系统的状态变量分析学习教案

1、会计学1第一页，共87页。一、系统一、系统(xtng)的状态变量分析法简介的状态变量分析法简介 1、系统、系统(xtng)的状态空间描述：的状态空间描述： 用系统用系统(xtng)的状态方程和输出的状态方程和输出方程描述系统方程描述系统(xtng)输入、状态变量、输入、状态变量、输出之间的关系。输出之间的关系。 状态方程：表示系统状态方程：表示系统(xtng)状态变状态变量与输入之间的关系量与输入之间的关系/方程。对方程。对n阶系统阶系统(xtng)，状态方程是由，状态方程是由n个一阶微分方个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。程（差分方程）组成的方程组。 输出方程：表示系统输出方程：表示系

2、统(xtng)输出与输出与输入和状态变量之间的关系输入和状态变量之间的关系/方程。方程。 对对n阶系统阶系统(xtng)，若有，若有q个输出，个输出，输出方程是由输出方程是由q个代数方程组成的方程组个代数方程组成的方程组。第第8 8章章 系统系统(xtng)(xtng)的状态的状态变量分析变量分析第1页/共86页第二页，共87页。2、系统状态方程的解、系统状态方程的解 A.连续系统状态方程、输出方程的解：连续系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解）时域解 （2）s 域解域解 B.离散系统状态方程、输出方程的解：离散系统状态方程、输出方程的解： （1）时域解）时域解 （2）z 域解域解二、状

3、态空间分析法的应用及优点：二、状态空间分析法的应用及优点： 1、可以提供系统的内部信息、可以提供系统的内部信息(xnx)，使人们，使人们能够比较容易地解能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。 2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。分析。3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分杂系统的分 析设计问题。析设计问题。第2页/共86页第三页，共87页。 8

4、.1 系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：1、状态变量： （1）初始状态：设初始时刻为t0 t0时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电 感元件上电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。初始状态的一般定义(dngy)： 系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道 了这组数和区间t0 ，t上的输入，就可以完全确 定系统在t时刻的输出。表示：n阶系统的初始状态表示为：).().,(),(00201txtxtxn第3页/共86页第四页，共87页。1020101 10220201 10220( ),( )( )( )( )( )( )( )x tx tg ta x

5、ta x tg tb x tb x t设二阶系统的初始状态为并且说明说明(shumng)：系统状态的数目是一定的：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不但状态的选择不唯一。唯一。例例：10200( ),( )g tg tt则也可作为系统在 时刻的状态。第4页/共86页第五页，共87页。010200( ),( ).,( ).ntx tx tx t设 时刻的初始状态为：12( ),( ).,( )nx tx tx t（2） 状态变量：状态变量：表示状态随时间表示状态随时间(shjin)变化的一组变量称状态变量变化的一组变量称状态变量。则系统则系统(xtng)的状态变量的状态变量任一时刻任一时刻t的

6、状的状态为：态为：第5页/共86页第六页，共87页。（3） 状态矢量状态矢量(shling)、状、状态空间：态空间：状态矢量状态矢量(shling)：由状态变量构成的列矢量：由状态变量构成的列矢量(shling)X(t) 称状态矢量称状态矢量(shling)。12( )( )( )( )nx tx ttx tX状态空间状态空间：状态矢量：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。所在的空间称状态空间。第6页/共86页第七页，共87页。1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例：例：2、状态方

7、程和输出、状态方程和输出(shch)方程：方程：（1 1）状态方程：）状态方程：第7页/共86页第八页，共87页。1212,CLcLux ixdudixxdtdt令由由KCL和和KVL得：得：121()CCLLCduCfuidtRdiLufdt第8页/共86页第九页，共87页。212121111111fLxLxfRCxCxRCx上面上面(shng min)的方程组称图示的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：系统的状态方程，其矩阵形式为：21212110010111ffLRCxxLCRCxx第9页/共86页第十页，共87页。状态方程：状态方程：状态方程的一般状态方程的一般(ybn)形

