专题16以基本不等式为背景的应用题解析版

1、专题16以基本不等式为背景的应用题真题体验1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买X吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4X万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X的值是.【答案】30【解析】总费用为4x 600 64(x900)4 2 900240 , 当且仅当x 900，即x 30时等XXx号成立.在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要 求中字母为正数)、定”不等式的另一边必须为定值 )、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现 错误.2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H

2、单位：m).示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h = 4 m，仰角/ ABE= a，/ ADE= 3 .(1) 该小组已测得一组 a , 3的值，tan a = 1.24 , tan 3 = 1.20，请据此算出 H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m),使a与3之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125 m,试问d为多少时，a 3最大？丄卄 ” “HhHrHhH规范解答(1)由 AB=, BD=, AD=及 AB+ BD= AD,得+=°,tan atan 3tan 3tan a tan 3 tan 3”htan

3、a4X 1.24解得 H= 124.tan a tan 31.24 1.20因此算出的电视塔的高度H是124 m.(2) (1) 由题知 d = AB 贝U tan a由 AB= ADd BD= -3 t 3tan 3 tan 3，得 tan3= Hdh,所以tan( a-3 ) = tan 3 卩hw h1 + tan atan 3 h H h 2 H H h 'd 当且仅当d= H H h =125125 4 = 55 5时取等号.n又0<a 卩< 2，所以当d = 55*J5时，tan（ a 卩）的值最大.n因为 0< 3 < a <2 , 所以当d

4、 = 55 5时，a 3的值最大.3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy, x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y= kx箱(1 + k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km,试问它的横坐标 a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.满分14分.1规范解答(1)令y = 0,得kx

5、 20(1 + k2)x2= 0,由实际意义和题设条件知x>0, k>0,当且仅当k = 1时取等号.20k20201+ k2=1 三 2 = 10,k + k所以炮的最大射程为 10km.1(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标等价于存在k>0,使3.2 = ka 2。(1 + k2) a2成立,即关于k的方程a2k2 20ak+ a2 + 64= 0有正根，所以判别式 A = ( 20a)2 4a2(a2+ 64) > 0,解得aw 6，所以0<aw 6.所以当a不超过6km时，炮弹可击中目标.难点突破、解函数应用问题的步骤(1) 审题：弄清题意，分清条件

6、和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模(3) 解模：求解数学模型，得出数学结论；(4) 还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。题型一、与几何体有关的应用题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，

7、与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。例1、(2016常州期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2).(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值.规范解答(2)因为(1)由题设得 S

8、= (x- 8) 900 - 2 =- 2x 7200 + 916, x (8,450). (6 分)xx8<x<45。，所以 2X+7 200 > 22x7 200= 240，(8 分)当且仅当x= 60时等号成立.(10分)从而 SW 676.(12 分)答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(i4分)例2、(2017南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板 ABCD然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒 (如图)设小正方形边

9、长为 x厘米，矩形纸板的两边 AB BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a> b.(1)当a= 90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a, b, x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.思路分析(1) 纸盒侧面积S(X)是关于X的函数，即求 S(X)ma”(2)先猜想并证明a= b时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值.规范解答(1)当a= 90时，b= 40,纸盒的底面矩形的长为90- 2x,宽为40 2x,周长为260 8x.2所以纸盒的侧面积 S(x) = (260 8x)x= 8x + 260x,其中 x (0,20) , (3 分)654 225故 S(x

10、) max= S =.42答：当a= 90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米.(6分)b(2)纸盒的体积 7= (a 2x)( b 2x) x，其中 x 0, ? , a>b> 0,且 ab= 3 600.(8 分)因为(a 2x)( b 2x) = ab 2(a+ b)x+ 4x2< ab 4 abx+ 4x2= 4(x2 60x + 900)，当且仅当 a= b= 60 时取等号，32所以 VW 4( x 60x + 900x), x (0,30) (10 分)记 f (x) = 4(x3 60x2 + 900x) , x (0,30),则 f ' (x) = 12

