2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.5数学归纳法-教师版

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明(×)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用(×)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项(×)(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()2、用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nn*)，在验证n1

2、时，等式左边的项是()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3答案c解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()ank1时等式成立bnk2时等式成立cn2k2时等式成立dn2(k2)时等式成立答案b解析因为n为正偶数，nk时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立4、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()a1 b2c3 d0答案c解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.5、已知an满足an1a

3、nan1，nn*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1作业检查无第2课时阶段训练题型一用数学归纳法证明等式例1设f(n)1(nn*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)证明当n2时，左边f(1)1，右边2(11)1，左边右边，等式成立假设nk(k2，kn*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论成立由可知当nn*时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n

4、2，nn*)【同步练习】1、用数学归纳法证明：(nn*)证明当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设nk(k1，kn*)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nn*，原式都成立题型二用数学归纳法证明不等式例2等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明：对任意的nn*，不等式···>成立(1)解由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r.所以ansnsn1bn1(b1)由

5、于b>0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，所以b，即b，解得r1.(2)证明由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nn*)，所证不等式为···>.当n1时，左式，右式，左式>右式，所以结论成立假设nk(k1，kn*)时结论成立，即···>，则当nk1时，····>·，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，当nn*时，不等式··

6、3;>成立【同步练习】1、若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xn<xn1<3.证明当n1时，x12，f(x1)3，q1(2，3)所以直线pq1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此2x1<x2<3，即n1时结论成立假设当nk时，结论成立，即2xk<xk1<3.当nk1时，直线pqk1的方程为y5·(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2<xk1<3，xk24<4

7、3；xk2xk1>0，即xk1<xk2，所以2xk1<xk2<3，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xn<xn1<3.第3课时阶段重难点梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立重点题型训练题型三归纳猜想证明命题点1与函数有关的证明问题例3已知数列xn满足x1，xn1，nn*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结

8、论解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2>x4>x6，猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：当n1时，已证命题成立假设当nk时命题成立，即x2k>x2k2，易知xk>0，那么x2k2x2k4>0，即x2(k1)>x2(k1)2.所以当nk1时命题也成立结合知，对于任何nn*命题成立命题点2与数列有关的证明问题例4在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nn*，>0)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an 的通项公式，并加以证明解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)23342

9、4.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kn*)时等式成立，即ak(k1)k2k，那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，ak1(k1)1k12k1，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nn*，>0)命题点3存在性问题的证明例5设a11，an1b(nn*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n1对所有nn*成立？证明你

10、的结论解(1)方法一a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nn*)方法二a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.所以当nk1时结论成立所以an1(nn*)(2)方法一设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明加强命题：a2n<c<a2n1<1.当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2<<a3&l

11、t;1，结论成立假设nk时结论成立，即a2k<c<a2k1<1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而cf(c)>f(a2k1)>f(1)a2，即1>c>a2k2>a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)<f(a2k2)<f(a2)a3<1，故c<a2k3<1.因此a2(k1)<c<a2(k1)1<1.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.方法二设f(x)1，则an1f(an)先证：0an1(nn*)当n1时，结论显然成立假设nk时结论成立，即0ak1.易知f(

12、x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)1<1，即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立故成立再证：a2n<a2n1(nn*)当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，有a2<a3，即n1时成立假设nk时，结论成立，即a2k<a2k1.由及f(x)在(，1上为减函数，得a2k1f(a2k)>f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)<f(a2k2)a2(k1)1.这就是说，当nk1时成立，所以对一切nn*成立由得a2n<1，即(a2n1)2<a2a2n2，因此a2n<.又由及f(x)在(，1上为减函数，得

13、f(a2n)>f(a2n1)，即a2n1>a2n2，所以a2n1>1.解得a2n1>.综上，由知存在c使得a2n<c<a2n1对一切nn*成立【同步练习】1、已知集合x1,2,3，yn1,2,3，n(nn*)，设sn(a，b)|a整除b或b整除a，ax，byn，令f(n)表示集合sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解(1)y61,2,3,4,5,6，s6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，

14、f(n)(tn*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立；假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，sk1在sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：()若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；()若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；()若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；()若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；()若k16t4，则k6t3，此时有f(k1