8、式：形式：.,21nxxx设设n阶系统的状态变量为：阶系统的状态变量为：.,21pfff系统有系统有p个输入：个输入：描述系统状态描述系统状态(zhungti)与输入之间的关系的一阶微分方程组。与输入之间的关系的一阶微分方程组。111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnppnnppnnnnnnnnnppxa xa xa xb fb fb fxa xa xa xb fb fbfxa xa xa xb fbfb f则状态方程为：则状态方程为：第10页/共86页第十一页，共87页。令令121212,TTnnTpijijn nn pxxxxxxfffa

9、bXXfAB则则 XAXBf矩阵矩阵(j zhn)形式形式：111211111211121222222122221212pnpnpnnnnnnnnnpbbbfaaaxxbbbfxaaaxfxxaaabbb第11页/共86页第十二页，共87页。1122( )( )( ),( )( )( )( ),( )CLCLy titf tf ty tutut i t系统的输入：系统输出：系统的状态：例：例：（2 2）输出）输出(shch)(shch)方程：方程：第12页/共86页第十三页，共87页。由由KCL和和KVL得：得：121()CCCLLCduiCfuidtRuuf112121211yxxfRRyx

10、f 上式称图示上式称图示RLC系统系统(xtng)的输出方程，其矩阵形式为：的输出方程，其矩阵形式为：11122211101001yxfRRyxf第13页/共86页第十四页，共87页。输出输出(shch)方程：方程：输出输出(shch)方程一般形式：方程一般形式：pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。设设n阶系统有阶系统有n个状态、个状态、p个输入、个

11、输入、q个输出，则输出方程为：个输出，则输出方程为：第14页/共86页第十五页，共87页。矩阵矩阵(j zhn)形式：形式：pqpqqppnqnqqnnqfffdddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121令令12,Tqijijq nq pYyyyCcDd则则YCXDf第15页/共86页第十六页，共87页。二、离散系统状态变量、状态方程、输出二、离散系统状态变量、状态方程、输出(shch)方程：方程：（1）初始状态：初始状态：设初始时刻设初始时刻 ，对，对n n阶系统，阶系统， 初始状态通常指：初始状态通常指：00K.)(,)2(,

12、) 1(nyyy0K时刻状态的时刻状态的一般定义一般定义：0K 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和和 区间上的输入，就可完全确定系统在区间上的输入，就可完全确定系统在K时时刻的输出。刻的输出。KK ,01 1、状态变量：、状态变量：第16页/共86页第十七页，共87页。（2）状态）状态(zhungti)变量、状态变量、状态(zhungti)矢量：矢量：状态变量：表示状态随时间变化状态变量：表示状态随时间变化(binhu)(binhu)的一组变量。的一组变量。12( ) ,( ) ,( )nx kx kx k。状态矢量：状态矢量：由状态变量构成

13、的列矢量由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。称状态矢量。12( )( )( )( )nx kx kkx kX表示：表示：对对n阶系统，状态变量表示为：阶系统，状态变量表示为：第17页/共86页第十八页，共87页。2 2、状态方程和输出、状态方程和输出(shch)(shch)方程：方程：例例1.1. 设系统的方程为设系统的方程为100( )(1)(2)( )y ka y ka y kb f k则有则有设设12( )(2) ,( )(1)x ky kx ky k12010( )( )( )( )y ka x ka x kb f k12201120(1)( )(1)( )( )( )x kx

14、 kx ka x ka x kb f k第18页/共86页第十九页，共87页。矩阵矩阵(j zhn)形式形式：110021200(1)1( )( )(1)( )x kx kf kabx kax k10102( )( )( )( )x ky kaab f kx k第19页/共86页第二十页，共87页。)()() 1()()()() 1() 1() 1(212122221112112121222211121121kfBkXAkXfffbbbbbbbbbkxkxkxaaaaaaaaakxkxkxpnpnnppnnnnnnnn(1)( )( )kkkXAXBf离散系统状态方程、输出方程的一般离散系统状

