， 由根与系数的关系得由根与系数的关系得 x1x212( (a250) )10a24501，解得，解得 a275，所以椭圆方程为，所以椭圆方程为x225y2751. 答案：答案：x225y2751 9.(2021 河北省衡水模拟河北省衡

7、水模拟)如图，一个球形广告气球被一束入射角为如图，一个球形广告气球被一束入射角为30 的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为 5 m 的椭圆，则制作这的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是个广告气球至少需要的面料是_m2. 解析：解析：由椭圆的最长的弦长为由椭圆的最长的弦长为 5 m，知椭圆的，知椭圆的 2a5，设气球的半径，设气球的半径为为 r，入射角为，入射角为 30 的平行光线与底面所成角就为的平行光线与底面所成角就为 60 ，则，则有有 2asin 60 2r，即，即 r5 34，从而气球的表面积为从而气球的表面积为 4r2754 m2.

8、4 / 8 答案：答案：754 10与椭圆与椭圆x22y21 有相同的焦点且与直线有相同的焦点且与直线 l：xy30 相切的椭圆的离心率为相切的椭圆的离心率为_ 解析：解析：因为所求椭圆与椭圆因为所求椭圆与椭圆x22y21 有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为x2a2y2a211(a1)，联立方程组，联立方程组 x2a2y2a211，yx3(2a21)x26a2x10a2a40， 因为直线因为直线 l 与椭圆相切，所以与椭圆相切，所以 36a44(2a21) (10a2a4)0， 化简得化简得 a46a250，即，即 a25 或或 a21(舍去舍去) 则

9、则 a 5.又又 c1，所以，所以 eca1555. 答案：答案：55 11(2021 苏州模拟苏州模拟)已知椭圆已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 f( 3，0)，长半轴，长半轴与短半轴的比值为与短半轴的比值为 2. (1)求椭圆求椭圆 c 的方程；的方程； (2)设经过点设经过点 a(1,0)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 c 相交于不同的两点相交于不同的两点 m，n.若点若点 b(0,1)在以线段在以线段mn 为直径的圆上，求直线为直径的圆上，求直线 l 的方程的方程 解：解：(1)由题可知由题可知 c 3，ab2，a2b2c2， a2，b1. 椭圆椭圆 c

10、的方程为的方程为x24y21. (2)易知当直线易知当直线 l 的斜率为的斜率为 0 或直线或直线 l 的斜率不存在时，不合题意当直线的斜率不存在时，不合题意当直线 l 的斜率存在的斜率存在且不为且不为 0 时，设直线时，设直线 l 的方程为的方程为 xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2) 联立联立 xmy1，x24y21，消去消去 x 可得可得(4m2)y22my30. 16m2480，y1y22m4m2，y1y234m2. 点点 b 在以在以 mn 为直径的圆上，为直径的圆上， bm bn0. bm bn(my11，y11) (my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)

11、20， 5 / 8 (m21)34m2(m1)2m4m220， 整理得整理得 3m22m50，解得，解得 m1 或或 m53. 直线直线 l 的方程为的方程为 xy10 或或 3x5y30. 12(2021 长沙市统一模拟考试长沙市统一模拟考试)已知椭圆已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的长轴长是短轴长的的长轴长是短轴长的2 倍，倍，f 是椭圆是椭圆 c 的一个焦点，点的一个焦点，点 m(0,2)，且，且|mf| 10. (1)求椭圆求椭圆 c 的方程；的方程； (2)若过点若过点 m 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 c 交于交于 a，b 两点，线段两点，线段 ab 的中点为的中点为

12、n，且满足，且满足|am|bn|，求，求 l 的方程的方程 解：解：(1)由题意，可得由题意，可得 a2b，c2410，b2c2a2. 解解得得 a2 2，b 2，故椭圆，故椭圆 c 的方程为的方程为x28y221. (2)根据题意可得，点根据题意可得，点 a 必在点必在点 b 的上方，才有的上方，才有|am|bn|. 当当 l 的斜率不存在时，的斜率不存在时，|am|2 2，|bn| 2，|am|bn|，不合题意，故，不合题意，故 l 的斜率的斜率必定存在必定存在 设设 l 的方程为的方程为 ykx2，由，由 x28y221，ykx2，得得(14k2)x216kx80， (16k)232(1