11、(x 10)( x 30),令f ' (x) = 0,得x= 10,列表如下：x(0,10)10(10,30)f ' (x)+0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10) = 16 000，也是最大值.(12分)答：当a= b = 60,且x= 10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.(14分)例3、(2016盐城三模)一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地 ABCD来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边 BC CD上分别取点E , F(不与正方形的顶点重合)，连结AE, EF, FA使得/ EAF= 45° .现 拟将图中阴影部分规划为

12、蜂源植物生长区， AEF部分规划为蜂巢区， CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2X 105元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2,则这三个区域的规范解答设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.则 T= 2X 105 S+ 105 （1S) = 105 (S+ 1)，从而只要求S的最小值即可.(2分)设/ EAB= a （0 ° <a <45°），在 ABE中，因为 AB= 1，/ B= 90°，所以 BE= tan a ,1 1则 Sabe= ?AB° BE= ?tan a , （4 分）又/ DAF=

13、 45° a，同理得 Smdf= ；tan（45a ） , （6 分）1所以 S= 2【tan a + tan（4511 tan a八a ） = ?tan a +, （8 分）1 + tan a令 x = tan a （0,1）,11 xS= 2x + 1 + x1 x 1 =2 x x+ 1=1 x+ 1 （10 分）2x+12 2 > ；（2 2 2） = 2 1, x 12当且仅当2x+ 1 = x +1,即x=2- 1时取等号.旦 （12分）从而三个区域的总投入 T的最小值约为 2 X 105元.(14分)题型二、与利润等有关的应用题与利润有关的问题关键是要认真审题，只

14、有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例4、(2019南京学情调研)销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式 P = *+ ；销售乙种商品所得利润是 Q万元，它与投入资金 t万元的关系有经验公式Q= bt，其中a, b为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为f(x)万元.(1)求函数f(x)的解析式;（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润

15、总和最大，并求最大值.at规范解答（1）由题意P= t + 1, Q= bt,故当 t = 3 时，P= 3a = 9, Q = 3b= 1. （3 分）3+ 141解得 a= 3, b= 3.（5 分）所以卩=囂，Q= ；t.从而 f（x） = 3x + 3 _ X, x . （7 分）x + 133x 3 x 1331 x+1由可得 f（x） = x+1+3 = 3 - x+1 +3.（9 分 ）故一+> 2,当且仅当 一 = ，即x = 2时取等号从而 f（x） w 普一2 = 7. （11分）x+ 13x + 1333 '，所以f（x）的最大值为7.3答：分别投入2万元、

16、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是3万元.（14分）例5 （ 2017 苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：w 4 ，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入x 1其他成本（如施肥的人工费等）2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）.（1）求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域;（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少?解析（1） L（x）16 4(2)法

17、L(x)64 x 1 3x6448x 13x (0 x 5) 67483 x 167-248 3(X !)43x 1Vx 1x 2x当且仅当48x 13 x 1时，即x 3时取等号.故 L x max43 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.48法二：L x 23，由 L x 0 得，x 3 x 1故当x 0,3时，L x 0 , L x在0,3上单调递增;当x 3,10时，Lx 0, Lx在3,5上单调递减;xmax答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.例6、（ 2016镇江期末）过去的 2013年，我国多地区遭遇了雾霾天

18、气，引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只.（1）据市场调查，若售价每提高 0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月26x（x> 9）元，并投入"5'（x- 9）万元总利润（月总利润=月销售总收入一月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价0 2作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少 一°万只，则当每只x 8 2 售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.x 8规范解答（1）设每只售价为x元

19、，则月销售量为 5-05 X 0.2万只.x 8由已知得 5 X 0.2 （x 6） > （8 6）X 5, （3 分）0.5253296所以孑2 53x+ 丁三 0,即卩 2x2 53x+ 296< 0.（4 分）解得 8 < xw 37.（5 分）即每只售价最多为18.5元.（6分）（2）下月的月总利润x8、/0.226-小y= 5而 X p（x 6） 26（x 9）（9 分）2.4 0.4x1234 150=x 8 5x+50.4 X 8 0.8184=x 8 5x+ 54+ x 85 x 85745.（10 分）因为x>9,所以5x8 + x58> 2 2