15、态方程、输出方程的一般(ybn)(ybn)形式：形式： 状态方程：描述系统状态与输入关系状态方程：描述系统状态与输入关系(gun x)(gun x)的一阶前的一阶前向差分向差分 方程组。方程组。一般形式一般形式：n n阶系统，阶系统，p p个输入。个输入。第20页/共86页第二十一页，共87页。输出方程：描述输出方程：描述(mio sh)(mio sh)系统输出、输入、状态之间系统输出、输入、状态之间关系的关系的 代数方程组。代数方程组。一般形式：一般形式： n n阶系统，阶系统，p p个输入个输入(shr)(shr)，q q个输出。个输出。)()()()()()()()()(21212222

16、1112112121222211121121kfDkXCkYfffdddddddddkxkxkxccccccccckykykypqpqqppnqnqqnnn( )( )( )kkkYCXDf第21页/共86页第二十二页，共87页。8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立(jinl)(jinl)一、连续系统一、连续系统(xtng)状态方程的状态方程的建立：建立：（1 1）状态变量的选择）状态变量的选择: : 1、RLC系统状态方程的建立系统状态方程的建立直观编写法：直观编写法：例：例：第22页/共86页第二十三页，共87页。第23页/共86页第二十四页，共87页。（2 2）直观）直观(zhg

17、un)(zhgun)编编写法步骤写法步骤: : 例：例：选状态变量选状态变量: : 11223,LLCxixixi 。设输出设输出(shch)(shch)为为: : 122,Labyuyu列状态方程列状态方程: : 第一步第一步: : 1 122,KVLL x L x关于（电感电压）列方程：1 111312212312()LL xufxR xxfRxRxxff 22231221232()LL xuxR xxfRxRxxf第24页/共86页第二十五页，共87页。第二步第二步: : 3KCLCx 关于（电容电流）列方程：312CCxixx第三步第三步: : 消去除了状态变量和输入以外的其它变量，把

18、状态方程整理成标准形式：112312111112123222223121111111RRxxxxffLLLLLRRxxxxfLLLLxxxCC 第25页/共86页第二十六页，共87页。1111111122222223311111011000RRLLLLLxxfRRxxfLLLLxxCC列输出列输出(shch)(shch)方程：方程：122212322232122LabcyuL xRxRxxfyui RfCx RfRxRxf矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)形式：形式：第26页/共86页第二十七页，共87页。1112223101001xyfRRxyRRfx2 2、由系统、由系统(xtng)(x

19、tng)微分方程编写状态方程：微分方程编写状态方程： （1） 选择状态变量：选择状态变量：令令 , ,321yxyxyx)()()()()(001 2 tfbtyatyatyaty列出系统的状态方程和输出方程。列出系统的状态方程和输出方程。例例1 1：已知系统方程为已知系统方程为解解：第27页/共86页第二十八页，共87页。（2） 状态方程：状态方程：fbxaxaxaxxxxx032211033221（3） 输出输出(shch)方程：方程：1xy 矩阵矩阵(j zhn)形式：形式：fbxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy第28页/共86页第二十九页，共87

20、页。（1）选择）选择(xunz)状态变量：状态变量：令令123,xqxqxq引入引入 ：)(tq)()()( )( )( 012tftqatqatqatq1例例2. 已知系统方程为已知系统方程为)()()()()()(0101 2 tfbtfbtyatyatyaty列出系统状态方程和输出方程。列出系统状态方程和输出方程。 式代入原方程得：式代入原方程得：)()( )(01tqbtqbty21第29页/共86页第三十页，共87页。（2） 列状态方程：列状态方程：fxaxaxaxxxxx32211033221（3） 列输出列输出(shch)方程：方程：1021xbxby矩阵矩阵(j zhn)形式：

