2022年2022年等比数列知识点总结与典型例题2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载等比数列学问点总结与典型例题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.等比数列的定义：anan 1qq0n2、且nn *, q 称为公比精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.通项公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa q n 1a1 q na b naq0、 ab0,首项：a ；公比： q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n111qn mn manan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推广： anamqqqn mamam精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.等比中项：精品学习资料精选学习

2、资料 - - - 欢迎下载（1）假如a、 a、b 成等比数列,那么a 叫做 a 与b 的等差中项,即：a2ab 或 aab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意： 同号的 两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个 （精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）数列a为等比数列a 2aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnn 1n 14.等比数列的前n 项和 sn 公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）当 q（2）当 q1 时, sn1 时, snna1na1 1qa1an q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q1q精品学习

3、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1a1q n1q1qaa b na ' b na ' （a、 b 、 a '、 b ' 为常数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ,都有aqa或 an 1q q为常数, a0 a 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 1nnnan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）等比中项： a 2aaaa0 a 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn 1 n 1n 1 n

4、 1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）通项公式：aa bna b0 a 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn6.等比数列的证明方法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据定义：如anqq0n2、 且nn *或 aqa a 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an 1n 1nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.等比数列的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（2）对任何m、 nn *,在等比数列 an 中,有aa q n m ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

5、学习资料 - - - 欢迎下载nmnmst（3）如mnst m、n、 s、 tn * ,就aaaa ；特殊的,当 mn2k 时,得 anamak精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： a1ana2an 1a3 an 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差和等比数列比较：等差数列等比数列第 1 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义an 1anda n 1anq q0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载递推公式1anan 1d ； a nam

6、 nmda nan1 q ； a nmaqn m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通项公式ana1 n1 dana1q n1 （ a 、 q0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中项aan ka n k2（ n、 kn * 、 nk0 ）ga n k a nk a nk a n k0 （ n、 kn * 、 nk0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1sn a2nan na1 q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载前 n 项和n n1s na1 1q

7、a1a n q q2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载snna1d21q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载重要amana paqa mana pa q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质m、 n、 p、 qn * 、 mnpq m、 n、p、 qn * 、 mnpq 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经典例题透析类型一：等比数列的通项公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1等比数列 an 中, a1a964 、a3a720 、求 a11 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

8、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路点拨： 由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于a1 和q 的二元方程组, 解出a1 和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q ,可得a11 ；或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a3 . a7 ,再求a11 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：1911法一： 设此数列公比为 q ,就aaaa q8641精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa q 2a q 6202精品学习资料精选学习资料 -

9、 - - 欢迎下载1由2得：4 a10 .a q 2 13711q4 20.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由1得：4 2 a1 q 64、 a1q8.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 ÷4得：1 q 4q 2205 ,82精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 q 45q 220 、解得 q 22 或 q 212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1当 q 22 时, a2 , aaq106

10、4 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1111当 q 21 时, a232 , aaq101 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111法二： a1a9a3a764 、又 a3a720 、第 2 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a . a 为方程x220 x640 的两实数根,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载37精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a316或a74a34a716精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a3a11a72 、 a2a71 或 a1164 .精品学习资料精选学习资料 - - -

11、欢迎下载a311总结升华：列方程（组）求解为等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量；解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】a n 为等比数列, a1=3, a9 =768,求 a6；【答案】 ±96法一： 设公比为 q,就 768=a1q8,q8=256, q=±2, a6=±96；法二： a52=a1a9a5=±48q=±2, a6=±96；【变式 2】a n 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值；【答案】

12、 64；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a aa21 894516 ,又 an0, a45=4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 aaaa344 45464564 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1nn【变式 3】已知等比数列 an ,如 a1a2a37 , a1a2a38 ,求 an ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 an2或 an23；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 32法一： a aa 2 ,3a a aa1 2

13、 328 , a22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而a1a3a1a345、 解之得 a11 , a34 或 a14 , a31精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a11 时, q2 ；当 a14 时, q1 ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 ann 13 n2或 an2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2法二：由等比数列的定义知aa q , aa q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入已知得2131111aa qa q 27111aa q a q 28精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a111a 3q3

14、qq 2 7、8a1 1a1qqq2 7、 122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第 3 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将 a12 代入（ 1）得q2q25q20 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 q2 或 q12a1a14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（ 2）得1或1q2q2,以下同方法一；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 sn,如 s3+s6=2s9,求数列的公比q.解析：

15、如 q=1,就有 s3=3a1,s6=6a1,s9=9a1 .因 a10,得 s3+s6 2s9,明显 q=1 与题设冲突,故 q 1.a 1q 3 a 1q 6 2 a 1q 9 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 ss2 s 得,111,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3691q1q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理得 q32q6-q3-1=0,由 q0,得 2q6-q3-1=0,从而 2q3+1q3-1=0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 q31,故 q3举一反三：3 41,所以 q；22精品学习资料精选学习资料 - -

