模态分析理论

1、机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-à响应的频率必定与激励一致。稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号-à离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题

2、，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。正则化，解耦。（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、 单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：自由振动：正则形式：其中：衰减系数（衰减指数）；：无阻尼固有频率（固有频率）引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：运动微分方程可写成：特解为：，为方程的特征值，因此：为使系统有非零解，很显然：因此可得到的

3、解为：式中：成为阻尼固有频率。当：>1（），过阻尼，系统不产生振动；当：=1（），过阻尼，系统不产生振动；当：<1（），过阻尼，系统不产生振动。可见，特征值实部代表系统的衰减系数；虚部代表系统的阻尼固有频率。在振动理论中，特征值称为复频率。方程的通解（自由振动响应）为：其中，A和取决于系统的初始条件。当t=0时，。2、 传递函数、频响函数对于简谐激励：，其稳态响应：h(t)单位脉冲外力下的响应函数(简称为脉冲响应函数)，时域内反映系统的动态特性：H()机械导纳，反映系统对不同频率的激励的传递放大特性，反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性对于单自由度粘性阻尼振动系统，通过拉氏变

4、换和傅氏变换可得到：所以，位移频响函数为：速度频响函数为：加速度频响函数为：频响函数的倒数成为阻抗。单位脉冲响应函数（简称为脉冲响应函数）：振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。单位脉冲力是指：脉冲量为1，作用时间无限短的瞬时力：质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为：，则自由振动的初始条件就为：可得到系统的自由振动响应：就是脉冲响应函数。很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对：（1） 简谐激励结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结构影响很小。而且由应变可计算得到应力，工程中常常通过

5、测量得到应变模态。（2） 周期性激励周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成。（3） 瞬态激励激励和响应都是非周期信号。但是对于绝对可积的函数，可应用傅立叶变换得到激励和响应的频率域函数：因此，（4） 随机激励为非确定性的激励，无法用一个明确的函数来描述，不绝对可积，不能对激励和响应进行傅立叶变换，只能用概率统计的方法来处理。在时间域：相关函数在频率域：功率谱密度函数很显然，无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导：1）2）相干函数可以检验系统的非线性程度，如测量对象在某处联接存在松动等非线性情况，系统非线性等。当输入和输出存在噪声，也会使相干

6、函数下降。输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小；输出存在噪声，会使估计的频响函数偏大；还可用下面一些估计方法：（3）模态试验技术1）工作模态：相同激励，同时测量响应。（未考虑激励，无法量化）2）自由模态：测量激励和响应。（单点激励法、多点激励法）试验系统：u 激励装置和激励传感器u 响应传感器u 分析处理激励方法：u 锤击法u 作动器、激振器（正弦激励、正弦扫描激励、阶跃松弛激励、随机激励、白噪声激励）4、模态参数识别（1）单自由度系统对于粘性阻尼系统，传递函数为：其中，频率比实际金属结构，常常不完全能用粘性阻尼来描述衰减特性，实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内部摩擦（内耗）及各部件连接

7、界面（如螺钉、衬垫）相对滑移（干摩擦）。它们消耗的能量与振幅的平方成正比。其阻尼成为结构阻尼。结构阻尼产生的阻尼力：其中，：结构阻尼比（损耗因子），引入结构阻尼系数：。结构阻尼力的大小与位移成正比，方向与速度相反的一种阻尼力。因此具有结构阻尼特性的单自由度振动系统运动微分方程为： 是一个圆的方程。通过试验可求得系统的频响函数，利用上述频响函数的特征可以识别系统的特征参数：固有频率、阻尼特性、模态振型等。（2）多自由度系统实际结构一个连续体，是复杂无限自由度系统。绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度的多自由度系统。对于一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标来描述其物理参数模型。在线