21、形式：fxxxaaaxxx100100010321210321321100 xxxbby第30页/共86页第三十一页，共87页。2x1x2x 1x 3、由系统框图、由系统框图(kungt)、流图编写状态方程：、流图编写状态方程：例：某例：某LTILTI二阶系统框图二阶系统框图(kungt)(kungt)和流图如图所示，列写状和流图如图所示，列写状态方程和输出方程。态方程和输出方程。2x1x2x 1x (1) 选状态变量：选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；第31页/共86页第三十二页，共87页。(2) 状态方程：状态方程： fxaxaxxx21102

22、21(3) 输出输出(shch)方程：方程：011220112002111 22()()()yb xb xba xa xfba b xbab xf矩阵矩阵(j zhn)形式：形式：1101220101xxfaaxx 100211 22xyba bbabfx第32页/共86页第三十三页，共87页。(1) 状态变量选择状态变量选择(xunz)：(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kbfkxakxakxkxkx例例1：已知系统方程为已知系统方程为)()2() 1()(01kbfkyakyaky列状态方程和输出方程。列状态方程和输出方程。二、离散系统状态方程、输出

23、二、离散系统状态方程、输出(shch)方程方程的编写：的编写：1 1、由差分方程编写：、由差分方程编写：) 1()(,)2()(21kykxkykx令令解：解：第33页/共86页第三十四页，共87页。(3) 输出输出(shch)方程：方程：)()()()(2110kbfkxakxaky矩阵矩阵(j zhn)形式：形式：)(0)()(10) 1() 1(211021kfbkxkxaakxkx)()()()(2110kfbkxkxaaky第34页/共86页第三十五页，共87页。(1) 状态变量选择状态变量选择(xunz)：(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221k

24、bfkxakxakxkxkx)()(1kxky(3) 输出输出(shch)方程：方程：例例2：已知系统方程为已知系统方程为)()() 1()2(01kbfkyakyaky列写系统状态方程和输出方程。列写系统状态方程和输出方程。) 1()(,)()(21kykxkykx令令解：解：第35页/共86页第三十六页，共87页。1（1）状态变量的选择）状态变量的选择(xunz)：( )q k引入：)()() 1()2(01kfkqakqakq22式代入式代入 式得：式得：1)() 1()2()(012kqbkqbkqbky令令) 1()(,)()(21kqkxkqkx解：解：例例3：已知系统方程为：已知

25、系统方程为)() 1()2()() 1()2(01201kfbkfbkfbkyakyaky列状态方程、输出方程。列状态方程、输出方程。第36页/共86页第三十七页，共87页。(2) 状态方程：状态方程：)()()() 1()() 1(2110221kfkxakxakxkxkx(3) 输出输出(shch)方程：方程：21020 112120 100 2111 222( )(2)(1)( )( )( )( )( )( )() ( )()( )( )y kb q kbq kb q kba x ka x kf kb x kb x kba b x kbab x kb f k第37页/共86页第三十八页，

26、共87页。2 2、由系统、由系统(xtng)(xtng)框图、信号流图编写框图、信号流图编写状态方程状态方程例：已知系统框图例：已知系统框图(kungt)(kungt)、流图如图所示，列写、流图如图所示，列写状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。2( )x k1( )x k2( )x k1( )x k(1) 选状态变量：选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；选积分器输出为状态变量，如图所示；第38页/共86页第三十九页，共87页。(2) 状态方程：状态方程： 1220112(1)( )(1)( )( )( )x kx kx ka x ka x kf k (3) 输出输出(shch)方

27、程：方程：011220112002111 22( )( )( )( )( )( )()( )()( )( )y kb x kb x kba x ka x kf kba b x kbab x kf k矩阵矩阵(j zhn)形式：形式：11012201(1)( )0( )(1)( )1x kx kf kaax kx k 100211 22( )( )( )( )x ky kba bbabf kx k第39页/共86页第四十页，共87页。8.3 8.3 连续连续(linx)(linx)系统状态系统状态方程的解方程的解一、矩阵一、矩阵(j zhn)函数函数: 1.1.矩阵函数的定义矩阵函数的定义: :

