第6章梁的位移

1、第六章第六章 梁梁 的的 位位 移移6-1 概概 述述A BCxyC1 F挠曲线挠曲线I. 梁的位移梁的位移直梁直梁ACB； 形心主惯性平面形心主惯性平面xy；平面弯曲；平面弯曲； 挠曲线挠曲线AC1B； 挠度：挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在横截面的形心（即轴线上的点）在y方方向的线位移向的线位移w。在图示坐标系中，方向向下的。在图示坐标系中，方向向下的w为为正正。工程中常用梁，。工程中常用梁，wl，横截面的形心在横截面的形心在x方向方向的线位移可略去。的线位移可略去。w（挠度挠度）C1CA Bxy F挠曲线挠曲线q q（转角转角）法线法线q q切线切线A Bxy F挠曲线挠曲线C1C

2、转角：转角：横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移q q。细长。细长梁可忽略剪力对变形的影响，所以横截面在梁弯曲梁可忽略剪力对变形的影响，所以横截面在梁弯曲变形后仍垂直于挠曲线，也等于平面曲线变形后仍垂直于挠曲线，也等于平面曲线AC1B在在C1点的切线和点的切线和x轴的夹角。轴的夹角。在图示坐标系中，顺时在图示坐标系中，顺时针转向的针转向的q q为正为正。 挠曲线方程（或挠度方程）：挠曲线方程（或挠度方程）：挠度挠度w随横截面随横截面位置位置x的变化规律，的变化规律，即即 w=w(x)A Bw（挠度挠度）C1Cxyq q（转角转角）法线法线q q切线切线 F挠曲线挠曲线A Bw（

3、挠度挠度）C1Cxyq q（转角转角）法线法线q q切线切线 F挠曲线挠曲线 xwxxwddtanqq 转角方程：转角方程：转角转角q q 随横截面位置随横截面位置x的变化规律。的变化规律。因因q q 很小，故有很小，故有即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横截面的即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角转角q q。II. 梁的位移与变形的联系与区别梁的位移与变形的联系与区别A BlEIA BlEIMeMe Me(a)(a)EIMe1(b)EIMe1 梁的变形程度用其中性层的曲率梁的变形程度用其中性层的曲率 来度量。来度量。梁的位移不仅取决于其变形程度，而且与其支承条件梁的位移不仅

4、取决于其变形程度，而且与其支承条件有关。例如长度、材料、横截面的形状和尺寸及受力有关。例如长度、材料、横截面的形状和尺寸及受力情况等均相同的二梁情况等均相同的二梁EIM1III. 研究梁的位移的目的研究梁的位移的目的（1）校核梁的刚度（最大挠度和转角的限值）；）校核梁的刚度（最大挠度和转角的限值）；（2）求解超静定梁（）求解超静定梁（8-5）。）。 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分物理方面物理方面EIM1 EIxMx1纯弯曲梁纯弯曲梁 横力弯曲细长梁横力弯曲细长梁 （不计剪力（不计剪力Fs的影响）的影响） 2/3211xwxwx 几何方面几何方面小变形时小变

5、形时，w(x)0，w为减函数，为减函数，w 0w=0w0M 0MMw0w=0wb时，右支座截面的转角绝对值最大时，右支座截面的转角绝对值最大lEIalFabB6maxqq当当ab时，时，AC段有最大挠度。段有最大挠度。由由w1=0可得极值点位可得极值点位置为置为abaablx323221BAxywl/2qAF wmaxqBCl / 2IIIx1ab 3221max39bllEIFbxww当荷载接近于右支座，即当荷载接近于右支座，即ba时，由上式可得时，由上式可得EIFblEIFblw22max0642. 039而此时梁中间截面处的挠度为而此时梁中间截面处的挠度为EIFblEIFblwl2220

6、625. 016两者相差不超过中点挠度的两者相差不超过中点挠度的3%。BAxywl/2qAF wmaxqBCl / 2x1ab 因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有中点挠度来代替最大挠度。中点挠度来代替最大挠度。 当载荷作用在梁的中点，即当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转时，其最大转角和挠度为角和挠度为EIFl162maxqEIFlwwl4832max总结总结 遵循了两个规则遵循了两个规则( (1) )对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；(2)以以(x-a)为自变量对为自变量对(x-a)项进

7、行积分，则由项进行积分，则由x=a处的连续条件可得两段梁对应的积分常数处的连续条件可得两段梁对应的积分常数分别相等的结果。分别相等的结果。6-3 用叠加法求梁的位移用叠加法求梁的位移限制条件限制条件 梁的位移微小且材料在线弹性范围内工作梁的位移微小且材料在线弹性范围内工作，使得，使得 (1) EIw=M(x) ； (2) M(x)按变形前的尺寸写出，使得按变形前的尺寸写出，使得 M(x q, ,F, ,Me 。从而从而 w(x) q, ,F, ,Me ； q q (x) q, ,F, ,Me 。 即可用叠加法求多个荷载作用下梁的挠度和转角。即可用叠加法求多个荷载作用下梁的挠度和转角。目的目的