15、)f(k)2k22(k1)2，结论成立；()若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立例6 数列an满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想思维点拨(1)由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式(2)用数学归纳法证明规范解答(1)解当n1时，a1s12a1，a11；当n2时，a1a2s22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3s32×3a3，a3；当n4时，a1a2a3a4s42

16、15;4a4，a4.3分由此猜想an(nn*)5分(2)证明当n1时，a11，结论成立6分假设nk(k1且kn*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，9分ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.11分ak1.当nk1时，结论成立13分由知猜想an(nn*)成立14分思导总结一、用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法二、数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法

17、不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化三、思归纳猜想证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n*)成立；第三步：假设nk(kn0，kn*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn*成立.作业布置1如果命题p(n)对nk(kn*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()ap

18、(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立答案b解析n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，故n为所有正偶数2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()a假设nk(kn*)，证明nk1时命题成立b假设nk(k是正奇数)，证明nk1时命题成立c假设n2k1(kn*)，证明nk1时命题成立d假设nk(k是正奇数)，证明nk2时命题成立答案d解析相邻两个正奇数相差2，故d选项正确3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成

19、立，那么下列命题总成立的是()a若f(1)<2成立，则f(10)<11成立b若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立c若f(2)<3成立，则f(1)2成立d若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立答案d解析当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，说明如果当kn时，f(n)n1成立，那么当kn1时，f(n1)n2也成立，所以如果当k4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k1也成立4在数列an中，a1，且snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()a. b.c. d.答案c解析当n2时，a2(2×3)a2，a2

20、.当n3时，a3(3×5)a3，a3.当n4时，a4(4×7)a4，a4.故猜想an.5利用数学归纳法证明“(n1)(n2)··(nn)2n×1×3××(2n1)，nn*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()a2k1 b2(2k1)c. d.答案b解析当nk(kn*)时，左式为(k1)(k2)··(kk)；当nk1时，左式为(k11)·(k12)··(k1k1)·(k1k)·(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)6设数列

21、an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.答案解析由(s11)2s1·s1，得s1，由(s21)2(s2s1)s2，得s2，依次得s3，s4，猜想sn.7设s112，s2122212，sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_答案(k1)2k2解析由s1，s2，sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项(k1)2k2(n，kn*)8设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f

22、(4)_；当n>4时，f(n)_.(用n表示)答案5(n1)(n2)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)9在数列bn中，b12，bn1(nn*)求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明解由b12，bn1，得b2，b3.经比较有b1>，b2>，b3>.猜想bn>(nn*)下面利用数学归纳法证明当n1时，b12， <b1.假设当nk(k1，kn*)时，结论成立，即 <bk，bk >0.当nk1时，bk1>0.bk1> ，也就是说，当nk1时，结论也成立根据知bn>(

23、nn*)10数列xn满足x10，xn1xxnc(nn*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c<0；(2)若0<c，证明：数列xn是递增数列证明(1)充分性：若c<0，由于xn1xxncxnc<xn，所以数列xn是递减数列必要性：若xn是递减数列，则x2<x1，且x10.又x2xx1cc，所以c<0.故xn是递减数列的充要条件是c<0.(2)若0<c，要证xn是递增数列即xn1>xn，即xx1xnxc>0，也就是证明xn< .下面用数学归纳法证明当0<c时，xn< 对任意n1，nn*都成立当n1时，x10<

24、，结论成立假设当nk(kn*)时结论成立，即xk< .因为函数f(x)x2xc在区间(，内单调递增，所以xk1f(xk)<f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xn< 对任意n1，nn*都成立因此，xn1xnxc>xn，即xn是递增数列11已知函数f0(x)(x>0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nn*.(1)求2f1()f2()的值；(2)证明：对任意的nn*，等式|nfn1()fn()|都成立(1)解由已知，得f1(x)f0(x)()，于是f2(x)f1(x)()()，所以f1()，f2()，故2f1()f2()1.(2)证明由已知，得xf0(x)si

25、n x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin(x)，类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin(x)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin(x)对所有的xn*都成立当n1时，由上可知等式成立假设当nk时，等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin(x)因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，sin(x)cos(x)·(x)sinx，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx因此当nk1时，等式也成立综