28、0( )iiif xx定义矩阵函数定义矩阵函数 ，)(Af0)(iiiAAf 设设A为为n阶方阵，对于收敛的幂级数阶方阵，对于收敛的幂级数A类比类比x第40页/共86页第四十一页，共87页。2.2.矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)指数函数的定义指数函数的定义: :( )xAnf xe设 为 阶矩阵，对于指数函数201112!xiiexxxi AAtee定义矩阵指数函数和分别为:20112!AiieIAAAi2202!iAtiitteIAtAAi第41页/共86页第四十二页，共87页。3.3.矩阵的导数矩阵的导数(do sh)(do sh)、积分和卷积、积分和卷积: :( )( )ijn m

29、A ta t设矩阵(2) 卷积卷积:( )( ),( )( )ijm nijn mA ta tB tb t设( )( )( )( )A tB tA t B t等于运算中元素的相乘变成卷积运算。(1) 导数导数(do sh)、积分、积分:( )( )( )( )ttijn mijn mA t dta t dtddA ta tdtdt例：例： 111211121111122111121222212221222111222121122222aabbababababaabbabababab 第42页/共86页第四十三页，共87页。4.矩阵运算的几个定理(dngl)：设A、B为n阶方阵。AeAeedtd

30、AtAtAt)(（1）)(2121ttAAtAteee（2）()AtBtA B tABBAeee设，则（3）（4）设）设X为为n维列向量维列向量(xingling)，A为为n阶方阵，则阶方阵，则XAeXeXedtdAtAtAt)(（6） 设设A、P为为n阶方阵，阶方阵，P为为非奇异阵（非奇异阵（det（P）0），则，则11PPeeAttPAP（5）设）设A为方阵，则为方阵，则 恒有逆，且恒有逆，且 。AtAtee1)(Ate第43页/共86页第四十四页，共87页。二、状态方程的时域解：二、状态方程的时域解：状态方程：状态方程：BftAXtXBftAXtX)()()()(1)()()(tBfet

31、AXetXeAtAtAt1式两边乘以式两边乘以 ，得，得Ate根据矩阵函数根据矩阵函数(hnsh)运算的定理（运算的定理（4），上式可写成：），上式可写成：)()(tBfetXedtdAtAt21 1、状态方程的时域解：对、状态方程的时域解：对n n阶系统阶系统(xtng)(xtng)。第44页/共86页第四十五页，共87页。2对对 式两边积分，得：式两边积分，得：00000( )( )( )( )( )ttAAtttAtAtAtdeXdeBfddteX teX teBfd00()()0( )( )( )tA t tA ttX teX teBfd设设 ，得：，得：00t()0( )(0 )(

32、)tAtA tX te XeBfd设设 称称状态转移矩阵状态转移矩阵。Atet )(第45页/共86页第四十六页，共87页。则则 )()(0)()()0()()()()0()()(tXtXtfxtfBtXtdBftXttX零输入零输入(shr)分量分量零状态零状态(zhungti)分量分量第46页/共86页第四十七页，共87页。2.2.输出输出(shch)(shch)方程的解：方程的解：把状态方程的解代入输出把状态方程的解代入输出(shch)方程，得：方程，得：( )( )(0 )( )( )( )( )(0 )( )( )( )Y tCt Xt Bf tDf tCt XCt Bf tDf t

33、引入引入p阶对角阵阶对角阵 ：)(t( )0( )( )0( )tttt( )( )( )Y tCX tDf t输出方程为：输出方程为：则则( )( )( )tf tf t第47页/共86页第四十八页，共87页。)()()()()()0()()()()()()0()()(tYtYfxtftDBtCXtCtftDtfBTCXtCtY)()()()()()()0()()(tDBtCthtfthtYXtCtYfx零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应冲激响应，冲激响应，)(pq111212122212( )ppqqqphhhhhhh thhh)(thij0)(tfj,其余输入为零时，其余输入为零时

