chenpc文件下载数理方法拉氏变换PPT课件

1、 第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace (Laplace Transform)Transform) 6.1 6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、定义：一、定义： 12-、针对双边信号f t ；傅里叶变换的局限：、f t 在任一有限区间满足，且在，上绝狄里希利条对可积。件分段连续且有有限个第一类间断点左右极限存在 tef t当f t 不满足条件时，需做衰减处理:g t。 1=2=i ti tGg t edtg tGed正变换傅里叶变换反变换 1=2=itti tGf t edtef tGed正变换反变换第1页/共27页 2pifpG i=1=2 ip tip tfpf t ed

2、tf tfp e dp 正变换拉普拉斯变换反变换 0:00;0tf tf tttf tMeM原函数1 在有限区间上只有有限个第一类间断点，分段连续且光滑；2 单边信号：3 随着 的增大，的模增长得比某个指数慢，即： f t。 0:lim0;Refpfpfppfp像函数存在且当时，解析。一、定义：一、定义：第2页/共27页一、定义：一、定义：说明： lim0fpfp1存在且； 0p tfpf t edt 000010tttMMfpf t edtMeedt 0lim0fpfppfp一致收敛存在当Re时，0Re p1 fp2解析： 0p tfpf t edt dd=dpdp 0p tf tedt p

3、第3页/共27页 0tf tt edt 一、定义：一、定义：00ttMet edt 00tMt edt020ReMp01210M 0p tfpf t edt dd一致收敛dpdp fpfpd处处存在，即解析。dp第4页/共27页一、定义：一、定义： 10,00tH tt例题：阶梯函数求L H t。 01Re0p tp tH tH t edtedtpp 解：L H tt01 ns tt e H ts例题：求L为常数。 ns tt e H t解：Lns tp tt e edt 0=p s tnt edt0=np s tedt0d= -dp1npsd= -dp1!nnps=ReReps第5页/共27

4、页二、性质：二、性质：1 1、线性：、线性： 111 1221 12222ftfpc ftc ftc fpc fpftfp证明： 1 1221 122=p tL c f tc ftc f tc ftedt 1122=p tp tcf tedtcftedt 1 122=c fpc fp如： 1s te H tps 1112ititeH tpieH tpi 2222cossinpt H tpt H tp 122 122i第6页/共27页二、性质：二、性质：2 2、导数：、导数： 1100nnnknkkf tfpftp fpp f 证明：证明： 0p tL ftft edt 0p tedf t 00

5、|p tp tef tpf t edt 0p fpfRe0p 0L ftp L ftf 0 0pp fpff 20 0p fppff 2-12-10=0nnnknkkftpfpp f 设L，则：第7页/共27页 -1-1=0nnnftp L ftfL二、性质：二、性质： 22-1-10=00nnknnkkppfpp ff 22-110=00nnknnkkp fppff 1k=k+11-1 1=00nnknnkkp fpp ff 110=0nnknkkp fpp f 第8页/共27页如：如： 22cospt H tp cossincost H tt H ttt 0coscos|sin1tp Lt

6、 H tt H tLt H t 222sin1pLt H tp 22sinLt H tp 22sint H tp二、性质：二、性质： sint H tt 第9页/共27页二、性质：二、性质：3 3、积分：、积分： 0tfpf tfpfdp证明：证明： 0ttfd tf t 0ppfp 00fppp如：如： 1H tp 201ttH t dtp23022ttt dtp110!tnnnntntdtpRe0p 第10页/共27页二、性质：二、性质：4 4、相似：、相似： 10pf tfpf atfaaa证明：证明：0p tL f atf at edt 0pa taa tf a t eda 01pta

7、ttaf tedta1pfaa如：如：22221coscos11pppttppp第11页/共27页二、性质：二、性质：5 5、平移：、平移： 00p ttf ttefpf tfpef tfp 证明证明: (1): (1)时域平移时域平移000p tL f ttf ttedt 00p ttf ttedtf t 为单边信号 000tt tp ttf tedt 00p tp tef t edt 0p tefp 如：如： 1ftt012T f tt012TT32T2T52T第12页/共27页二、性质：二、性质： 11020Ttft 其他 2TH tH t 2111Tpfpepp211Tpep 10kf