8、求梁的某些特定截面的位移。求梁的某些特定截面的位移。规律规律 EILMEILFEILqw2e34, EILMEILFEILqe23,qL为长度的量纲为长度的量纲表表6-1 等截面梁在简单荷载作用下的挠度和转角等截面梁在简单荷载作用下的挠度和转角例例 利用叠加法求图示利用叠加法求图示弯曲刚度为弯曲刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁自由端自由端B 截面的挠度和截面的挠度和转角。转角。解解 可将原荷载看成为图可将原荷载看成为图a和和b两种荷载的叠加。两种荷载的叠加。2FwCFq qCFq qCFaMe= Fa wBMeq qBMe2FMe= Fa A C B a a A C B （a）A B （b）EIFa

9、EIaFwCF323233EIFaEIaFCF22222q EIFaaEIFaEIFaawwCFCFBF3532323q由图由图a可得可得C截面的挠度和转角分别为截面的挠度和转角分别为由位移关系可得由位移关系可得B截面的挠度和转角分别为截面的挠度和转角分别为 A C B 2FwCFq qCFq qCFa EIFaCFBF2qq EIFaEIaMwBM32e222e由图由图b可得可得B截面的挠度和转角分别为截面的挠度和转角分别为A B Me= FawBMeq qBMe EIFaEIaMBM2e22eq EIFaEIFaEIFawwwBMBFB3235333e将相应的位移进行叠加，即得将相应的位移

10、进行叠加，即得 EIFaEIFaEIFaBMBFB2222eqqq例例 利用叠加法求图利用叠加法求图a所所示弯曲刚度为示弯曲刚度为EI的简支的简支梁的跨中挠度梁的跨中挠度wC和两端和两端截面的转角截面的转角q qA，q qB。解解 可将原荷载看成为图可将原荷载看成为图b所示关于跨中所示关于跨中C截面的正对截面的正对称和反对称荷载的叠加。称和反对称荷载的叠加。+ +q A C Bl / 2l(b) A C Bl / 2l A C Bl / 2lq/2 q/2q/2(a)(1)正对称荷载：正对称荷载：跨中截面跨中截面C的挠度和两端的转角的挠度和两端的转角EIqlEIlqwC768538425441

11、EIqlEIlqBA482423311qq02Cw(2)反对称荷载：反对称荷载：跨中截面跨中截面C的挠度等于零，分别的挠度等于零，分别将将AC段和段和CB段看成为跨长各为段看成为跨长各为l/2的简支梁的简支梁EIqlEIlqBA38424223322qqA C Bl / 2lq/2 A C Bl / 2l q/2q/2 EIqlEIqlwwwCCC7685068754421将相应的位移进行叠加，即得将相应的位移进行叠加，即得 EIqlEIqlEIqlAAA38473844833321qqq EIqlEIqlEIqlBBB38493844833321qqq例例 用叠加法求图示弯曲刚度为用叠加法求

12、图示弯曲刚度为EI的外伸梁的外伸梁C截面的截面的挠度以及挠度以及D截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。解解 可将外伸梁看成是图可将外伸梁看成是图a和和b所示的简支梁和悬臂梁所示的简支梁和悬臂梁的叠加。的叠加。B(b)DFFFMB=Faq qBMBwCMBwDFq qDFA C B D a a a FMB=FaA C B D(a) EIFaEIaFawBCM416232（1）图）图a：C截面的挠度截面的挠度 和和B截面的转角分别为截面的转角分别为 EIFaEIaFaBBM32322q（2）图）图b：D截面的挠度截面的挠度 和转角分别为和转角分别为 EIFawDF33 EIFaDF22qB(b)D

13、FFMB=Faq qBMBwDFq qDFA C B DFMB=FawCMB(a) EIFaEIFaEIFa333323awwBBMDFDqBBMDFDqqq原外伸梁原外伸梁D端的挠度和转角分别为端的挠度和转角分别为原外伸梁跨中的挠度为原外伸梁跨中的挠度为 EIFawwBCMC43 EIFaEIFaEIFa67322222FA C B D a a a A C B D a a a FFMB=FaA C B D a a a FMB=Fa=+FF/2F/2wB1wDq qDl/4F/2F/2Fl/8Fl/8F/2l/4 l/4 l/4 l/4I2AE C DBI1=2I2 I2wCwB例例 求图示阶梯求图示阶梯状简支梁的跨中状简支梁的跨中挠度挠度wC 。 解解 变形对称，变形对称，q qC=0。阶梯状。阶梯状简支梁的简支梁的 CB 段与图示悬臂梁段与图示悬臂梁变形等效：变形等效：wC=wB。由叠加。由叠加法得法得41lwwwDDBBq qqmax6-4 梁的刚度条件梁的刚度条件 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施一、一、刚度条件刚度条件lwlwmaxlw和和 q为许用值，可查设计手册。为许用值，可查设计手册。式中，式中，梁的位移不超过按梁的位移不超过按使用要求使用要求所规定的许用值。所规定的许用值。相对挠度相对挠度转角转角无量纲无量纲二、二