34、， 对应的冲激响应对应的冲激响应。)(tyif第48页/共86页第四十九页，共87页。3. 3. Atet )(的计算：的计算：(1) n阶方阵阶方阵(fn zhn)A的特征方程、特征根：的特征方程、特征根：|)det(IAIA0| IA(2) 凯莱凯莱哈密顿定理哈密顿定理(dngl)：特征多项式：特征多项式： 特征根：特征根：特征方程特征方程：任何方阵任何方阵A，恒满足它的特征方程。，恒满足它的特征方程。0|)(IAq设设0)(Aq则则 ,1 , 2 , .iin特征方程的根特征方程的根第49页/共86页第五十页，共87页。(3) ( )Atte的计算：的计算：22012!jtjjiijit

35、et 2202!AtiiiteItAAA,1 , 2 , .iin设设n阶方阵阶方阵A的特征根为的特征根为第50页/共86页第五十一页，共87页。根据根据A的特征方程和凯莱的特征方程和凯莱哈密顿定理哈密顿定理(dngl)可以证明：可以证明：12101210jntinijjjnjie 12101210nAtininieAIAAA由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式，就可求得的展开式，就可求得 。tjeiAteAte第51页/共86页第五十二页，共87页。Ate的计算步骤：的计算步骤：（1） A的特征的特征(tzhng)根为单根：根为单根：第一

36、步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根 ，i=1 ,2 , ,n .i第二步：由第二步：由n个特征根建立以下个特征根建立以下(yxi)n个方程：个方程：11221012122221011121211021nnnnntnntnntneee第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin第四步：第四步：Atie把代入下式，求：210121AtnneIAAA第52页/共86页第五十三页，共87页。（2） A的特征的特征(tzhng)根有重根：设根有重根：设1为为m重根，另有重根，另有n-m个单根。个单根。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根12.q ,

37、 ,第二步：由特征根第二步：由特征根i建立建立(jinl)以下以下n个方程：个方程：11112101 1211 12101 1211 111222101 1211 12211112101 1211 11111()()()()()()tnntnntnnmmtnnmmeddeddddeddddedd 1qnm第53页/共86页第五十四页，共87页。23210122212210132313210121qtnntnntnqqnqeee 第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin第四步：第四步：Atie把代入下式，求：210121AtnneIAAA第54页/共86页第五十五页

38、，共87页。例例1: 10,12AtAe求。解:2A（ ）求 的特征根：1001012012AI 12| (1)(2)01,2.AI 3ii（ ）建立求的方程，求：1201 1012ttee 102102ttee解方程组解方程组, ,得得: : 22012,tttteeee。1AI（）求：第55页/共86页第五十六页，共87页。4Ate（ ）求：221010(2)()0112tttteeee220()tttteeee01AteIA第56页/共86页第五十七页，共87页。例例2: 1,2AtAe-0求。-1解:1001021021AI 1AI（）求：2A（ ）求 的特征根：212| (1)01.

39、AI 3ii（ ）建立求的方程，求：1101101111()()tteddedd 011ttete解方程组解方程组, ,得得: : 01,tttetete。第57页/共86页第五十八页，共87页。4Ate（ ）求：01AteIA1010()0121tttetete02tttetee第58页/共86页第五十九页，共87页。IeeedtdAtAttAt000| )(状态方程求解状态方程求解(qi ji):Step1: 求求;)(Atet Step2: 求求);0()()(XttXxStep3: 求求);()()(tfBttXfStep4: 求求);()()(tXtXtXfx4. 4. :AteA由

40、求第59页/共86页第六十页，共87页。输出方程输出方程(fngchng)求解求解:Step1: 求;)(Atet Step2: 求);0()()(XtCtYxStep3: 求);()()(tDBtCthStep4: 求);()()(tfthtYfStep5: 求);()()(tYtYtYfx三、状态方程、输出三、状态方程、输出(shch)方程的方程的s域解域解:1 1、状态方程的、状态方程的S S域解域解: :状态方程状态方程:)()()(tBftAXtX第60页/共86页第六十一页，共87页。s s域解域解: :根据根据(gnj)(gnj)单边拉氏变换的时域微分性质单边拉氏变换的时域微分性