16、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 1】求等比数列【答案】 364 ；243111、l的前 6 项和；39精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a11 , q1 , n63精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3316364精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s611123；3243精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27,s3=13,求 s5.精品学习资料精选学习资料

17、- - - 欢迎下载【答案】121或 121 ；9a 1q 3 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 327a3 , 131q3或q,就 a1=1 或 a1=9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载221q3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13591 135121精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s5121或s513.1 193精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第 4 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 3】在等比数列 an 中, a1an66 , a2an 1128 , sn126 ,求 n 和

18、 q ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 q1 或 2, n6 ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a2an 1a1an ,a1an128精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组a1 an128,得a164a12或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1an66an2an64精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a164n将代入 sa1an q,得 q1 ,精品学习资料精选学习资料 - -

19、 - 欢迎下载an21q21由 aa qn,解得 n6 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1a12将代入 sa1an q,得 q2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nan641q1由 aa qn,解得 n6 ；n1 q1 或 2, n6 ；2类型三：等比数列的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3. 等比数列 an中,如 a5a69 、求 log 3 a1log 3 a2.log 3 a10 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： an 为等比数列,a1a10a2a9a3a8a4a7

20、a5a69精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载31 logalogalogalog aaa lalog aa 5log9510精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载323103123103563举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中,如 a1·a100=100; 就 lga1+lga2+lga100= .【答案】 100；lga1+lga2 +lga3+lga100=lga1·a2·a3··10a0而 a1·a100=a2·a99=a3·a98=a50·a51原式 =lga1 &#

21、183;a10050=50lga1·a100=50 ×lg100=100；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式2】在 83和 272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ；【答案】 216；法一： 设这个等比数列为 an ,其公比为 q ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8511 a, a27a q48 q4 , q481 , q29精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载323

22、164第 5 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 aaaa qa q 2a q 3a 3q6338963216 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载234111134精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法二： 设这个等比数列为 an ,公比为 q ,就 a18 , a 327 ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5加入的三项分别为a2 , a3 , a4 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题意a , a , a 也成等比数列

23、,a82736 ,故 a6 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21353332精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 aaaa 2aa3216 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载234333类型四：等比数列前n 项和公式的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4在等比数列 an 中,已知 sn48 , s2 n60 ,求s3n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,第 n 个 k 项和仍旧成等比

24、数列；解析：法一： 令 b1=sn=48、 b2=s2n-sn=60-48=12,b3=s3n-s2n观看 b1=a1+a2+an、b2 =an+1+an+2+a2n=qna1+a2+an,2nb3 =a2n+1+a2n+2+a3n=qa1+a2+an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载易知 b1、b2、b3 成等比数列, b3s3n=b3+s2n=3+60=63.2122b23 ,b148精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法二： s2na1 112sn , q1 ,qn 48q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知得a1 11q2n q60精品学习资料精选

25、学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载÷得1qn5 ,即 qn144精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入得a164 ,1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s3na1 1q 3n 164163 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q43精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法三： an 为等比数列,sn , s2 nsn , s3ns2n 也成等比数列,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ss

26、2s ss ,2 nnn3 n2 n第 6 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s3n s2 nsn 2sns2n60482486063 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：【变式 1】等比数列 an 【答案】 17；中,公比 q=2、 s4=1、就 s8= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s8=s4+a5+a6+a7+a8=s4 +a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=s4+q4a1+a2+a3+a4=s4+q4s4=s41+q4 =1 ×1+24=17【变式 2】已知

27、等比数列 an 的前 n 项和为 sn、 且 s10=10、 s20=40、求： s30=？【答案】 130；法一： s10, s20-s10,s30-s20 构成等比数列, s20-s102=s10·s30-s20即 302=10s30-40、s30=130.法二： 2s10s20, q1 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s101a1 11q101q10 q10 、 s20aa111q 20 q40 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q 20、 q103 、1541q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s30a1 11q30 q5133

28、130 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 3】等比数列 an n.的项都为正数,如sn=80、 s2n=6560,前 n 项中最大的一项为54,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 sn s2n806560, q1 否就sn1 s2 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sna1 11q n q=80.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2na111q 2n q=6560.2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 ÷1得： 1+qn =82、qn=81.3该数列各项为正数,由3知 q>1a n 为

29、递增数列, an 为最大项 54.an=a1qn-1=54、a1qn=54q、81a1=54q.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a54 q2 q 代入1得 2 q181801q ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载18133精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q=3、 n=4.【变式 4】等比数列 an 中,如 a1+a2=324、 a3+a4=36、 就 a5+a6= .第 7 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 4；令 b1=a1+a2=a11+q,b2=a3+a4=a1q21+q、b3=a5+a6=a1q41+q

30、、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b2易知： b1 、 b2、 b3 成等比数列, b3=2b136 2=324=4、 即 a5+a6=4.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 5】等比数列 an 【答案】 448；中,如 a1+a2+a3=7、a4+a5+a6=56、 求 a7+a8+a9 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a n 为等比数列, a4+a5+a6=a1+a2+a3q3、 q3=8、a7+a8+a9=a4+a5+a6q3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5