8、性范围内，物理坐标系的自由振动响应为n个主振动的线性叠加。每个主振动都是一种特定形态的自由振动，振动频率即为系统的主频率（固有频率），振动形态即为系统的主振型（模态或固有振型）。多自由度系统的惯性、弹性和阻尼都是耦合的，刚度和阻尼矩阵是非对角化的矩阵，很难求解！微分方程解耦（矩阵对角化）！求特征值和特征向量，在结构中就是将系统转化到模态坐标，使系统解耦。F:激励向量；X:响应向量。M、C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。拉氏变换：用替代s，进入傅氏域内处理：对于线性不变系统，系统的任何一点的响应均可以表示成各阶模态响应的线性组合：式中：为r阶模态坐标；为l测点的r阶模态振型系数。对于N个

9、测点，各阶振型系数可组成列向量，称为r阶模态振型。各阶模态向量组成模态矩阵：物理意义：各阶模态对响应的贡献量。，为模态坐标。（1） 对于无阻尼自由振动系统对于r阶模态：左乘，得到：对于s阶模态：右乘，得到：两式相减，可以得到：当r<>s时，当r=s时，令：，分别称为模态刚度和模态质量。我们再引入比例阻尼和对应的模态阻尼，因此有：用模态坐标替代物理坐标后，可见，刚度、质量、阻尼矩阵都已经对角化了，即解耦了。对应r阶有：模态试验时，我们测得p点激励，l点响应：模态力为：由上面可得：所以，l点和p点间的频响函数：令，为等效模态刚度其中，为r阶模态频率比；为r阶模态阻尼比。注意：上述讨论适

10、合无阻尼、比例阻尼，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称的，称为实模态矩阵。对于小阻尼系统也还是适用的。而对于大阻尼系统，需要采用复模态来进行分析。6、模态参数识别的方法（1）频域模态参数识别法：单模态识别法、多模态识别法1）最小二乘导纳圆拟合法（单模态）2）差分法（单模态）3）非线性加权最小二乘法（多模态）4）直接偏导数法（多模态）5）Levy法（多模态）6）正交多项式拟合法7）分区模态综合法（2）时域模态参数识别法1）随机减量法2）ITD法3）最小二乘复指数法（LSCE）4）ARMA时序分析法结 构 动 力 修 改模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后，我们应该寻求改进系统动态特

11、性的方法。有两种情况：1） 由于制造和设计原因，不得不对现有结构进行局部修改。如：共振？局部疲劳破坏？振动噪声大异常等?是否可以根据目前系统来寻求结构的优化，改进系统的动态特性！2） 由于原结构动态特性不理想，需要修改。如：要在系统中加/减一个附件？是否可以根据目前系统推知和预测修改后系统的模态特性参数！（1） 灵敏度分析对于结构动态特性灵敏度分析，从灵敏度的基本概念出发：一阶微分灵敏度：一阶差分灵敏度：结构动特性灵敏度是指：特征参数（特征值、特征向量）对结构参数（质量、刚度、阻尼）的改变率。也就是单位结构参数的变化产生的特征参数变化量。对于无阻尼模态系统：上式对参数pm求导：两边同乘以，简化

12、后可以得到：其中，pm可以是mij质量或kij刚度物理参数。，i<>j* 质量增加使固有频率降低！，i<>j* 增加对地刚度，使固有频率增加！从固有频率的灵敏度计算公式可以得到：1） 对某阶固有频率，该阶模态振型中变形较大的部位是敏感部位，改变这些部位的物理参数，将获得较大的固有频率的改变。2） 某部位的质量或刚度的改变，对不同阶模态的固有频率的影响程度是不同的。3） 质量的改变对高阶固有频率的影响较大；刚度改变对低阶固有频率的影响较大。同样可推导得到特征向量的灵敏度：结论：1） 某阶模态向量振型灵敏度是各阶模态矢量的线性组合。所以，需要有完备的模态振型。一般，越接近该