41、质, ,对状态方程两边对状态方程两边 取拉氏变换取拉氏变换, ,得得: :( )(0 )( )( )sX sXAX sBF s( )( )(0 )( )sX sAX sXBF s)()0()()(sBFXsXAsI)()()0()()(11sBFAsIXAsIsX )()()()()0()(sXsXfxsBFsXs)()()(1tLAsIs)()(tXLsXxx)()(tXLsXff)()()()(111sXLsXLsXLtXfx第61页/共86页第六十二页，共87页。2.2.输出输出(shch)(shch)方程的方程的s s域解域解: :输出输出(shch)方程方程:)()()(tDftCX

42、tYs域解域解:)()()(sDfsCXsY把把X(s)代入上式代入上式,得得:)()()0()()(sFDBsCXsCsY )()()()()0()(sYsYfxsFsHXsC)()()(thLDBsCsH)()(tYLsYxx)()(tYLsYff)()()()(111sYLsYLsYLtYfx第62页/共86页第六十三页，共87页。状态方程、输出状态方程、输出(shch)方程的方程的s域解步骤域解步骤:状态方程状态方程s域解域解:Step2: 求求);0()()(XssXxStep3: 求求);()()(sBFssXfStep4: 求求);()()(sXsXsXfxStep1: 求求;)

43、()(1AsIsStep5: 求求).()(1sXLtX第63页/共86页第六十四页，共87页。状态方程状态方程(fngchng)、输出方程、输出方程(fngchng)的的s域解步骤域解步骤:输出输出(shch)方程方程s 域解域解:Step1: 求求;)()(1AsIsStep2: 求求);0()()(XsCsYxStep3: 求求;)()(DBsCsHStep4: 求求)()()(sFsHsYfStep5: 求求11( )( )( )( );xxffY tLY sY tLYsStep6: 求求).()()(tYtYtYfx第64页/共86页第六十五页，共87页。8.4 8.4 离散系统状态

44、方程的解离散系统状态方程的解一、状态方程、输出一、状态方程、输出(shch)方程的时域解方程的时域解:1.1. 状态方程的解状态方程的解: n: n阶系统阶系统(xtng),P(xtng),P个输入个输入. .)()() 1(kBfkAXkX设初始时刻设初始时刻 ,初始状态初始状态00k).0(,),0(),0()0(21nXXXX用递推法得用递推法得:)0()0() 1 (BfAXX) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(BfBfxABfAXX) 1 ()0()0(2BfABfXA)2()2()3(BfAXX)2() 1 ()0()0(23BfABfBfAXA 状态方程状态方程:第6

45、5页/共86页第六十六页，共87页。12( )(0)(0)(1)(2)(1).kkkX kA XABfABfABf kBf k101)()0(kiikkiBfAXA)()0(1kfBAXAkk设设 则则),(kAk )()()() 1()0()()(kXkXfxkfBkXkkX(零输入分量零输入分量(fn ling) (零状态分量零状态分量(fn ling)2.2.输出方程的解输出方程的解: n: n阶系统阶系统(xtng),P(xtng),P个输入个输入, q , q 个输出个输出. .输出输出(shch)方程方程: )()()(kDfkCXkY把把X(k)代入输出方程代入输出方程,得得:(

46、 )( )(0)(1)( )( )Y kCk XCkBf kDf k第66页/共86页第六十七页，共87页。( ):k引入( )0( )( )0( )p pkkkk)()() 1()0()()(kfkDBkCXkCkY( )( )( ).Df kDkf k则 )()()()()0()(kYkYfxkfkhXkC)() 1()(kDBkCkh冲激响应冲激响应,).(pqpqqpqqphhhhhh2111211)(khij)(kfj单独作用时单独作用时,输出输出 的单位脉冲响应的单位脉冲响应.)(kyi第67页/共86页第六十八页，共87页。3. 3. ( )kkA的计算：的计算：1,2,iAnA

