同一直线上(不)同频率的简谐运动的合成

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：合位移：合位移：22121220102cos()AAAA A合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。1102200110220sinsintgcoscosAAAA1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAt其中其中上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退

2、出退出矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法旋转矢量图示法XO1Ar10202Ar12AAA=+rrr1x2xArx22121220102cos()AAAA A上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1.当两振动同相当两振动同相同相同相迭加，合振幅迭加，合振幅最大最大。21AAA20102012kk， ， ，tx1x2x讨论：讨论：2. .两振动反相两振动反相反相反相迭加，合振幅迭加，合振幅最小最小。21AAA2010(21)012kk， ， ，上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回

3、 退出退出当当A1=A2 时，时，A=0。tx1x2x3.通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于21AA 21AA 之间。之间。和和tx1x2x上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例例10-610-6 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。 解解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。 根据矢量合

4、成法则根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：量的合成如下图所示：taxcos120cos()xat30cos(2)xat0cos(1)NxatN振动表达式可写成振动表达式可写成:相等，初相分别为相等，初相分别为000023， ，依次差一个恒量依次差一个恒量0，上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出OX1a2a3a4a5a0000CAM根据简单的几何关系，可得根据简单的几何关系，可得中各个矢量的起点和终点都在以中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，为圆心的圆周上，因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个

5、振动的振幅相同且相差依次恒为，上图，上图00OCMN令其半径为令其半径为R，0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出考虑到考虑到在三角形在三角形DOCM中中,OM 的长度就是和振动位移矢量的长度就是和振动位移矢量的位移的位移, ,角度角度就是合振动的初相，据此得就是合振动的初相，据此得MOX02 sin2NAR02 sin2aR00sin2sin2NAa上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出0MOXCOXCOM 000111()()222NN合振动初位合振动初位相相可得合振动的表达式可得合振动的表达式0000sin12

6、cos()cos()2sin2NNxAtat当当00时时( (同相合成同相合成) )，有，有ANa00 合振幅合振幅最大最大上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长

7、度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。x = x1+ x21100cos(),cos()1222xAtxAt12两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率12很接近，且很接近，且和和212102 cos() cos()22xAtt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。因因或或有有2,21112,21122 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角