椭圆离心率的解法

1、椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图， O 为椭圆的中心， F 为焦点， A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上， PDL 于 D，QFAD 于 F,设椭圆的离 PF QFAO AF心率为 e，则 e= PD e= BF e=BO e= BA FO e= AOPDQBAFO评： AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。a2 AO=a, OF =c, 有； AO =a, BO =c

2、 有。x2y2题目 1：椭圆 a2+ b2=1(a>b >0) 的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ABF1F2思路： A 点在椭圆外，找a、b、 c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 , 把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2 分析三角形的各边长及关系。解： F1F2 =2c BF1 =c BF2 =3cc+3c=2ae=ca=3-1x2y2变形1：椭圆a2+b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、 F2，点P 在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？PF2F1O解：连

3、接 PF2 , 则 OF2 = OF1 =OP , F1PF2 =90 °图形如上图， e=3-1x2y2变形 2:椭圆 a2+ b2=1(a>b >0) 的两焦点为F1 、 F2 ， AB为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 X 轴， PF2 AB,BPF1F2OA求椭圆离心率？b2解： PF1 = a F2F1 =2c OB=b OA =a PF1b22PF2 AB F2 F1 = a又 b= a-c5a2=5c2 e=5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形x2y

4、2题目 2：椭圆 a2+ b2=1(a>b >0) ，A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，ABF=90°，求 e?BAOF解： AO =aOF =c BF =a AB = a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c2a2-c2-ac=0 两边同除以 a2e2-1+ 5-1-5+e-1=0 e=e=2(舍去)2x2y2-1+5变形：椭圆 a2+ b2 =1(a>b >0)， e=2, A 是左顶点，F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

5、答案：90°引申：此类 e=5-12 的椭圆为优美椭圆。性质： 1、 ABF=90° 2、假设下端点为B, 则ABFB四11点共圆。 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示， 结合解斜三角形公式，列出有关 e 的方程式。x2y2题目3：椭圆a2+b2=1(a>b >0)，过左焦点F1且倾斜角为 60°的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2 BF1 ,求e?解：设BF1 =m则 AF2 =2a-am BF2 =2a-m在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：a2 c2=m(2a-

6、c)： 2a-c 122(a 2-c 2)=m(2a+c)两式相除2a+c = 2e=3x2y2=1(a>b >0) 的两焦点为 F（ -c ， 0）、题目 4：椭圆 a2 +b21F2 (c,0)， P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点，且 PF1F2 =5 PF2F1 , 求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。F1F2=F1P=解：由正弦定理： sin F 1PF2sin F 1F2PPF2sin PF 1F2根据和比性质： F1F2 F1P +PF2=sinFF P+sin PFFsin F PF112212 F1F2sin F 1PF2变形得：PF2

7、+ F1P = sin F 1F2P +sin PF 1F2=2c=2a=e PF1F2 =75 ° PF2F1 =15 °sin90 °6e= sin75 ° +sin15 °= 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2x2y2变形 1：椭圆 a2+ b2=1(a>b >0) 的两焦点为F1 （ -c ， 0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且F1PF2 =60 °，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设 F1F2P=，则 F

8、2 F1P=120°- sin F1PF2sin60°e=sin F 1F2P +sin PF 1F2=sin +sin(120 ° - )=1112sin( +30° ) 22 e<1x2y2变形 2：已知椭圆 4 +4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点， M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设PF1F2 =1 1 , PF2F1 =若 3 <tan2 < tan2<2, 求 e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。sin F 1PF2sin( + )解; 根据上题结论 e=sin F 1

9、F2P +sin PF1F2=sin +sin 2sin +2cos2=+ - 2sin2cos2cos2cos2 -sin2sin2=cos2 cos 2+sin2sin21- tantan=22=e1- tantan2211-e1113< 1+e <23<e<2三、以直线与椭圆的位置关系为背景， 用设而不求的方法找 e 所符合的关系式 .22xy焦点 F 的直线交椭圆于=1(a>b >0) ，斜率为1，且过椭圆右 A、 B 两点，OA OBa=(3,-1)共线，+ 与A(X 1,Y 1 )OB(X 2,Y 2 )求 e?法一：设 A(x,y ) ,B(x

10、2,y)112b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a 2+b2)x 2-2a 2cx+a2c2-a 2b2=02a2c2a2c-2b 2cx 1+x2=a2+b2y1+y2=a2+b2-2c=a2+b2 OA+OB=(x 1+x2 ,y 1 +y2) 与（ 3， -1 ）共线，则- （x 1+x2） =3(y 1+y2) 既 a 2=3b2e=63 法二：设 AB的中点 N，则 2ON=OA+OBx12y12a2 +b 2=1- 得：x22y22a2 +b 2=1y1 -y 2b2x1 +x 2b2既 a2=3b2x 1-x 2=-a2y 1+y21=- a2 (-3)6e= 3四、 由图

11、形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。x2y2题目 6：椭圆 a2+b2=1(a>b >0) 的两焦点为 F1（ -c ， 0）、2，满足MFMF=0的点 M总在椭圆内部，则 e 的取F (c,0)·21值范围？MF1OF2分析： MF1·MF2 =0 以 F1F2 为直径作圆， M在圆 O上，与椭圆没有交点。解： c<b2=b2+c2 >2c22a 0<e< 2x2y2题目 7：椭圆 a2 +b2=1(a>b >0) 的两焦点为 F1（ -c ， 0）、F2 (c,0)，P 为右准线 L 上一点，F1P 的垂直平分线恰过F

12、2 点，求 e 的取值范围？PMF1F2O分析：思路1, 如图 F1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、 c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求ea2-ca2cy0解法一： F1（ -c ， 0） F 2 (c,0)P(c ,y 0 ) M(2, 2 )b 2y 0a2既( 2c , 2 )则 PF1=-(c+c, y 0 )b 2y 0MF =-(-c,)PF·MF =022c212a2b 2y0(c +c, y0 )· ( 2c-c,2)=0a2b 2y 02(c +c) · ( 2c -c)+2=0a2-3c 203 3 e<1解法 2： F1F2 = PF2 =2ca2a2a2PF2