8、 tftkT 10pkTkfpefp 111pTfpe21111TppTeep211Tppe(2)(2)复频域平移：复频域平移： 00ptttp tL ef tef t edtf t edtfp 第13页/共27页如：如：二、性质：二、性质： 2222coscostppt H tet H tpp 6 6、卷积定理：、卷积定理： 11121222*ftfpftftfpfpftfp 1212*ftftfftd卷积证明证明: : 1212*ftftLfftdL 12fL ftd 12pfefp d 12fpfp第14页/共27页例题：例题： 1111fpp ppp二、性质：二、性质：10p p求的原

9、函数。解：法一解：法一 11tf teH t 法二法二 1111*f tLLpp *tH teH t tHeH td 00000ttHedH ttH tt 第15页/共27页二、性质：二、性质： 1teH t 例题：例题： 22pp求f p的原函数。解：解： 11221*f tLLpp *sinteH tt H t sinteH tHd 000sin00ttHedH ttH tt 0sintteedH t 第16页/共27页二、性质：二、性质：001sinsinttedd e 001sin|costteed 01sincosttted e 0201sincos|sintttteeed 201s

10、incos1sintttteteed 222201sincossintttteteed 222021sincossin1tttteteed 第17页/共27页22sincostttete二、性质：二、性质： 22sincostttef tH t 6.2 6.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换一、反演公式：一、反演公式： -i1=2 iip tf tfpedp 0-i1=Re2 ia ip tafpedppa 1=2 iRp tp tlCfpedpfpedpImp Re pRCa00ABCDER第18页/共27页 Rp tCfpedp3cos22RteR d lim0pfppfp 当时，为任意小正

11、数33coscoscos2223222RtRtRtRededed 一、反演公式：一、反演公式：3coscoscos022200RtRtRtRededed 0sinsinsin00RtRtRtRededed 3cos22RtfpeR d第19页/共27页一、反演公式：一、反演公式：sin20212sin2当0时，0,sinR 当时，sinsinsin000RtRtRtRededed sinsin20022RtRtReded 2sin2002RtRtReded 22002Rta tReded 212a tR tReeRt 21a tR teaet 第20页/共27页一、反演公式：一、反演公式： =

12、0Rp tCRfpedp 当时， Rekp tppklf ts fpe内二、拉普拉斯反变换的计算：二、拉普拉斯反变换的计算：1 1、已知公式法：、已知公式法： 1!s tnnnet H tps2Ra teat第21页/共27页二、拉普拉斯反变换的计算：二、拉普拉斯反变换的计算： 32222936=99pppfppp例题：求的原函数。 32222936=99pppfppp=3333ABCDpipipp解： 311=3|26piApifpi 311=3|26piBpifpi 31=3|2pCpfp 31=3|2pDpfp第22页/共27页二、拉普拉斯反变换的计算：二、拉普拉斯反变换的计算： 211

13、1111126262222=3333933iipfppipippppp 22costpH tp 22sint H tp 1teH tp 33111= cos 3sin 3322ttf ttteeH t2 2、留数法：、留数法： -i1=2 iip tf tfp edp 2211132293933pppppImp Re pRC0i i Rekp tppks fpe第23页/共27页 22221=Afppapl例题：求的原函数。二、拉普拉斯反变换的计算：二、拉普拉斯反变换的计算：解： =ReRep tp tpip if ts fpes fpe ReRep tp taap ipills fpes fpe 22221122ititAeAeiiaaiill 22221122aaititllAeAeaaaaiiiillllImp Re pRC0i i alal第24页/共27页2222sinsinAAlattalaall221sinsinl Aaattallal二、拉普拉斯反变换的计算：二、拉普拉斯反变换的计算： 6.3 6.3 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用关键：关键：微分方程微分方程代数方程代数方程拉普拉斯变换拉普拉斯变换例题：求解初值问题：例题：求解初值问题： 0cos0 00m xtk