13、阶模态的权重越大。2） 修改质量对高阶模态振型的影响大，修改刚度对低阶模态振型的影响大。3） 无论何种灵敏度，当修改振型较大部位的质量、刚度时，对该阶振型影响大都比较大。对于复模态：（2） 结构动力修改1）“正问题”:当系统结构参数做修改时，根据其改变量、，求修改后的系统动力特性、。2）“反问题”：通过某些结构参数的改变，使系统的动力特性参数，如固有频率、模态振型满足预定的要求，或避开（或落入）某个范围。已知、，求、。FEM:有限元模态（理论模态, Finite Element Method）EMA：试验模态分析（Experimental Modal Analysis）通常认为：FEM计算结果

14、存在误差，而EMA的结果是准确的。然而，做FEM计算比做EMA要简单得多，特别是在修改结构时，能够方便地预测修改后结构的各种动态特性。为了有效地利用FEM这一强有力的工具，可以使用EMA结果对FEM模型进行修正，以得到准确的FEM模型，即所谓的综合建模问题。实际上是调整模型的结构参数，使之更加合理，更加接近实际，更加接近试验模态的结果。一般，FEM模型的自由度要比EMA模型自由度要多得多。一般遵循能量等效原则，采取自由度缩减或物理参数矩阵的缩聚。EMA试验模态分析为基础的结构动力修改解决方案：1） 特征灵敏度法：通过灵敏度分析，已经得到了固有频率和模态振型相对于质量、刚度、阻尼的灵敏度。运用多

15、元函数的泰勒级数展开，当修改量为小量时，并忽略二阶以上的小量。灵敏度法仅适合结构小量修改，当修改量比较大时，可采用分成若干步，每步为小量的修改方法，提高修改得到的精度。2） 矩阵摄动法当系统有物理参数的变化、后：做模态坐标变换：解方程，求特征值和特征向量。因此修改后系统的固有频率为，特征向量为模态测试系统测试系统负责将被测物理量采集下来，转换成某种信号，经过前置放大器和微积分变换，变成可供分析仪器使用的电压信号。对于试验模态分析测试系统中，传感器主要有响应振动量（位移、速度、加速度）测量传感器，激励力传感器。从力学原理上，振动传感器又可分为绝对式传感器和相对式传感器。绝对式传感器测量振动物体的

16、绝对运动，这时需将振动传感器基座固定在振动体待测点上。绝对式振动传感器的主要力学组件是一个惯性质量块和支承弹簧，质量块经弹簧与传感器基座相连，在一定频率范围内，质量块相对基座的运动（位移、速度和加速度）与作为基础的振动物体的振动（位移、速度、加速度）成正比，传感器敏感组件再把质量块与基座的相对运动转变为与之成正比的电信号，从而实现绝对式振动测量。相对式传感器测量振动体待测点与固定基准的相对运动，这时，由传感器敏感组件直接将此相对运动（即振动体的运动）转变为电信号。相对式传感器又可分为接触式和非接触式两种。实际上，有时（如振动体在空间宏观移动）很难建立一个测量的固定基准，另外，从现场振动测量的便

17、利条件和应用方便而言，使用得最多的是绝对式传感器。但在某些场合，无法或不允许将传感器直接固定在试件上（如旋转轴、轻小结构件等），必须采用相对式传感器。从电学原理上，根据所采用的将力学量转变为电学量的传感器敏感组件的性质，振动传感器又可分为电感型、电动型、电涡流型、压电型等。振动传感器的技术性能主要有：l 频率特性：包括幅频特性和相频特性。l 灵敏度：电信号输出与被测振动输入之比。l 动态范围：可测量的最大振动量与最小振动量之比。l 幅值线性度：理论上在测量频率范围内传感器灵敏度应为常数，即输出信号与被测振动成正比。实际上传感器只在一定幅值范围保持线性特性，偏离比例常数的范围称为非线性，在规定线