20、54，（12 分）4x 8当且仅当U 4。K，即x= 10,等号成立，所以ymin = 14.（13分）5 x 85''答：当x= 10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元.（14分）1、某种生产设备购买时费用为 10万元，每年的设备管理费共计 9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年 2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）.答案 10解析 设使用x年的年平均费用为y万元.20.2 x + 0.2 x 10+ 0.9 x +由已知，得 y=亦10x*即 y = 1+ X

21、+ 10(x N).由基本不等式知 y1 + 210 x10 xx “= 3,当且仅当x =“，即x = 10时取等号.因此使用10年报废最合算,x 10x 10年平均费用为3万元.2、为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地 ABCD建成生态休闲园，园区内有景观湖EFG （图中阴影部分）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系 xOy（如图所示）景观湖的边界曲线符合函数 y-（x0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，P0 -x3百米（1）若在点0和景观湖边界曲线上一点之间修建一条休闲长廊 0M，求0M的最短长度;x（2）若在线段DE上设置一园区出

22、口 Q，试确定Q的位置，使通道 PQ最短.1解：（1）设直线0M : y kx （其中k一定存在），代入 y x1 2得kx x，化简为k 1 x 1.x所以OM令 t k 1(t0)，则 k t 2t 答：当点Q在线段DE上且距离y轴丄百米，通道 t 222 2k 1tt当且仅当t 2时等号成立，即k ,21时成立综上，0M的最短长度为 2 22百米（2）当直线PQ与边界曲线相切时,PQ最短.若直线PQ斜率不存在，则直线方程为不符合题意;若直线PQ斜率存在，设PQ方程为，代入y化简得(k1)x24kx 10.31时,1时,因为直线与曲线相切，所以4k324(k1)3方程有唯一解x（舍去），4

23、1y轴 百米.33解得k 3或k（舍去），4此时直线PQ方程为y 3x 4 ,1令y 5，得x ,即点Q在线段DE上且距离3PQ最短.P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足Px+ 21（其中0w x< a, a为正常数）.已知生产该批产品还需投入成本6 P +孑万元（不含促销费用），产品的3 16 y=22 - 2x+2+ X+ 2 < 22 -3 區 x+ 2=10,16当且仅当16 = x+ 2，即x = 2时，上式取等号.（8分）x + 2所以当a> 2时，促销费用投入 2万元时，厂家的利润最大；（9分）由 y= 19-24x + 2；x,得 y，24x +

24、2 232,当x<2时，y' >0,此时函数y在0,2上单调递增， 所以当a<2时，函数y在0, a上单调递增，（11分） 所以当x= a时，函数有最大值.即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.（12分）综上，当a> 2时，促销费用投入 2万元，厂家的利润最大；当 a<2时，促销费用投入 a万元，厂家的利润最大.（14分）4、（2017南通一调）如图，某机械厂要将长 6 m，宽2 m的长方形铁皮 ABCD进行裁剪.已知点 F为AD的 中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形 CDFE&直线EF翻折到MNF处（点C, D分别落在直线 BC下方点 M

25、N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪.n（1）当/EFP= 4时，试判断四边形 MNPE勺形状，并求其面积；n规范解答（1）当/EFP=，时，由条件得4n/ EFP=Z EFD=Z FEP=,.4n所以/ FPE= 2 .所以FNL BC四边形MNP为矩形.（3分）所以四边形 MNP的面积S= PN- MN= 2（m若使裁剪得到的四边形 MNP面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.）. （5 分）n（2）解法 1 设/ EFD= e 0< e < 2，由条件，知/ EFP=Z EFD=Z FEP= 0 .所以PF=sin2sin2 02八3-时(8 分)23 sin20&g

