人教版高中数学必修二 第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系

1、4.24.2.1直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系学 习 目 标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、 相离核 心 素 养通过研究直线与圆的位置2会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种 关系，提升逻辑推理、数学位置关系3会用直线与圆的位置关系解决一些实际问 题运算、直观想象的数学素 养.1直线与圆有三种位置关系 位置关系相交相切相离交点个数 有两个公共点 只有一个公共点没有公共点2.直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系 公共点个数相交两个相切一个相离零个判 几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC | A2B2drdrdr定ìAxByC

2、0，方 代数法：由íî（xa）2（yb）2r2000法消元得到一元二次方程的判别式 思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”1直线 3x4y50 与圆 x2 A相交C相离y21 的位置关系是( ) B相切D无法判断B圆心(0，0)到直线 3x4y50 的距离 d|5|32421. dr，直线与圆相切选 B.2设 A，B 为直线 yx 与圆 x2y21 的两个

3、交点，则|AB|( )A1C 3B 2D2D 直线 yx 过圆 x2y21 的圆心 C(0，0)，则 |AB|2.3直线 x 2 y 0 被圆 C ： x2 _ y2 6x 2 y 15 0 所截得的弦长等于4 5由已知圆心 C(3，1)，半径 r5.又圆心 C 到直线 l 的距离 d|32|55，则弦长2 r2d24 5.直线与圆的位置关系【例 1】已知直线方程 mxym10，圆的方程 x2y24x2y10.当 m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点232 23解(1m法一：将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得 ， )x22(m22m2

4、)xm24m40.4m(3m4)，(1)当 >0 时，即 m>0 或 m<43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4(3)当 <0 时，即 <m<0，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)2 4，即圆心为 C(2，1)，半径 r2.圆心 C(2，1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m 1| |m2| 1m 1m.(1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当

5、d2 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4(3)当 d>2 时，即 <m<0 时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点2直线与圆位置关系判断的三种方法：(1) 几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断(2) 代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3) 直线系法：若直线恒过定点 ，可通过判断点与圆的位置关系判断 ，但有 一定的局限性，必须是过定点的直线系已知圆 C：x2y24x0，l 是过点 P(3，0)的直线，则( )Al 与 C 相交 Cl 与 C 相离Bl 与 C 相切D以上三个选项均有可能A 将点

6、P(3，0)的坐标代入圆的方程，得 32024×39123<0， 点 P(3，0)在圆内过点 P 的直线 l 必与圆 C 相交求圆的切线方程【例 2】过点 A(4，3)作圆(x3)2(y1)21 的切线，求此切线方程思路探究： 确定点A在圆外 判断切线条数 根据圆心到直线的距离dr求切线方程解因为(43)(31)217>1，所以点 A 在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y3k(x4)，即 kxy4k 30. 设圆心为 C，因为圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径 1，82所以|3k134 k|1，即 |k4| k21k21，所以

7、k28k16k21，解得 k158.所以切线方程为15 15xy30，即 15x8y360.若直线斜率不存在，圆心 C(3，1)到直线 x4 的距离为 1，这时直线 x4 与圆相切，所以另一条切线方程为 x4.综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4.1本例中若将点“A(4，3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？解因为(23)2(11)21，所以点 A(2，1)在圆上 ，从而 A 是切点，又过圆心(3, 1)与点 A 的直线斜率为 0， 故所求切线的方程为 y1.2若本例的条件不变，求其切线长解因为圆心 C 的坐标为(3，1)，设切点为 B，则ABC 为直角三角形，|AC | （34

8、）2（13）2 17，又 |BC|r1，则 |AB|AC |2 |BC|2 （ 17）2124，所以切线长为 4.000圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0 )的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 xx0(2)点在圆外时：或 yy .几何法：设切线方程为 yy0k(x x )由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，也就得切线方程代数法：设切线方程为 yy0k(xx )，与圆的方程联立，消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程 ，由 0 求出 k，可得切线方 程特别注

9、意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解直线与圆的相交问题探究问题1已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？ 提 示 将 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 解 出 交 点 坐 标 ， 再 利 用 |AB| （x2x1）2（y2y1）2求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长 l2 r2d2.【例 3】求直线 l：3xy60 被圆 C：x2y22y40 截得的弦长îæ 10ö25 23勾股定理思路探究：法一： 求圆心半径 弦心距，半弦长和半径

10、构成的直角三角形求解利用两点间距离公式法二： 求交点坐标 求弦长解法一：圆 C：x2y22y40 可化为 x2(y1)25，其圆心坐标为(0，1)，半径 r 5.点(0，1)到直线 l 的距离为 d|3×016| 3212102，l2 r2d2 10，所以截得的弦长为 10.法二：设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点由ìï3xy60，íïx2y22y40，得交点 A(1，3)，B(2，0)，所以弦 AB 的长为 |AB|（21）2（03）2 10.3若本例改为“过点(2，0)的直线被圆 C：x2 10，求该直线方程”，又如何求解？y22y4

11、0 截得的弦长为解由例题知，圆心 C(0，1)，半径 r 5，又弦长为 10， 所以圆心到直线的距离dr2ç ÷è 2 ø5 102 2.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在 ，可设直线斜率为 k，则直线方程为 yk(x2)，所以 d|12k| k2110 1 ，解得 k3 或 k ，21 12 21 2所以直线方程为 y3(x2)或 y13(x2)，即 3xy60 或 x3y20.求弦长常用的三种方法：æ1ö(1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系çl÷è ø2d

12、2r2解题(2) 利用交点坐标 ， 若直线与圆的交点坐标易求出 ，求出交点坐标后 ，直接 用两点间距离公式计算弦长(3) 利用弦长公式，设直线 l：ykxb，与圆的两交点 (x ，y )，(x ，y )，将直线方程代入圆的方程 ， 消元后利用根与系数的关系得弦长 l （1k2）（x1 x2）24x1 x2.1k2|x x |1 本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离 来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决 直线与圆的位置关系2 判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆 的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数两者相比较， 前者较形象、直观，便于运算3 与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学 素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是( )A过圆心 C相离B相切D相交但不过圆心114 334|3412|D 圆心坐标为(1，1)，圆心到直线 3x4y120 的距离为 d3242 r3.又点(1，1)不在直线 3x4y12 0 上，所以直线与圆相交且不过 5圆心选 D.2若直线 yxa 与圆 x2 A2C1y21