18、性度内可测幅值范围称为线性范围。l 横向灵敏度：实际传感器除了感受测量主轴方向的振动，对于垂直于主轴方向的横向振动也会产生输出信号。横向灵敏度通常用主轴灵敏度的百分比来表示。从使用观点看，横向灵敏度越小越好，一般要求小于3%5%。目前使用较多的相对式位移传感器为电涡流传感器，它的特点是结构简单，灵敏度高，线性好，频率范围宽（010kHz），抗干扰性强，因此广泛应用于非接触式振动位移测量，尤其是大量应用大型旋转机械上监测轴系的径向振动和轴向振动。速度传感器应用较广的是电动式速度传感器，它又分为相对式和绝对式。这种传感器的灵敏度比较高，特别是在几百Hz以下的频率范围内，它的输出电压较大。此外，它的

19、线圈阻抗较低，因而对与它相配的测量仪器的输入阻抗、连接电线的长度及质量要求都较低。通过电子线路的微分或积分可获得振动的加速度值和位移值。用于测量振动加速度最多的是压电式加速度传感器，又称加速度传感器或加速度计。加速度计是一种压电换能器，它能把振动或冲击的加速度转换成与之成正比的电压（或电荷）。加速度计具有体积小、重量轻、频响宽、耐高温、稳定性好及无须参考位置等优点，由于它的脉冲响应优异，更适合于冲击的测量。加速度计的频率响应曲线l 压电材料是锆钛酸铅l 加速度计灵敏度每年约降低1-5%，因此，为保持测量精度最好每年校准一次。l 重量比较轻的加速度计，工作频率高，最大可测加速度值大，但灵敏度低。

20、反之，比较重的加速度计，灵敏度高，但工作频率低，最大可测加速度值小。力传感器：压电式力传感器：利用压电效应，将压力变化转化成电荷量的变化，再经过电荷放大器转化成电压信号。压电式加速度传感器：结构型式：中心压缩型、三角剪切型属于接触式传感器，应尽量与试验结构固定连接好。正确地将加速度计安装到被测振动物体上是很重要的。要求加速度计和被测物体之间的安装表面平直光滑，机械连接越紧密牢固，其使用的上限频率越高。我们可以用螺栓、磁性夹头、胶粘等方法来安装测试时应将电缆线固定，以防止由于电缆屏蔽层和绝缘材料间的磨擦产生电荷而在指示仪表输入端引起噪声。加速度计安装方法压电式传感器的原理模态试验：测量激励和响应

21、，得到频响函数，通过模态参数识别得到固有频率和模态振型。激励方法：1、 激振器信号发生器à功率放大>激振器，产生作用力到结构上！加速度传感器，测量结构的响应电荷放大器A/D采集信号分析、模态分析处理处理软件一般采用电动力式激振器：磁铁1、铁芯2、顶杆5、芯杆6、线圈7、环形气隙4、弹簧8、外壳9、磁极3等组成2、 冲击法冲击锤是PCB和辛辛那提1972年联合发明的，1983年获得美国工业发明IR-100奖。组成：锤体1、力传感器2、锤帽3、锤柄4、附加质量5锤帽在冲击试验过程中直接与试验对象接触。一般有钢、铝、尼龙、橡胶等不同硬度的材料制造而成。输入能量：与锤的质量有关，一般质

22、量越大，相同冲击速度下，冲击能量大。频带宽度可增大。锤击法模态试验需要注意的几个问题：1） 鉴别实验结构的非线性程度。用不同力度激励，测量两点频率响应函数，如果相差不大，说明结构的非线性现象不严重。2） 选择合适的冲击锤a) 力脉冲的宽度不宜太小，应至少采集到力脉冲波形的4个有效数据点。b) 尽可能提高激励能量，以提高信噪比。3） 选择合适的激励点a) 尽量不要布置在模态节点位置。b) 应尽量布置在刚度较大的部位4） 敲击间隔时间a) 每次激发的速度尽量相同b) 每次激发要确保前次激发的响应已经变为零。5） 防止信号过载：传感器、电荷放大器、信号采集器都有可能出现过载。6） 力传感器和锤帽的影响。7） 自由模态，构件的悬吊要注意。构件变形，附加刚度、附加约束等。模态分析在实际工程中应用模态分析是结构动态设计的核心和基础涉及:l 动强度动刚度l 操作或设备使用的舒适性问题l 振动、噪