26、t; 0，23_ tan 0> 0,2sin2 0 > 3,32 得 tan 0 > 3,(*)nOv0v 2 ,Ov 07tV 2.所以四边形MNP面积为1S= 2(NP+ ME MN1 2 2-3 _l 32 sin2 0tan 02 26_ tan 0 sin2 02 222 sin 0 + cos 0tan 02sin 0 cos 032 3.当且仅当tan 0= tan 0，即tan 0 =3,(14 分)此时，(*)成立.MNP面积最大，最大值为(6 2 3) m(16 分)n答：当/ EFD= 3时，沿直线PE裁剪，四边形5、(2016镇江期末)如图，某工业园区

27、是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站 P,现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路 AB把园区分成两个区域.(1) 设中心O对公路AB的视角为a，求a的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站 P在园区内再修建一条与 AB垂直的笔直公路 CD求两条公路长度和的最小值.寿规范解答（1）如图1,作OHL AB设垂足为H,记OHk d,da= 2ZAOH 因为 cos/AOH= 10，(1分)要使a有最小值，只需要 d有最大值，结合图像可得,dw 01 5 km , （3 分）当且仅当 ABL0P时，dmax= 5 km.n 2 n此时 a

28、 min = 2 / AOH= 2X 3 = 3 .（4 分）33设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S,由题意得 S= f ( a ) = S 扇形一 Saaob= 50( a Sin a ) , (6 分)f '( a) = 50(1 COS a ) > 0恒成立，所以f( a )为增函数，(7分)2 n2 n/32所以 Smin = f 3= 50 3 2 km .(8 分)答：视角的最小值为2 n3.(9 分)(2)如图2,过O分别作 OHL ABOH丄CD垂足分别是 H, H，记OH= d1,OH= d2,由(1)可知7 0,5, 所以 d?+ d2= OP=

29、 25,且 d= 25 d?, (10 分)因为 AB= 2 100 d2, CD= 2 100 d2,所以 AB+ CD= 2( 100 d2 +100 d2)=2(100 d2 +75 + d1) , (11 分)记 L(d" = AB+ CD= 2( 100 d1+ 75 + d1),可得 L2( d1) = 4175 + 2 100 d； 75 d； , (12 分)由 d2 0,25,可知 d2= 0或 d2= 25 时，的最小值是 100(7 + 4 3),从而AB+ CD的最小值是(20 + 10 3) km.(13 分)答：两条公路长度和的最小值是（20 + 10 3

30、） km.（14分）6、（2018扬州期末）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，2 n其中P, Q分别在射线OA和OB上.经测量得，扇形 OPQ的圆心角（即/ POQ）为丁、半径为1千米，为 了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ区域外修建一条公路 MN，分别与射线 OA, OB交于M, N两点，并要 求MN与扇形弧PQ相切于点S.设/ POS= a单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN的长度表示为 a的函数，并写出 a的取值范围；（2）试确定a的值，使得公路 MN的长度最小，并求出其最小值.规范解答（1）因为MN与扇形弧PQ相切于点

31、S，所以OS丄MN.在RtA OSM中，因为2 nOS = 1，/ MOS = a，所以 SM = tana .在 RtAOSN 中，/ NOS =一 a,所以32nSN = tan 3 a，所以 MN = tan a + tan2 n（tan2 a+ 1）3 a= 3tan a 1，（4 分）其中；< a < n .（6分）nnj-）因为 6 < a < 2，所以 3tan a 1>0.令 t=J3tan a 1>0，则 tan a = J33（t + 1），3（2）解法1（基本不等式所以 MN = 33 t+ 4 + 2 .（8 分）由基本不等式得 MN > 3 2 tx ：+ 2 = 2 3，（10分）当且仅当t= 4，即t= 2时取“ =”.（12分）：3n此时tan a= -J3，由于< a6nn<2，故3 .(13 分)解法2(三角函数)MN亠3 (tan2 a+ 1) _3-/3si