31、已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 .如再将此等差数列的其次项减去4,就又成等比数列 .求原先的三个数 .思路点拨： 恰当地设元为顺当解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式 .解析：法一： 设成等差数列的三数为a-d、 a、a+d.就 a-d、 a、 a+d+32成等比数列, a-d、 a-4、 a+d成等比数列 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2aa42d a ad d a32. .1d . .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由2得 a= d16

32、8.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由1得 32a=d2+32d .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3代4消 a,解得 d8 或 d=8.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 d8 时、 a326 ；当 d=8 时、a=109精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原先三个数为2 、 26 、 338 或 2、10、50.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载999法二： 设原先三个数为 a、 aq、 aq2,就 a、 aq、aq2-32 成等

33、差数列, a、 aq-4、 aq2-32 成等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 aqaaq 232.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aq42a aq 232. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由2得 a2,代入 1解得 q=5 或 q=13q4当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 a2 .9第 8 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原先三个数为2,10, 50 或2 , 26 、 338 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载999总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解；一般地, 三数成等差数列

34、, 可设此三数为 a-d、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a、 a+d；如三数成等比数列,可设此三数为首项 a,公比 q 来解决问题反而简便；x ,x、 xy ；但仍要就问题而言,这里解法二中采纳y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项,假如把其次项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原先的等比数 列.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 为 2, 6, 18 或 2 、10 、 50 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载999设所

35、求的等比数列为a, aq,aq2；就2aq+4=a+aq2,且aq+42=aaq2+32；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 a=2,q=3 或 a2 ,q=-5；9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求的等比数列为2, 6, 18 或 2 、10 、 50 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载999【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数；【答案】 1.3.9 或1.3.9或 9.3.1 或9.3.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设这三个数分别为a

36、、 a、 aq ,q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知得aaaqq2aa 2q 227a 2q 291a3a2 1q2q2191精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得 9q 4即 q82q 23 或 q90 ,所以13q 29 或 q21 ,9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求三个数为： 1.3.9 或1.3.9或 9.3.1 或9.3.1；【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为 16,其次个数与第三个数

37、的和为12,求这四个数 .【答案】 0,4,8,16 或 15, 9, 3, 1； 设四个数分别为x、y、12-y、16-x第 9 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 yx12y.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12y 2y16x.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由1得 x=3y-12,代入 2得 144-24y+y2=y16-3y+12144-24y+y2=-3y2+28y、 4y2-52y+144=0、 y2-13y+36=0、 y=4 或 9, x=0 或 15,四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.类型六：等比数

38、列的判定与证明例 6已知数列 a n 的前 n 项和 sn 满意： log5sn+1=nnn+、求出数列 a n 的通项公式,并判定a n 为何种数列？思路点拨： 由数列 a n 的前 n 项和 sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判定an 类型.解析： log5sn+1=n、 sn+1=5n、 sn =5n-1 nn+、a1=s1=51-1=4、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n2时, an=sn-sn-1=5n-1-5n-1-1=5n-5n-1=5n-15-1=4而 n=1 时, 4×5n-1=4×51-1=4=a1、 n n+时, an=4

39、5;5n-15×n-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由上述通项公式,可知 a n 为首项为 4,公比为 5 的等比数列 .举一反三：【变式 1】已知数列 c n ,其中 cn=2n+3n,且数列 c n+1-pcn 为等比数列,求常数p；【答案】 p=2 或 p=3；c n+1-pcn 为等比数列,对任意 nn 且 n2,有cn+1-pcn2=cn+2-pcn+1cn -pcn-1cn=2n+3n、2n+1+3n+1-p2n+3n 2=2 n+2+3n+2-p2n+1+3n+1 ·2n+3n-p2n-1+3n-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

40、即2-p2·n+3-p3·n 2=2-p2·n+1+3-p3·n+1 ·2-p2n·-1 +3-p3·n-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理得： 1 26p 3p 2n3 n0 、解得： p=2 或 p=3、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显 cn+1-pcn0,故 p=2 或 p=3 为所求 .【变式 2】设a n .b n 为公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn、证明数列 c n 不为等比数列 .【证明】 设数列 an .b n 的公比

41、分别为 p、 q,且 pq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为证c n 不为等比数列,只需证c1c3c 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 c 2a pb q 2a 2 p2b 2q 22a b pq 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载211111 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ccab a p 2b q2 a2 p 2b 2 q2a b p2q 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载131111111 1第 10 页 共 12 页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ccc 2a b pq 2 、1321 1又 pq、 1a 0、 1b 0、132132 ccc 20 即 ccc 2数列 c n 不为等比数列 .【变式 3】判定正误：1a n 为等比数列a7=a3a4；2如 b2=ac,就 a, b, c 为等比数列；3a n , b n 均为等比数列,就 a nbn 为等比数列；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n4a n 为公比为 q 的等比数列,就 a 2 .1 an仍为等比数列；精品学习资料精选学习资料 - -