47、in设 为 阶方阵， 为 的特征根，(1)kA 的计算方法：A由 的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：210121210121kniiiniknnAIAAA 由由A的的n个特征根和个特征根和 的展开式确定系数的展开式确定系数 ，代入，代入 的展开式，就可求得的展开式，就可求得 。kiikAkA第68页/共86页第六十九页，共87页。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根 ，i=1 ,2 , ,n .i第二步：由第二步：由n个特征根建立以下个特征根建立以下(yxi)n个方程：个方程：21101 1211 12120122212210121knnknnknnnnnn (2)kA 的计

48、算步骤：第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin第四步：第四步：kiA把代入下式，求：210121knnAIAAA A的特征的特征(tzhng)根为单根：根为单根：第69页/共86页第七十页，共87页。 A的特征的特征(tzhng)根有重根：设根有重根：设1为为m重根，另有重根，另有n-m个单根。个单根。第一步：第一步：求求n阶方阵阶方阵A的特征根的特征根12.q , ,第二步：由特征第二步：由特征(tzhng)根根i建立以下建立以下n个方程：个方程：21101 1211 121101 1211 1112221101 1211 122111121101 1211

49、11111()()()()()()knnknnknnmmknnmmdddddddddddd 1qnm第70页/共86页第七十一页，共87页。21201222122130132313210121knnknnknqqqnq 第三步：第三步：解上面方程组，求解上面方程组，求,0,1,2,1iin第四步：第四步：kiA把代入下式，求：210121knnAIAAA第71页/共86页第七十二页，共87页。例例1: 01,( )21kAkA求。解:2A（ ）求 的特征根：010121021AI12| (1)(2)01,2.AI 3ii（ ）建立求的方程，求：101 11012kk 0101( 1)22kk

50、解方程组解方程组, ,得得: : 011122( 1) ,2( 1) 33kkkk 。1AI（）求：第72页/共86页第七十三页，共87页。4kA（ ）求：10011122( 1) 2( 1) 012133kkkk 11122( 1) 2( 1) 33212( 1) 2( 1) 33kkkkkkkk 01kAIA第73页/共86页第七十四页，共87页。例例2: 2,( )0kAkA0求。2解:2002002002AI1AI（）求：2A（ ）求 的特征根：212| (2)02AI3ii（ ）建立求的方程，求：1011101111()()kkdddd 0111222kkk解方程组解方程组, ,得得

51、: : 10122 ,2kkkkk。第74页/共86页第七十五页，共87页。4kA（ ）求：01kAIA11020(22 )20102kkkkk2002kk第75页/共86页第七十六页，共87页。状态方程时域解步骤状态方程时域解步骤(bzhu):Step1: 求求( );kkAStep2: 求求( )( )(0);xXkk X Step3: 求求( )( )( );fXkk Bf k Step4: 求求( )( )( );xfX kXkXk输出输出(shch)方程的解方程的解:Step1: 求求( );kkAStep2: 求求( )( )(0);xY kCk XStep3: 求求( )( )(

52、 );h kCk BDkStep4: 求求( )( )( );fYkh kf kStep5: 求求( )( )( );xfY kY kYk第76页/共86页第七十七页，共87页。二、状态方程、输出二、状态方程、输出(shch)方程的方程的z域解域解:1 1、状态方程的、状态方程的z域解域解: :状态方程状态方程:(1)( )( )X kAX kBf k00k 单边单边z变换变换(binhun)的左移性质的左移性质:0()( )( )mmm kkf kmz F zf k z由左移性质由左移性质(xngzh)，对状态方程两边取，对状态方程两边取z变换，得变换，得:( )(0)( )( )zX zzXAX zBF z()( )(0)( )zIA X zzXBF z11( )()(0)()( )X zzIAzXzIABF z1( )()zzIAz令1( )( )( )( )(0)( )( )xfXzXzX zz Xzz BF z 则第77页/共86页第七十八页，共87页。111