13、4k2)128k2320，即，即 k214. 设设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则则 x1x216k14k2，x1x2814k2. 设设 n(x0，y0)，则，则 x0 x1x228k14k2. 由由|am|bn|可得，可得，|ab|mn|， 1k2|x1x2| 1k2|x00|， 则则( (x1x2) )24x1x2|x0|， 即即4 2 4k2114k2 8k14k2， 整理得整理得 k21214，故，故 k22，l 的方程为的方程为 y22x2. 6 / 8 b 级级综合应用综合应用 13(多选多选)(2021 山东潍坊模拟山东潍坊模拟)已知椭圆已知椭圆x24y231 的左、右

14、焦点分别为的左、右焦点分别为 f1，f2，过，过f1的直线的直线 l1与过与过 f2的直线的直线 l2交于点交于点 m，设，设 m 的坐标为的坐标为(x0，y0)，若，若 l1l2，则下列选项正，则下列选项正确的有确的有( ) ax204y2031 cx04y031 解析：解析：选选 acd 由椭圆由椭圆x24y231，可得，可得 a2，b 3，c1.左、右焦点分别为左、右焦点分别为f1(1,0)，f2(1,0)，设，设 a(0， 3)，则，则 tanaf1f2 3，可得，可得af1f23，f1af23.l1l2，直线直线 l1与直线与直线 l2的交点的交点 m 在椭圆的内部在椭圆的内部x20

15、4y2031，a 正确，正确，b 不正确；不正确；直线直线x4y31 与椭圆与椭圆x24y231 联立，可得联立，可得 7y224y270 无解，因此直线无解，因此直线x4y31 与椭圆与椭圆x24y231 无交点而点无交点而点 m 在椭圆的内部，在直线的左下方，在椭圆的内部，在直线的左下方，满足满足x04y031，c 正确；正确；x20y201,0y201，4x203y204(1y20)3y204y201，d 正确故选正确故选 a、c、d. 14已知椭圆已知椭圆 c：x24y291 与动直线与动直线 l：y32xm 相交于相交于 a，b 两点，则实数两点，则实数 m 的取的取值范围为值范围为

16、_；设弦；设弦 ab 的中点为的中点为 m(x，y)，则动点，则动点 m 的轨迹的轨迹方程为方程为_ 解析：解析：由由 y32xm，x24y291得得 18x212mx4m2360，144m2418(4m236)0，所以，所以3 2m3 2. 设设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 所以所以 xx1x22m3，yy1y2234( (x1x2) )m12m， 可得可得 3x2y0，x( 2， 2) 答案：答案：()3 2，3 2 3x2y0，x() 2， 2 15(2021 全国大联考全国大联考 4 月联考月联考)设设 f1，f2分别是椭圆分别是椭圆 e：x24y2b21 的左、右焦点，的左

17、、右焦点，7 / 8 若若 p 是该椭圆上的一个动点，是该椭圆上的一个动点，pf1 pf2的最大值为的最大值为 1. (1)求椭圆求椭圆 e 的方程；的方程； (2)设直线设直线 l：xky1 与椭圆交于不同的两点与椭圆交于不同的两点 a，b，且，且aob 为锐角为锐角(其中其中 o 为坐标为坐标原点原点)，求，求 k 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由题意易知由题意易知 a2，c4b2，b24，所以，所以 f1(4b2，0)，f2(4b2，0)，设，设 p(x，y)，则，则pf1 pf2(4b2x，y) (4b2x，y)x2y24b2x2b2b2x244b2 1b24x22b24，因为，

18、因为 x2,2，所以当，所以当 x 2，即点，即点 p 为椭圆为椭圆长轴端点时，长轴端点时，pf1 pf2有最大值有最大值 1，即，即 1 1b2442b24，解得，解得 b21，故所求的椭，故所求的椭圆方程为圆方程为x24y21. (2)设设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，由 xky1，x24y21消去消去 x 得得(k24)y22ky30，则，则 y1y22kk24，y1 y23k24， (2k)212(4k2)16k2480， 因为因为aob 为锐角，所以为锐角，所以 cosaob0，所以，所以 oaobx1x2y1y20，又，又 x1x2y1y2(1k2)y1y2k(y1y2)1 (1k2)34k22k24k2133k22k24k24k214k24k20， 所以所以 k214，解得，解得12k12，所以，所以 k 的取值范围是的取值范围是 12，12. c 级级迁移创新迁移创新 16设椭圆设椭圆x2a2y2b21(ab0)长轴的端点